Konvolúció (matematikai elemzés)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. december 28-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A konvolúció , a konvolúció egy olyan művelet a funkcionális elemzésben , amely két függvényre alkalmazva egy harmadik függvényt ad vissza, amely megfelel az és a keresztkorrelációs függvénynek . A konvolúciós művelet úgy értelmezhető, mint az egyik függvény "hasonlósága" egy másik tükrözött és eltolt másolatával. A konvolúció fogalma tetszőleges mérhető tereken definiált függvényekre általánosított , és az integráltranszformáció egy speciális fajtájának tekinthető . A diszkrét esetben a konvolúció az eltolt értékeknek megfelelő együtthatókkal rendelkező értékek összegének felel meg , pl. $f$ $g$ $f(x)$ $g(-x)$ $f$ $g$ ${\megjelenítési stílus (f*g)(x)=f(1)g(x-1)+f(2)g(x-2)+f(3)g(x-3)+\pontok }$

Definíció

Legyen két függvény integrálható a Lebesgue-mértékhez képest a téren . Ekkor a konvolúciójuk a képlet által meghatározott függvény $f,g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $f*g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$

{\megjelenítési stílus (f*g)(x)\ }

{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)\,g(xy)\,dy=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(xy)\,g(y)\,dy.

Különösen a esetén a képlet alakját veszi fel $n=1$

{\megjelenítési stílus (f*g)(x)\ }

\stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int \limits_{-\infty}^{\infty} f(y)\, g(xy)\, dy = \int \limits_{-\infty} ^{\infty} f(xy)\, g(y)\, dy.

A konvolúció szinte mindenre definiált és integrálható. ${\megjelenítési stílus (f*g)(x)}$ $x\in {\mathbb {R} ^{n))$

Abban az esetben, ha , és függvények vannak definiálva az intervallumon , a konvolúciót így írhatjuk fel $x\in \mathbb {R}$ $f(x),~g(x)$ $[0,+\infty )$

{\megjelenítési stílus (f*g)(x)\ }

{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \limits _{0}^{x}f(y)\,g(xy)\,dy=\int \limits _{ 0}^{x}f(xy)\,g(y)\,dy.

Először Leonhard Euler (1760-as évek) munkáiban találhatók integrálok, amelyek két függvény konvolúcióját jelentik; később a konvolúció megjelenik Laplace , Lacroix , Fourier , Cauchy , Poisson és más matematikusoknál. A függvények konvolúciójának csillaggal történő megjelölését először Vito Volterra javasolta 1912-ben a sorbonne -i előadásai során (egy évvel később megjelent) [1] .

Tulajdonságok

Kommutativitás :

f*g=g*f

Aszociativitás :

f*(g*h)=(f*g)*h

Linearitás ( eloszlás az összeadáshoz és asszociativitás skalárral való szorzással ):

(f_{1}+f_{2})*g=f_{1}*g+f_{2}*g

{\displaystyle f*(g_{1}+g_{2})=f*g_{1}+f*g_{2))

(af)*g=a(f*g)=f*(ag),\quad \forall a\in \mathbb {R}

Megkülönböztetési szabály:

\mathrm {D} (f*g)=\mathrm {D} f*g=f*\mathrm {D} g

ahol egy függvény deriváltját jelöli bármely változóhoz képest. $\mathrm{D}f$ $f$

Laplace transzformáció :

{\mathcal {L}}\{f(x)*g(x)\}={\mathcal {L}}\{f(x)\}\cdot {\mathcal {L}}\{ g(x)\}

Fourier transzformációs tulajdonság :

{\mathfrak {F}}[f*g]={\mathfrak {F}}[f]\cdot {\mathfrak {F}}[g]

ahol a függvény Fourier transzformációját jelöli . ${\mathfrak {F}}[]$

Ha egy diszkrét Fourier transzformációs mátrix , akkor: ${\mathcal {W}}$

{\mathcal {W}}(C^{(1)}x\ast C^{(2)}y)=({\mathcal {W}}C^{(1)}\bullet {\ matematikai {W}}C^{(2)})(x\otimes y)={\mathcal {W}}C^{(1)}x\circ {\mathcal {W}}C^{(2) }y

ahol a mátrixok végtermékének szimbóluma [2] [3] [4] [5] [6] , a Kronecker szorzatot jelöli , a Hadamard szorzat szimbóluma (az azonosság a hivatkozás tulajdonságainak következménye vázlat [7] ). $\bullet$ $\otimes$ $\circ$

Példa

Legyen a feladat annak kiszámítása, hogy az idő függvényében hogyan változik a hó mennyisége bármely földterületen. A probléma megoldása két szakaszra osztható:

építeni egy hóesés modellt és egy hóolvadási modellt.
valahogy egyesítse ezt a két modellt.

Az első szakasz feladatait megfigyelésekkel és kísérletekkel, a második szakasz feladatait pedig az első szakaszban kapott modellek konvolúciójával oldjuk meg.

Tegyük fel, hogy a probléma első lépésben történő megoldása eredményeként két függőséget (matematikai modellt) építettünk fel:

a havazás mennyiségének függése az aktuális időtől , ${\displaystyle {\color {Piros}g(t)))$
az el nem olvadt hó arányának függése a lehullása óta eltelt időtől . ${\displaystyle {\color {Blue}f(\tau )))$

Ha a hó nem kezdett el olvadni, az összes csapadék mennyisége kiszámítható a következő diszkrét esetben: $G$

G=\sum _{t=0}^{T}g(t)

vagy folyamatos esetén integrálással:

G=\int \limits _{0}^{T}g(t)\,dt

De ebben az esetben a hóolvadás megtörténik, és ráadásul nem csak az aktuális teljes hómennyiségtől függ, hanem attól is, hogy ez az adott hómennyiség mikor hullott le. Tehát a két hete hullott hó már elpárolgott, míg a fél órája hullott hó még feküdni fog, és el sem kezd olvadni.

Kiderült, hogy a különböző időpontokban hullott hóhoz meg kell építeni egy saját olvadási modellt, és valahogyan össze kell adni ezeket a modelleket.

Erre a célra a matematikai konvolúció fogalma használható. Akkor tekintsük az idő pillanatában az abban a pillanatban leesett havat $t$ $\tau$

$\tau$ - a hóesés ideje. Például 13:00;
${\displaystyle {\color {Red}g(\tau )))$ - az adott pillanatban leesett hó mennyisége. Például 7 kg; ${\displaystyle {\tau ))$
$t$ az az időpont, amikor tudnunk kell a hóesés állapotát. Például 15:00; $\tau$
$t-\tau$ - a csapadék pillanatától a fennmaradó hó arányának kiszámításáig eltelt idő. Vagyis 15:00 − 13:00 ;
${\displaystyle {\color {Blue}f(t-\tau )))$ - az órákig tartó fekvés után el nem olvadt hó aránya . $t-\tau$

A t időpontban leesett hó minden egyes mennyiségéhez hozzá kell adni a modellkészletet egy függvénybe. Ha ezt tesszük, akkor az összeget a diszkrét esetben kapjuk: ${\displaystyle {\color {Red}g(\tau )))$ $\tau$ $f(t-\tau )$

w(t)=\sum \limits _{\tau =0}^{t}g(\tau )f(t-\tau ),

vagy folytonosan integrált:

w(t)=\int \limits _{\tau =0}^{t}g(\tau )f(t-\tau )d\tau .

Grafikusan a függvény az alábbiakban látható, ahol az egyes hókupacok hozzájárulása a grafikonon különböző színekkel van ábrázolva . $w(t)$ ${\displaystyle {\color {Red}g(x)))$

A funkció teljes mértékben szimulálja a hóesés viselkedését a modell szerint . Tehát a fenti grafikonon látható, hogy a hó teljes mennyisége három ugrással nő, de a hó azonnal olvadni kezd, anélkül, hogy megvárná, hogy más csapadék hulljon. $w(t)$ ${\displaystyle {\color {Red}g(x)))$

Konvolúció a csoportokon

Legyen egy mértékkel felruházott csoport , és legyen két függvény definiálva a -n . Ekkor a konvolúciójuk a függvény $G$ $m$ $f,g:G \to \mathbb{R}$ $G$

(f*g)(x)=\int \limits _{G}f(y)\,g\left(xy^{-1}\right)\,m(dy),\quad \forall x\in G.

Összesítő intézkedések

Legyen egy Borel tér és két mérték . Ekkor a konvolúciójuk a mérték $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ $\mu,\nu: \mathcal{B}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$

\mu *\nu (A)=\mu \otimes \nu \left(\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x+y\in A\}\ jobbra),\quad \forall A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),

ahol a mértékek és a szorzatát jelöli . $\mu \otimes \nu$ $\mu$ $\nu$

Tulajdonságok

Legyen abszolút folytonos a Lebesgue-mértékhez képest . A Radon-Nikodim származékaikat jelöljük : $\mu,\nu$ $m$

f_{\mu }={\frac {d\mu }{dm)),\quad f_{\nu }={\frac {d\nu }{dm)).

Ekkor az is abszolút folytonos -ra vonatkoztatva , és Radon-Nikodim származéka alakja $\mu * \nu$ $m$ $f_{\mu * \nu} = \frac{d \mu * \nu}{dm}$

f_{\mu *\nu }=f_{\mu }*f_{\nu }.

Ha valószínűségi mértékek , akkor szintén valószínűségi mérték. $\mu,\nu$ $\mu * \nu$

Eloszlások konvolúciója

Ha két független valószínűségi változó eloszlásai és , akkor $\mathbb{P}^X,\mathbb{P}^Y$ $x$ $Y$

\mathbb {P} ^{X+Y}=\mathbb {P} ^{X}*\mathbb {P} ^{Y},

hol van az összeg eloszlása . Különösen, ha abszolút folytonosak és sűrűségük van , akkor a valószínűségi változó is abszolút folytonos, és sűrűsége a következő: $\mathbb{P}^{X+Y}$ $X+Y$ $X,Y$ $f_X, f_Y$ $X+Y$

f_{X+Y}=f_{X}*f_{Y}.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Domínguez A. A konvolúciós művelet története // IEEE Pulse. - 2015. - Kt. 6, sz. 1. - P. 38-49. Archiválva az eredetiből 2016. február 3-án.
↑ Slyusar, VI (1996. december 27.). „Végtermékek mátrixokban radar alkalmazásokban” (PDF) . Radioelectronics and Communications Systems. – 1998, Vol. 41; 3. szám : 50-53. Archivált (PDF) az eredetiből ekkor: 2020-07-27 . Letöltve: 2020-08-01 . Elavult használt paraméter |deadlink=( súgó )
↑ Slyusar, VI (1997-05-20). „A digitális antennatömb analitikai modellje arcfelosztó mátrixtermékek alapján” (PDF) . Proc. ICATT-97, Kijev : 108-109. Archivált (PDF) az eredetiből ekkor: 2020-01-25 . Letöltve: 2020-08-01 . Elavult használt paraméter |deadlink=( súgó )
↑ Slyusar, VI (1997-09-15). „Új mátrixműveletek termék radarok alkalmazásához” (PDF) . Proc. Az elektromágneses és akusztikus hullámelmélet direkt és inverz problémái (DIPED-97), Lviv. : 73-74. Archivált (PDF) az eredetiből ekkor: 2020-01-25 . Letöltve: 2020-08-01 . Elavult használt paraméter |deadlink=( súgó )
↑ Slyusar, VI (1998. március 13.). „A mátrixok arctermékeinek családja és tulajdonságai” (PDF) . Kibernetika és rendszerelemzés C/C a Cybernetika I Sistemnyi Analiz.- 1999 . 35 (3): 379-384. DOI : 10.1007/BF02733426 . Archivált (PDF) az eredetiből ekkor: 2020-01-25 . Letöltve: 2020-08-01 . Elavult használt paraméter |deadlink=( súgó )
↑ Slyusar, VI (2003). „A nem azonos csatornákkal rendelkező digitális antennatömbök modelljei mátrixainak általánosított arcszorzatai” (PDF) . Rádióelektronika és kommunikációs rendszerek . 46 (10): 9-17. Archivált (PDF) az eredetiből ekkor: 2020-09-20 . Letöltve: 2020-08-01 . Elavult használt paraméter |deadlink=( súgó )
↑ Ninh, Pham; Rasmus, Pagh (2013). Gyors és méretezhető polinomiális kernelek explicit jellemzőtérképeken keresztül . SIGKDD nemzetközi konferencia a tudásfeltárásról és az adatbányászatról. Számítógépek Szövetsége. DOI : 10.1145/2487575.2487591 .

Irodalom

Kolmogorov A. N., Fomin S. V. A függvényelmélet és a funkcionális elemzés elemei, - M .: Nauka, 2004 (7. kiadás).
Shiryaev A. N. Valószínűség, - M .: Nauka. 1989.
Napalkov VV Konvolúciós egyenletek többdimenziós terekben. - M., Nauka, 1982. - Példányszám 3500 példány. — 240 s.

Linkek

Java kisalkalmazás
Java kisalkalmazás
Lineáris és ciklikus konvolúció . Letöltve: 2010. november 15. (Orosz)

Tömörítési módszerek

Elmélet

Információ	Saját Kölcsönös Entrópia Feltételes entrópia Bonyolultság Redundancia
Egységek	Bit Nat Rágcsál Hartley Hartley képlet

Veszteségmentes

Entrópia tömörítés	Aszimmetrikus számrendszerek Huffman algoritmus Adaptív Huffman algoritmus Shannon-Fano algoritmus Shannon algoritmusa Aritmetikai kódolás ( intervallum ) Golomb kódok Delta Univerzális kód Elias fibonacci
Szótári módszerek	RLE Kienged LZ ( LZ77/LZ78 LZSS LZW LZWL LZO LZMA LZX LZRW LZJB LZT LZ4 Brotli zstandard )
Egyéb	RLE CTW BWT MTF PPM DMC

Hang

Elmélet	Konvolúció PCM Aliasing Mintavétel Kotelnyikov tétele
Mód	LPC LAR LSP WLPC CELP ACELP Törvény μ-törvény ADPCM MDCT Fourier transzformáció Pszichoakusztikus modell
Egyéb	Audio kompresszor Beszédtömörítés Sáv kódolás

Képek

Feltételek	színtér Pixel Telítettségi részmintavétel Tömörítési műtermékek
Mód	RLE DPCM fraktál hullámocska EZW SPIHT LP PrEP PCL
Egyéb	Bitráta Szabványos tesztkép PSNR Kvantálás

Videó

Feltételek	Videó jellemzői Keret Keret típusok Videó minőség
Mód	Mozgáskompenzáció PrEP Kvantálás hullámocska
Egyéb	Videokodek Sebesség-torzítás elmélet CBR ABR VBR