Nash egyensúly

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. szeptember 9-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 11 szerkesztést igényelnek .

Nash egyensúly
A döntés fogalma a játékelméletben
Kapcsolódó döntési halmazok
Szuperkészletek	Racionalizálhatóság Korrelált egyensúly ε-egyensúly
Részhalmazok	Aljáték tökéletes egyensúly Remegő kéz egyensúly Evolúciósan stabil stratégia Erős egyensúly
Adat
Szerzőség	John Nash
Alkalmazás	Minden nem kooperatív játék

A Nash-egyensúly a döntés fogalma, a játékelmélet egyik kulcsfogalma . Ez a neve annak a stratégiának egy játékban két vagy több játékos számára, amelyben egyetlen résztvevő sem tudja növelni a nyereményt a stratégia megváltoztatásával, ha a többi résztvevő nem változtat a stratégiáján [1] . John Nash minden véges játékban bebizonyította, hogy létezik ilyen egyensúly vegyes stratégiákban .

Történelem

Ezt a fogalmat először Antoine Auguste Cournot használta . Megmutatta, hogyan lehet megtalálni azt, amit Nash-egyensúlynak nevezünk a Cournot-játékban . Nash volt az első, aki bebizonyította, hogy ilyen egyensúlynak léteznie kell minden véges játékban, tetszőleges számú játékos esetén. Ezt tette meg 1950 -ben a nem kooperatív játékokról szóló értekezésében.

Nash előtt ezt csak John von Neumann és Oskar Morgenstern (1947) bizonyította a 2 fős nulla összegű játékoknál .

Matematikai megfogalmazás

Tegyük fel, hogy ez egy nem kooperatív n - játékos normál formában, ahol S a tiszta stratégiák halmaza, H pedig a kifizetések halmaza. Amikor minden játékos kiválaszt egy stratégiát a stratégiai profilban, az i játékos nyer . Ne feledje, hogy a nyeremény a teljes stratégiai profiltól függ: nem csak az i játékos által választott stratégiától , hanem más stratégiáktól is , vagyis a játékos összes stratégiájától . A stratégiai profil egy Nash-egyensúly, ha a stratégiájának megváltoztatása egyik játékosnak sem jövedelmező . ${\megjelenítési stílus (S,H)}$ $i\in\{1,...,n\}$ $x_{i}\in S$ $x=(x_{1},...,x_{n}),$ $H_{i}(x).$ $x_{i}$ ${\displaystyle x_{-i))$ $x_{j}$ $j\neq i$ $x^{*}\in S$ $x_{i}^{*}$ $x_{i}$ $én$ $én$

H_{i}(x^{*})\geqslant H_{i}(x_{i},x_{-i}^{*}).

Egy játéknak lehet Nash-egyensúlya tiszta stratégiákban vagy vegyes stratégiákban (vagyis tiszta stratégiát választva sztochasztikusan , rögzített frekvencián). Nash bebizonyította, hogy ha a vegyes stratégiák megengedettek, akkor minden n játékosból álló játékban lesz legalább egy Nash-egyensúly .

Példák a fogalom használatára

Szociológia

A racionális választás szociológiai elmélete külön kiemeli, hogy a társadalom stabil állapota (társadalmi egyensúly) eltérhet az optimálistól (társadalmi optimum). Az ilyen szuboptimális, de stabil állapotokat a szociológiában Nash-egyensúlynak nevezik.

		színész B
		egy	2
színész A	egy	A: +1, B: +1	A: -1, B: +2
színész A	2	A: +2, B: -1	A: 0, B: 0

A bal oldali táblázat a játékelméleti akcióstruktúrát mutatja , két szereplőre ( színészre ) összeállítva. Minden szereplőnek két cselekvési lehetősége van, amelyeket az 1-es és a 2-es szám jelzi. Az egyes cselekvési lehetőségek kiválasztásakor kapott jutalmazási együtthatók a táblázat megfelelő celláiban vannak feltüntetve. Tételezzük fel, hogy mindkét szereplő jelenleg a 2. akciót használja, és jutalmaik rendre nulla. Az 1. akció kiválasztásával A szereplő egy pozícióval rontja saját helyzetét (A: -1, B: +2). Hasonlóképpen, ha B színész egyedül választja az 1-es opciót, míg A színész továbbra is a 2-es opciót használja, csak ront a helyzetén (A: +2, B: -1). Így annak ellenére, hogy mindkét szereplő megérti, hogy a helyzet akkor lenne számára optimális, ha mindketten az 1. akciót alkalmazzák (jutalom - A: +1, B: +1), egyiküknek sincs motivációja a helyzet megváltoztatására, ill. az egyensúly az ilyen motívumok hiányából adódik. Ha a rendszer már optimális állapotban van (amikor mindkét szereplő az 1. akciót választotta), akkor mindketten kísértést kapnak a 2. akció használatába, ami jutalmat hoz nekik a másik játékos rovására. Ez a példa két társadalmi állapot lehetőségét szemlélteti: stabil, de szuboptimális (mindkét szereplő a 2. lehetőséget használja); valamint a második optimális, de instabil (mindkét szereplő az 1. lehetőséget használja). [2]

Politikatudomány

A politikaelmélet különböző jelenségeinek magyarázatára gyakran használják a mag fogalmát , amely a Nash-egyensúly gyengébb változata. A mag olyan állapotok összessége, amelyekben egyetlen új (az adott magban hiányzó) állapotot felépíteni képes szereplőcsoport sem javít a helyzetén az adott magban lévő állapotához képest. [2]

Közgazdaságtan

Az iparágban két 1. és 2. számú cég van, amelyek mindegyike két árszintet állíthat be: „magas” és „alacsony”. Ha mindkét cég magas árat választ, akkor mindegyik 3 milliós profitot termel. Ha mindkettő alacsony árat választ, akkor mindegyik 2 milliót kap. Ha viszont az egyik magas, a másik alacsony árat választja, akkor a második 4 milliót kap, és az első csak 1 millió A legelőnyösebb változat összesen a magas árak (összeg = 6 millió) egyidejű választása. Ez az állapot azonban ( kartell hiányában ) instabil a relatív haszonszerzés lehetősége miatt, amely megnyílik egy ettől a stratégiától eltérő cég számára. Ezért mindkét cég nagy valószínűséggel alacsony árakat választ. Ez az opció ugyan nem adja meg a maximális össznyereséget (összeg = 4 millió), de kizárja a versenytárs relatív nyereségét, amelyet a kölcsönösen optimális stratégiától való eltéréssel kaphatna. Ezt a helyzetet "Nash-egyensúlynak" [3] nevezik .

A Stackelberg oligopólium modellben két, nem kooperatív játékban részt vevő cég esetében feltételezhető, hogy két stratégia létezik: 1. Cournot duopolista (K) és Stackelberg duopolista (S), azaz S-stratégia. Így a következő stratégiák lehetségesek két játékos számára:

(K1;K2) (K1;S2);(K2;S1);(S1;S2). A profitmodell felépítéséből az következik, hogy az S: , illetve a K: stratégia kiválasztásakor jól látható, hogy az első játékos maximális kifizetése a szituációban realizálódik (S1;K2), a második pedig ( K1;S2). Mivel ezek a helyzetek összeegyeztethetetlenek, azaz nem valósíthatók meg egyszerre, így mindkét játékos nem kaphatja meg egyszerre a maximális nyereményt. Ebben az esetben mindkét játékos optimális viselkedése az S stratégia választása lesz, mivel ebben az esetben az S stratégia jobb, mint a K stratégia a minimális lehetséges kifizetés szempontjából. Ebben az esetben a választás (S1;S2) a Nash-egyensúly. Az ettől a stratégiától való egyoldalú eltérés automatikusan csökkenti bármelyik játékos nyereményét, miközben a teljes kifizetés ebben a fajta egyensúlyban kisebb, mint a teljes nyeremény, amikor mindkét játékos stratégiát választ (K1;K2). Ennek a modellnek a feltételei mellett azonban a játékosok közötti információcsere hiányában a Nash-egyensúlytól való eltérés nem valósul meg, mivel megnő a kockázata annak, hogy a második játékos kihasználhatja a helyzetet és nem választja a K stratégiát. $\pi ^{1}={\frac {(ac)^{2}}{8b}}$ $\pi ^{2}={\frac {(ac)^{2}}{16b}}$

Warfare

A kölcsönösen biztosított megsemmisítés fogalma . A nukleáris fegyverekkel rendelkező felek egyike sem kezdhet büntetlenül konfliktust, vagy egyoldalúan nem fegyverezhet le.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Univertv - Nash Equilibrium: Shopping, Reputation, Voting Archivált : 2009. december 13. a Wayback Machine -nél .
↑ 1 2 James S. Coleman . Gazdaságszociológia a racionális választás elmélete szemszögéből // Gazdaságszociológia: elektronikus folyóirat. - 2004. - V. 5 , 3. sz . - S. 35-44 . (Orosz)
↑ "Nash's Nobel-díj" archiválva : 2015. május 26., a Wayback Machine , The Economist oldalán, 2015. május 24.

Irodalom

Vasin A. A. , Morozov V. V. Játékelmélet és a matematikai közgazdaságtan modelljei. - M.: MGU, 2005, 272 p. ISBN 5-317-01388-7 .
Vorobjov N. N. Játékelmélet kibernetikai közgazdászok számára. — M.: Nauka, 1985
Mazalov VV . A játékok és alkalmazások matematikai elmélete. - Lan Kiadó, 2010, 446 p.
Petrosyan L. A. , Zenkevich N. A., Shevkoplyas E. V. Teoriya igr. - Szentpétervár: BHV-Petersburg, 2012, 432 p.

Játékelmélet
Alapfogalmak	Kölcsönös és közös tudás Játékos A hitek hierarchiája Irracionális erősítés Stratégia ( dominancia ) Fordított indukció
A játékok típusai	Egyidejű , szekvenciális és ismétlődő Nem együttműködő és együttműködő Teljes , hiányos , tökéletes és tökéletlen információkkal _ Normál és kiterjesztett formában _ Ellentétes Differenciális Sztochasztikus A nemek harca Szarvasvadászat
Megoldási koncepciók	Kockázati dominancia Korrelált egyensúly Remegő kéz egyensúlya Nash egyensúly A részjáték tökéletes egyensúlya Racionalizálhatóság Szekvenciális egyensúly erős egyensúly Saját mérleg Evolúciósan stabil stratégia Epszilon-egyensúly Pareto hatékonyság Sejtmag
Játékpéldák	A fogoly dilemmája Az "El Farol" bár feladata Bertrand modell Cournot modell Stackelberg modell Orlyanka A megosztott erőforrások tragédiája sólymok és galambok
Episztemikus játékelmélet Mechanizmus tervezés Tisztességes felosztás