Kapcsoló (algebra)

Az operátorok kommutátora és az algebrában , valamint a kvantummechanikában egy operátor . Általában nem egyenlő nullával. A kommutátor fogalma kiterjed tetszőleges asszociatív algebrákra is (nem feltétlenül operátoralgebrákra). A kvantummechanikában a kvantum Poisson zárójel neve is az operátorok kommutátorához ragadt . ${\kalap {A}}$ ${\kalap B}$ $[{\kalap A},{\kalap B}]={\kalap A}{\kalap B}-{\kalap B}{\kalap A}$

Ha két operátor kommutátora nulla, akkor ingázásnak nevezzük, ellenkező esetben nem kommutálónak.

Azonosságok a kommutátorral

Antikommutativitás : Ez az azonosság azt jelenti, hogy bármely operátor esetében . $[A,B]=-[B,A].$ $[A,A]=0$ $A$

Az asszociatív algebrában a következő azonosságok is igazak:

$[A,BC]=[A,B]C+B[A,C]$ . Ez az azonosság egy operátor Leibniz-szabálya , ezért az operátort az algebrában belső levezetésnek nevezik . Az üzemeltető hasonló tulajdonsággal rendelkezik $D_{A}=[A,\cdot ].$ $D_{A}$ ${\tilde D}_{A}=[\cdot ,A].$
Jacobi identitás : A Jacobi identitásnak megfelelő algebrát Lie algebrának nevezzük . Így bármely asszociatív algebrából kaphatunk Lie algebrát, ha az új algebrában a szorzást a régi algebra elemeinek kommutátoraként definiáljuk. $[A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0.$
$[AB,C]+[BC,A]+[CA,B]=0.$ Ez az azonosság a Jacobi identitás egy másik jelölése.
$[AB,C]=A[B,C]+[A,C]B$
$[ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC$
$[AB,CD]=A[B,CD]+[A,CD]B=A[B,C]D+AC[B,D]+[A,C]DB+C[A,D ]B$
$[A,BCD]=[A,B]CD+B[A,C]D+BC[A,D]$
$[A,BCDE]=[A,B]CDE+B[A,C]DE+BC[A,D]E+BCD[A,E]$
$[ABCD,E]=ABC[D,E]+AB[C,E]D+A[B,E]CD+[A,E]BCD$
$[[[A,B],C],D]+[[[B,C],D],A]+[[[C,D],A],B]+[[[D,A], B],C]=[[A,C],[B,D]]$
$e^{A}Be^{-A}=B+[A,B]+{\frac {1}{2!}}[A,[A,B]]+{\frac {1}{ 3!}}[A,[A,[A,B]]]+\cdots \equiv e^{\operátornév {ad} (A)}B.$ Ez a képlet olyan algebrákban érvényes, ahol mátrixkitevő definiálható, például a Banach-algebrában vagy a formális hatványsorok gyűrűjében . A kvantummechanikában és a kvantumtérelméletben is döntő szerepet játszik a Heisenberg -reprezentációban és az interakciós reprezentációban szereplő operátorok perturbációelméletének felépítésében .
$\ln \left(e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}\right)=[A,B]+{\frac {1}{2!} [(A+B),[A,B]]+{\frac {1}{3!}}\left([A,[B,[B,A]]]]/2+[(A+) B ),[(A+B),[A,B]]]\jobbra)+\cdots .$

A kommutátor a kvantummechanikában

Mint ismeretes, a kvantummechanikában a fizikai mérés egy fizikai mennyiség operátorának a rendszer állapotvektorára gyakorolt hatásának felel meg . Az úgynevezett tiszta állapotok , amelyekben a fizikai mennyiségnek szigorúan meghatározott értéke van, sajátvektoroknak felelnek meg , míg a mennyiség értéke adott állapotban a tiszta állapotvektor sajátértéke: ${\kalap F}$ $f$ ${\kalap F}$

{\hat {F}}\psi _{i}=f\psi _{i}

Ha két kvantummechanikai mennyiség egyidejűleg mérhető, akkor tiszta állapotban mindkettőnek bizonyos értéke lesz, vagyis a mennyiségek operátorainak sajátvektorhalmazai egybeesnek. De akkor ingáznak:

{\hat {F}}{\hat {G}}\psi _{i}=g{\hat {F}}\psi _{i}=gf\psi _{i}={\hat {G}}{\hat {F}}\psi _{i}

Ennek megfelelően a nem ingázó operátorok olyan fizikai mennyiségeknek felelnek meg, amelyeknek nincs egyidejűleg meghatározott értéke. Tipikus példa erre az impulzusoperátorok (impulzuskomponensek ) és a megfelelő koordináta (lásd a bizonytalansági relációt ). ${\hat p}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x))$ ${\hat x}=x$

Természetvédelmi törvények

A kvantumrendszer Hamilton -rendszerének sajátértékei az álló állapotok energiaértékei. A fentiek nyilvánvaló következménye, hogy egy fizikai mennyiség, amelynek operátora a Hamilton-operátorral ingázik, a rendszer energiájával egyidejűleg mérhető. A kvantummechanikában azonban az energia különleges szerepet kap. A Schrödinger-egyenletből

i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t))={\hat {H))\psi

és az operátor teljes deriváltjának meghatározása az idő függvényében

{\pont {{\hat f}}}={\kalap {{\pont f}}}

megkapható egy kifejezés egy fizikai mennyiség teljes időbeli deriváltjára, nevezetesen:

{\dot {\hat {f))}={i \over \hbar }[{\hat {H)),{\hat {f))]+{\frac {\partial {\hat { f))}{\részleges t))

Ezért, ha egy fizikai mennyiség operátora ingázik a Hamilton-operátorral, akkor ez a mennyiség nem változik az idő múlásával . Ez a reláció az azonosság kvantumanalógja

{\pont {f))={\mathcal {\{}}H,f{\mathcal {\}}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}

a klasszikus mechanikából, ahol {,} a függvények Poisson zárójele . A klasszikus esethez hasonlóan bizonyos szimmetriák jelenlétét fejezi ki a rendszerben, mozgásintegrálokat generálva . Ez az a tulajdonsága, hogy bizonyos térszimmetriák mellett megmarad a klasszikus mennyiségek számos kvantumanalógjának meghatározása, például az impulzus olyan mennyiség, amely a rendszer minden transzlációja során megmarad, a szögimpulzus pedig olyan mennyiség, amely forgatás közben megőrződik.

Néhány kommutációs reláció

Jelöljük meg néhány gyakran előforduló kommutátor értékét.

{\hat r}_{i},{\hat p}_{i},{\hat L}_{i}

a sugárvektor, az impulzus és a szögimpulzus i-edik komponensének operátora ; - Kronecker delta ; egy abszolút antiszimmetrikus, harmadik rangú pszeudotenzor .

\delta _{{ij}}

e_{{ijk}}

[{\hat {r}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \delta _{ij}

[{\hat {p)),f({\vec {r)))]=-i\hbar \nabla f

[{\hat {L}}_{i},{\hat {r}}_{j}]=i\hbar e_{ijk}{\hat {r}}_{k}

[{\hat {L}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar e_{ijk}{\hat {p}}_{k}

[{\hat {L}}_{i},{\hat {L}}_{j}]=i\hbar e_{ijk}{\hat {L}}_{k}

[{\hat L}^{2},{\hat L}_{i}]=0

Általános szabály, hogy a normalizált pillanatra vonatkozó kapcsolatok szükségesek: $\ {\hat L}_{j}=\hbar {\hat l}_{j}$

[{\hat {l}}_{i},{\hat {r}}_{j}]=ie_{ijk}{\hat {r}}_{k}

[{\hat {l}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=ie_{ijk}{\hat {p}}_{k}

[{\hat {l}}_{i},{\hat {l}}_{j}]=ie_{ijk}{\hat {l}}_{k}

[{\hat l}^{2},{\hat l}_{i}]=0

Ezekből az összefüggésekből látható, hogy egy részecske szögimpulzusa nem mérhető egyidejűleg a koordinátáival vagy impulzusával. Sőt, kivéve azt az esetet, amikor a nyomaték egyenlő nullával, annak különböző összetevői nem mérhetők egyszerre. Ez a szögimpulzus alapvetően különbözik az impulzus- és sugárvektortól, amelyben mindhárom komponens egyidejűleg meghatározható. Szögimpulzus esetén csak a vetületét valamilyen tengelyre (általában ) és a hosszának négyzetét mérheti. $z$

Fizikai mennyiségek hazug algebra

A kommutátor a Poisson zárójel kvantumanalógja a klasszikus mechanikában . A kommutátor művelet bevezeti a Lie algebra szerkezetét operátorokon (vagy egy algebra elemein) , ezért a Lie algebrában az antikommutatív szorzást kommutátornak is nevezik.

Nem ingázási mennyiségek

A nem ingázó mennyiségeket olyan mennyiségeknek nevezzük, amelyek kommutátora . $A$ $B$ $[A,B]=AB-BA\neq 0$

Két fizikai mennyiség akkor és csak akkor mérhető egyszerre, ha operátoraik ingáznak [1] .

Antikommutátor

Az antikommutátor a gyűrű elemei feletti szimmetrizáló operátor , amely meghatározza a gyűrűben a szorzás „antikommutativitásának” mértékét:

[x,y]_{+}:=xy+yx

A kommutatív " Jordan szorzás " az antikommutátoron keresztül kerül bevezetésre . A Clifford algebra természetesen mindig az antikommutátort az azt meghatározó bilineáris formához kapcsolja.

Példák

Különböző képzeletbeli egységpárok antikommutátora a kvaterniókhoz egyenlő nullával.
Az antikommutátor segítségével meghatározzuk a Dirac gammamátrixokat .

Irodalom

Blokhintsev D. I. A kvantummechanika alapjai. - 5. kiadás — M.: Nauka, 1976. — 664 p.
Boum A. Kvantummechanika: alapok és alkalmazások. — M.: Mir, 1990. — 720c.
Dirac P. A kvantummechanika alapelvei. - 2. kiadás — M.: Nauka, 1979. — 480 p.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Kvantummechanika (nem relativisztikus elmélet). — 4. kiadás. — M .: Nauka , 1989. — 768 p. - (" Elméleti fizika ", III. kötet). - ISBN 5-02-014421-5 .

Lásd még

Jegyzetek

↑ 3.7. Különböző fizikai mennyiségek egyidejű mérése . Letöltve: 2016. április 15. Az eredetiből archiválva : 2016. április 24.. (határozatlan)