Szögsebesség

Szögsebesség
$\omega$
Dimenzió	T −1
Egységek
SI	rad / s
GHS	rad/s
Egyéb egységek	fok / s fordulat / s fordulat / perc

A szögsebesség olyan vektormennyiség , amely egy anyagi pontnak vagy abszolút merev testnek a forgástengelyhez viszonyított forgási sebességét és forgásirányát jellemzi . A forgási szögsebesség modulusa egybeesik a forgás pillanatnyi szögfrekvenciájával , és az irány merőleges a forgássíkra, és a jobb oldali csavar szabálya szerint összefügg a forgásiránysal . Szigorúan véve a szögsebességet egy pszeudovektor (axiális vektor) ábrázolja, és ábrázolható ferde-szimmetrikus tenzorként is [1] .

Szögsebesség két dimenzióban

Vektoros ábrázolás 3D térben

A háromdimenziós térben a szögsebesség vektor nagysága egyenlő egy pont forgási középpontja körüli forgásszögével egységnyi idő alatt :

\omega ={\frac {d\varphi }{dt)),

és a forgástengely mentén irányul a kardánszabály szerint , vagyis abba az irányba, amerre a jobbmenetes karmantyú vagy csavar ebbe az irányba forgatva becsavaródna. Egy másik mnemonikus megközelítés a forgásirány és a szögsebesség-vektor iránya közötti kapcsolat emlékezetében az, hogy egy hipotetikus megfigyelő számára a forgás középpontjából kilépő szögsebességvektor végén maga a forgás az óramutató járásával ellentétes irányban jelenik meg .

A szögsebesség egy axiális vektor (pszeudovektor). A koordinátarendszer tengelyeinek tükrözésekor egy közönséges vektor összetevői (például egy pont sugárvektora) előjelet váltanak. Ugyanakkor a pszeudovektor összetevői (különösen a szögsebesség) változatlanok maradnak egy ilyen koordináta-transzformáció során.

Tenzorábrázolás

Mértékegységek

A szögsebesség mértékegysége , amelyet a Nemzetközi Mértékegységrendszerben (SI) , valamint a CGS és MKGSS rendszerekben alkalmaznak, radián per másodperc (orosz megnevezése: rad / s , nemzetközi: rad / s ) [2] [Comm 1 ] . A technika másodpercenkénti fordulatszámot is használ , sokkal ritkábban - fok, perc, ívmásodperc másodpercenként, fok per másodperc. A technikában gyakran alkalmazzák a percenkénti fordulatszámot – ez azóta megy, amikor az alacsony fordulatszámú gőzgépek fordulatszámát egyszerűen szemmel határozták meg, az időegységenkénti fordulatszámot számolva.

Tulajdonságok

Egy abszolút merev test szögsebességgel forgó bármely pontjának pillanatnyi sebességvektorát a következő képlet határozza meg: ${\vec {\omega ))$

{\vec v}=[\ {\vec \omega },{\vec r}\ ],

ahol a sugárvektor az adott ponthoz a test forgástengelyén található origótól számítva, a szögletes zárójelek pedig a keresztszorzatot jelölik . A forgástengelytől bizonyos távolságra ( sugárban ) lévő pont lineáris sebessége (amely egybeesik a sebességvektor modulusával) a következőképpen tekinthető: Ha radián helyett más szögmértékegységet használunk, akkor egy szorzót nem. eggyel egyenlő lesz az utolsó két képletben. ${\vec {r))$ $r$ $v=\omega r.$

Síkforgatás esetén, vagyis amikor a test pontjainak összes sebességvektora mindig ugyanabban a síkban (a forgási síkban) van, a test szögsebessége mindig erre a síkra merőleges, és valójában, ha a forgási sík ismert, helyettesíthető skalárral – a forgástengelyre vetítéssel, vagyis egy egyenesen, amely merőleges a forgási síkra. Ebben az esetben a forgás kinematikája jelentősen leegyszerűsödik. Általános esetben azonban a szögsebesség idővel irányt változtathat a háromdimenziós térben, és egy ilyen egyszerűsített kép nem működik.
Az állandó szögsebesség-vektorral történő mozgást egyenletes forgási mozgásnak nevezzük (ebben az esetben a szöggyorsulás nulla). Az egyenletes forgás a lapos forgás speciális esete.
A szögsebesség időbeli deriváltja a szöggyorsulás .
A (szabad vektornak tekintett) szögsebesség minden tehetetlenségi vonatkoztatási rendszerben azonos , amelyek a vonatkoztatási pont helyzetében és mozgási sebességében különböznek egymástól, de egymáshoz képest egyenes vonalban és transzlációsan egyenletesen mozognak. Azonban ezekben az inerciális vonatkoztatási rendszerekben egy és ugyanazon test tengelyének vagy forgásközéppontjának helyzete ugyanabban az időpillanatban eltérhet (azaz a szög eltérő „alkalmazási pontja” lesz sebesség).
Egy háromdimenziós térben mozgó pont esetén írhatunk egy kifejezést ennek a pontnak a kiválasztott origóhoz viszonyított szögsebességére :

{\vec \omega }={\frac {{\vec r}\times {\vec v}}{({\vec r},{\vec r}}}))),

ahol a pont sugárvektora (az origóból), ennek a pontnak a sebessége , a vektorszorzata , a vektorok skaláris szorzata . Ez a képlet azonban nem egyedileg határozza meg a szögsebességet (egy pont esetén választhat más , definíció szerint megfelelő vektorokat, más módon - tetszőlegesen - a forgástengely irányának megválasztásával), hanem a általános eset (amikor a test egynél több anyagi pontot tartalmaz) - ez a képlet nem igaz az egész test szögsebességére (mivel minden pontra különböző értékeket ad, és amikor egy abszolút merev test forog, a szög minden pontjának forgási sebességvektorai egybeesnek). Kétdimenziós esetben (síkforgatás esetén) azonban ez a képlet elégséges, egyértelmű és helyes, mivel ebben a konkrét esetben a forgástengely iránya ismert, hogy egyedileg meghatározott.

{\vec {r))

{\vec {v}}

{\vec r}\times {\vec v}

({\vec r}, {\vec r})

{\vec \omega },

{\vec {\omega ))

Abszolút merev test egyenletes forgómozgása (azaz állandó szögsebesség-vektorral történő mozgás) esetén az így forgó test pontjainak derékszögű koordinátái harmonikus rezgéseket hajtanak végre , amelynek szögfrekvenciája egyenlő: a szögsebesség vektor modulusa .

A szögsebesség másodpercenkénti fordulatszámban (fordulat/s) mérésekor az egyenletes forgási szögsebesség modulusa egybeesik a hertzben (Hz) mért f forgási frekvenciával , azaz ilyen mértékegységekben . a szögsebesség szokásos fizikai mértékegysége - radián per másodperc - a szögsebesség modulusa számszerűen kapcsolódik a forgási sebességhez az alábbiak szerint: Végül a fok per másodperc használatakor a forgási sebességhez való numerikus összefüggés a következő lesz: $\omega =f.$ $\omega ={2\pi f}.$ $\omega ={360^{\circ }f}.$

Csatlakozás véges forgással a térben

Adjuk meg az időben változó elfordulást a végső forgástengely térbeli szöge és egységvektora, ekkor ennek a forgásnak megfelelő szögsebesség egyenlő $\;\théta (t)$ ${\vec {n}}(t).$

{\vec {\omega }}={\vec {n}}{\pont {\theta }}+{\pont ({\vec {n}}}}\sin \theta +{\vec {n}} \times {\dot {{\vec n}}}(1-\cos \theta ).

Ha az elforgatást a forgatási mátrix adja meg, ahol a Kronecker szimbólum , akkor a Levi-Civita szimbólum (az összegzést az Einstein-szabály szerint 1-től 3-ig végezzük ), amelynek elemeinek kifejezése a és -on keresztül érhető el, például a Rodrigues-képletet használva a szögsebesség egyenlő $T_{ij}=n_{i}n_{j}+(\delta _{ij}-n_{i}n_{j})\cos \theta -n_{k}\varepsilon _{ijk}\ sin\theta ,$ $\;\delta _{{ij}}$ $\varepsilon_{ijk}$ $\;\théta$ ${\vec {n}}$

\omega _{i}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{{ijk}}T_{{jn}}{\dot {T}}_{{kn}}.

Ha a forgás leírására kvaterniót használunk, amelyet a forgástengely szögével és egységvektorával fejezünk ki, akkor a szögsebességet a kifejezésből kapjuk meg. $\;\théta$ ${\vec {n}}$ $q={\bigl (}\cos(\theta /2),{\vec {n}}\sin(\theta /2){\bigr )},$ $\left(0,{\vec {\omega }}\right)=2\,{\pont {q}}\,\overline {q}.$

Abban az esetben, ha a forgást időben változó vektorral írjuk le, jelöljük és - a félforgási mátrixot - a vektor modulusának négyzetét is, majd a szögsebességet: ${\vec {V}}={\vec {n}}\operátornév {tg}(\theta /4),$ ${\vec {W}}=d{\vec {V}}/dt\ {\bigl (}W_{i}=dV_{i}/dt{\bigr )},$ $T_{ij}^{1/2}=n_{i}n_{j}+(\delta _{ij}-n_{i}n_{j})\cos(\theta /2)-n_ {k}\varepsilon _{ijk}\sin(\theta /2)$ $\;{\bigl (}T_{{ij}}^{{1/2}}T_{{jk}}^{{1/2}}=T_{{ik}}{\bigr )},$ $\;V^{2}$ ${\vec {V}).$

\omega _{i}={\frac {4T_{{ij}}^{{1/2}}W_{{j}}}{1+V^{2}}}.

Jegyzetek

Megjegyzések

↑ A síkszög , amelyet a két sugár közé zárt körív hosszának és a sugár hosszának arányaként határozunk meg , dimenzió nélküli , ezért a síkszögek mértékegysége az "egy" szám , a szögsebesség mérése az SI rendszerben s −1 . A lapos szögek esetében azonban az "egy" mértékegységet a "radián" speciális elnevezéssel látjuk el, hogy megkönnyítsék annak megértését, hogy az egyes esetekben melyik fizikai mennyiségről van szó [3] .

Források

↑ Ishlinsky A. Yu. Klasszikus mechanika és tehetetlenségi erők / Szerk. szerk. B. V. Raushenbakh . - M . : "Nauka", 1987. - S. 239.
↑ Dengub V. M. , Smirnov V. G. Mennyiségek mértékegységei. Szótári hivatkozás. - M . : Szabványok Kiadója, 1990. - S. 98. - 240 p. — ISBN 5-7050-0118-5 .
↑ Egységek a mennyiségekhez kevesebb mennyiséghez , mennyiségek mennyiségéhez SI brosúra: A mértékegységek nemzetközi rendszere (SI) . Bureau International des Poids et Mesures (2006; frissítve 2014). Hozzáférés időpontja: 2016. január 29.

Lásd még

Irodalom

Lur'e A. I. Analitikai mechanika. - M. : GIFML, 1961. - S. 100-136. — 824 p.