Trigonometrikus függvények

A trigonometrikus függvények olyan elemi függvények [1] , amelyek történetileg derékszögű háromszögek figyelembevételekor keletkeztek, és kifejezték e háromszögek oldalai hosszának függését az alsó szögben lévő hegyesszögektől (vagy ezzel egyenértékűen a húrok és magasságok függését a középső szögtől ). a körív ) . Ezeket a funkciókat széles körben alkalmazzák a tudomány különböző területein. A matematika fejlődésével a trigonometrikus függvények definíciója bővült, a mai értelemben vett argumentum tetszőleges valós vagy komplex szám lehet .

A matematikának a trigonometrikus függvények tulajdonságait vizsgáló ágát trigonometriának nevezzük .

A trigonometrikus függvényeket hagyományosan a következőképpen nevezik:

közvetlen trigonometrikus függvények:

szinusz ( ); $\sin x$
koszinusz ( ); $\cos x$

derivált trigonometrikus függvények:

érintő ; $\left(\mathrm {tg} \,x={\frac {\sin x}{\cos x))\right)$
kotangens ; $\left(\mathrm {ctg} \,x={\frac {\cos x}{\sin x))\right)$

szekant ; $\left(\sec x={\frac {1}{\cos x}}\right)$
koszekáns ; $\left(\mathrm {cosec} \,x={\frac {1}{\sin x}}\right)$

inverz trigonometrikus függvények :

arcszinusz, arkoszinusz stb.

A különböző nyelvű irodalom tipográfiájában a trigonometrikus függvények rövidítése eltérő, az angol szakirodalomban például az érintőt, a kotangenst és a koszekánst , , -vel jelölik . A második világháború előtt Németországban és Franciaországban ezeket a funkciókat az orosz nyelvű szövegekben megszokott módon jelölték [2] , de aztán az ezen országok nyelvű szakirodalmában megjelent az angol nyelvű változat. trigonometrikus függvények rögzítését fogadták el. $\tan x$ $\kiságy x$ $\csc x$

E hat jól ismert trigonometrikus függvényen kívül néhány ritkán használt trigonometrikus függvény ( versinus stb.) is előfordul a szakirodalomban.

A valós argumentum szinusza és koszinusza periodikus, folytonos és végtelenül differenciálható valós értékű függvény. A valós tengely fennmaradó négy függvénye szintén valós értékű, periodikus és végtelenül differenciálható, kivéve a megszámlálható számú, második típusú diszkontinuitást : a pontokban lévő érintő és szekáns , valamint a kotangens és a koszekáns esetében, a pontokon . ábrán láthatók a trigonometrikus függvények grafikonjai . 1 . $\pm \pi n + \frac{\pi}{2}$ $\pm\pin$

Meghatározásának módjai

Az éles sarkok definíciója

A geometriában egy hegyesszög trigonometrikus függvényeit egy derékszögű háromszög oldalainak arányai határozzák meg [3] . Legyen - téglalap alakú, hegyesszöggel és hipotenusszal . Akkor: $\triangle AOB$ $\angle AOB=\alpha$ $OB$

$\sin \alpha ={\frac {AB}{OB}}$ (a szög szinusza a szemközti láb és a hipotenusz aránya ); $\alpha$
$\cos \alpha ={\frac {OA}{OB}}$ (a szög koszinusza a szomszédos láb és a hipotenusz aránya ); $\alpha$
$\mathrm {tg} \,\alpha ={\frac {AB}{OA}}$ (a szög érintője a szemközti láb és a szomszédos láb aránya ); $\alpha$
$\mathrm {ctg} \,\alpha ={\frac {OA}{AB}}$ (egy szög kotangense a szomszédos láb és az ellentétes láb aránya); $\alpha$
$\mathrm {sec} \,\alpha ={\frac {OB}{OA}}$ (a szög szekánsa a befogó és a szomszédos láb aránya ); $\alpha$
$\mathrm {cosec} \,\alpha ={\frac {OB}{AB}}$ (egy szög koszekánsa a befogó és a szemközti láb aránya ). $\alpha$

Ennek a definíciónak van némi módszertani előnye, hiszen nem igényli a koordináta-rendszer fogalmának bevezetését, de egy olyan nagy hátránya is van, hogy még tompaszögekre sem lehet trigonometrikus függvényeket meghatározni, amit a kb. tompa háromszögek. (Lásd: szinusztétel , koszinusztétel ).

Definíció bármely szöghez

Általában a trigonometrikus függvényeket geometriailag határozzák meg [4] . A síkon a derékszögű koordinátarendszerben egységsugarú ( ) kört készítünk, amelynek középpontja a koordináták origója . Bármilyen szöget az abszcissza tengelyének pozitív irányából egy bizonyos sugár felé történő elfordulásnak tekintünk (a kör egy pontját választjuk ), míg az óramutató járásával ellentétes irányban a forgásirányt pozitívnak, az óramutató járásával megegyező irányban negatívnak tekintjük. Jelöljük a pont abszcisszáját és a - ordinátát (lásd a 2. ábrát ). $R=1$ $O$ $OB$ $B$ $B$ $x_B$ $y_B$

A függvényeket a következőképpen határozzuk meg:

$\sin \alpha =y_{B}$ , ; $\cos \alpha =x_{B}$
$\operatorname {tg} \alpha ={\frac {y_{B}}{x_{B}}}$ , ; $\operatorname {ctg} \alpha ={\frac {x_{B}}{y_{B}}}$
${\displaystyle \sec \alpha ={\frac {1}{x_{B))))$ , . ${\displaystyle \operatorname {cosec} \alpha ={\frac {1}{y_{B))))$

Könnyen belátható, hogy egy ilyen definíció egy derékszögű háromszög összefüggésein is alapul, azzal a különbséggel, hogy a ( ) előjelet veszik figyelembe. Ezért a trigonometrikus függvények tetszőleges sugarú körön is definiálhatók , de a képleteket normalizálni kell. A 3. ábra az egységkör trigonometrikus függvényeinek értékeit mutatja . $\pm 1$ $R$

A trigonometriában kényelmesnek bizonyul a szögeket nem fokban, hanem radiánban számolni . Tehát a szöget egységnyi kör hosszaként írjuk fel . Az at szög egyenlő, illetve, és így tovább. Figyeljük meg, hogy az ábrán láthatótól eltérő szög ekvivalens -vel, így arra következtetünk, hogy a trigonometrikus függvények periodikusak. ${\displaystyle 360^{\circ ))$ $2\pi$ $180^{\circ }$ $\pi$ $2\pi$ $\alpha$ $\alpha$

Végül egy valós szám trigonometrikus függvényeit egy olyan szög trigonometrikus függvényeként definiáljuk, amelynek radiánmértéke . $x$ $x$

Definíció, mint differenciálegyenletek megoldása

A szinusz és a koszinusz az egyetlen olyan függvény, amelynek második deriváltja egyenlő magával a függvényekkel, mínusz előjellel:

\ \left(\cos x\right)'' = - \cos x,

\ \left(\sin x\right)'' = - \sin x.

Vagyis állítsa be őket a differenciálegyenlet páros (koszinusz) és páratlan (szinusz) megoldásaként

\frac{d^2}{d\varphi^2}R(\varphi) = - R(\varphi),

további feltételekkel: koszinuszhoz és szinuszhoz. $R(0)=1$ $R'(0)=1$

Definíció mint funkcionális egyenletek megoldása

A koszinusz és a szinusz függvények [5] a funkcionális egyenletrendszer megoldásaiként ( illetve ) definiálhatók : $f$ $g$

$\left\{ \begin{array}{rcl} f(x+y)&=&f(x)f(y)-g(x)g(y)\\ g(x+y)&=&g(x )f(y)+f(x)g(y) \end{tömb} \jobbra.$

további feltételekkel:

$f(x)^{2}+g(x)^{2}=1,$ $g(\pi /2)=1,$ és at . $0<g(x)<1$ $0<x<\pi /2$

Meghatározás sorozatok szerint

A határértékek geometriájának és tulajdonságainak felhasználásával igazolható, hogy a szinusz deriváltja egyenlő a koszinusszal, és a koszinusz deriváltja egyenlő mínusz a szinuszral. Ezután használhatja a Taylor-sor elméletét, és ábrázolhatja a szinust és a koszinust hatványsorként:

\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{ 9!}-\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!},

\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{ 8!}-\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}.

Ezekkel a képletekkel, valamint az egyenlőségekkel és más trigonometrikus függvények sorozatbővítéseivel találkozhatunk: $\operátornév{tg}\,x=\frac{\sin x}{\cos x},$ $\operátornév{ctg}\,x=\frac{\cos x}{\sin x},$ $\sec x=\frac{1}{\cos x}$ $\operátornév{cosec}\,x=\frac{1}{\sin x},$

{\operátornév{tg}\,x=x+\frac{1}{3}\,x^3 + \frac{2}{15}\,x^5 + \frac{17}{315}\,x ^7 + \frac{62}{2835}\,x^9 + \cdots = \sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{ 2n}|}{(2n)!}x^{2n-1} \quad \left(-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}\right),}

{\operátornév{ctg}\,x = \frac{1}{x} - \frac{x}{3} - \frac{x^3}{45} - \frac{2x^5}{945} - \frac{x^7}{4725} - \cdots = \frac{1}{x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}|B_{2n}|}{( 2n)!}\,x^{2n-1} \quad \left(-\pi < x < \pi\jobb),}

{\sec x=1+\frac{1}{2}\,x^2+\frac{5}{24}\,x^4+\frac{61}{720}\,x^6+\ frac{277}{8064}\,x^8+\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{|E_{n}|}{(2n)!}\,x^{2n}, \quad \left(-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\right),}

\operátornév{cosec} x = \frac{1}{x} + \frac{1}{6}\,x + \frac{7}{360}\,x^3 + \frac{31}{15120} \,x^5 + \frac{127}{604800}\,x^7 + \cdots = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2(2^{ 2n-1}-1) |B_{2n}|}{(2n)!}\,x^{2n-1} \quad \left(-\pi < x < \pi\right),

ahol

B_{n}

a Bernoulli-számok ,

E_{n}

ezek az Euler-számok .

A trigonometrikus függvények értékei egyes szögeknél

A szinusz, koszinusz, érintő, kotangens, szekáns és koszekáns értékeit egyes szögeknél a táblázat tartalmazza. (" " azt jelenti, hogy a függvény a megadott pontban nincs definiálva, és a szomszédságában a végtelenbe hajlik ). $\infty$

radiánok	$0$	${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {\pi }{2))$	$\pi$	${\frac {3\pi }{2}}$	$2\pi$
fokon	${\displaystyle 0^{\circ ))$	${\displaystyle 30^{\circ ))$	${\displaystyle 45^{\circ ))$	${\displaystyle 60^{\circ ))$	${\displaystyle 90^{\circ ))$	${\displaystyle 180^{\circ ))$	${\displaystyle 270^{\circ ))$	${\displaystyle 360^{\circ ))$
$\sin \alpha$	$0$	${\frac {1}{2))$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$egy$	$0$	$-egy$	$0$
$\cos\alpha$	$egy$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	${\frac {1}{2))$	$0$	$-egy$	$0$	$egy$
$\operátornév{tg}\,\alpha$	$0$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3))))$	$egy$	$\sqrt{3}$	$\infty$	$0$	$\infty$	$0$
$\operátornév{ctg}\,\alpha$	$\infty$	$\sqrt{3}$	$egy$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$	$\infty$	$0$	$\infty$
$\sec \alpha$	$egy$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	${\sqrt {2}}$	$2$	$\infty$	$-egy$	$\infty$	$egy$
$\operátornév {cosec} \,\alpha$	$\infty$	$2$	${\sqrt {2}}$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$egy$	$\infty$	$-egy$	$\infty$

Nem szabványos szögek trigonometrikus függvényeinek értékei

radiánok	${\frac {2\pi }{3}}$	${\frac {3\pi }{4}}$	${\frac {5\pi }{6}}$	${\frac {7\pi }{6}}$	${\frac {5\pi }{4}}$	${\frac {4\pi }{3}}$	${\frac {5\pi }{3}}$	${\frac {7\pi }{4}}$	${\frac {11\pi }{6}}$
fokon	${\displaystyle 120^{\circ ))$	${\displaystyle 135^{\circ ))$	${\displaystyle 150^{\circ ))$	${\displaystyle 210^{\circ ))$	${\displaystyle 225^{\circ ))$	${\displaystyle 240^{\circ ))$	${\displaystyle 300^{\circ ))$	${\displaystyle 315^{\circ ))$	${\displaystyle 330^{\circ ))$
$\sin \alpha$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	${\frac {1}{2))$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{1}{2}$
$\cos\alpha$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	${\frac {1}{2))$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\operátornév{tg}\,\alpha$	$-\sqrt{3}$	$-egy$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$egy$	$\sqrt{3}$	$-\sqrt{3}$	$-egy$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\operátornév{ctg}\,\alpha$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-egy$	$-\sqrt{3}$	$\sqrt{3}$	$egy$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-egy$	$-\sqrt{3}$
$\sec \alpha$	$-2$	$-{\sqrt {2))$	$-{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$-{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$-{\sqrt {2))$	$-2$	$2$	${\sqrt {2}}$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$
$\operátornév {cosec} \,\alpha$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	${\sqrt {2}}$	$2$	$-2$	$-{\sqrt {2))$	$-{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$-{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$-{\sqrt {2))$	$-2$

radiánok	${\frac {\pi }{12}}$	${\frac {\pi }{10}}$	${\frac {\pi }{8}}$	${\frac {\pi }{5}}$	${\frac {3\pi }{10}}$	${\frac {3\pi }{8}}$	${\frac {2\pi }{5}}$	${\frac {5\pi }{12}}$
fokon	${\displaystyle 15^{\circ ))$	${\displaystyle 18^{\circ ))$	$22{,}5^{\circ }$	${\displaystyle 36^{\circ ))$	${\displaystyle 54^{\circ ))$	$67{,}5^{\circ }$	${\displaystyle 72^{\circ ))$	${\displaystyle 75^{\circ ))$
$\sin \alpha$	${\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3)))){2))$	$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$	$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$	${\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}$	$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$	$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$	${\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}$	${\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3)))){2}}$
$\cos\alpha$	${\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3)))){2}}$	${\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}$	$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$	${\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}$	$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$	${\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3)))){2))$
$\operátornév{tg}\,\alpha$	$2-\sqrt{3}$	${\frac {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}{5}}$	$\sqrt{2}-1$	${\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$	${\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}$	$\sqrt{2}+1$	${\sqrt {5+2{\sqrt {5))))$	$2+{\sqrt {3}}$
$\operátornév{ctg}\,\alpha$	$2+{\sqrt {3}}$	${\sqrt {5+2{\sqrt {5))))$	$\sqrt{2}+1$	${\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$	$\sqrt{2}-1$	${\frac {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}{5}}$	$2-\sqrt{3}$
$\sec \alpha$	$2{\sqrt {2-{\sqrt {3))))$	${\frac {\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {4-2{\sqrt {2))))$	${\sqrt {5}}-1$	${\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {4+2{\sqrt {2))))$	${\sqrt {5}}+1$	$2{\sqrt {2+{\sqrt {3))))$
$\operátornév {cosec} \,\alpha$	$2{\sqrt {2+{\sqrt {3))))$	${\sqrt {5}}+1$	${\sqrt {4+2{\sqrt {2))))$	${\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {5}}-1$	${\sqrt {4-2{\sqrt {2))))$	${\frac {\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}{5}}$	$2{\sqrt {2-{\sqrt {3))))$

A trigonometrikus függvények értékei néhány más szöghez

$\sin \frac{\pi}{60} = \cos \frac{29\,\pi}{60} = \sin 3^\circ = \cos 87^\circ = \frac{\sqrt{2}( \sqrt{3}+1)(\sqrt{5}-1)-2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},$

$\cos \frac{\pi}{60} = \sin \frac{29\,\pi}{60} = \cos 3^\circ = \sin 87^\circ = \frac{\sqrt{2}( \sqrt{3}-1)(\sqrt{5}-1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},$

$\operátornév{tg} \frac{\pi}{60} = \operátornév{ctg} \frac{29\,\pi}{60} = \operátornév{tg} 3^\circ = \operátornév{ctg} 87^ \circ = \frac{2(\sqrt{5}+2)-\sqrt{3}(\sqrt{5}+3)+(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}(\sqrt {5}+1)-2)\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{2},$

$\operátornév{ctg} \frac{\pi}{60} = \operátornév{tg} \frac{29\,\pi}{60} = \operátornév{ctg} 3^\circ = \operátornév{tg} 87^ \circ = \frac{2(2(\sqrt{5}+2)+\sqrt{3}(\sqrt{5}+3))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}-1) +2)\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}}{4},$

$\sin \frac{\pi}{30} = \cos \frac{7\,\pi}{15} = \sin 6^\circ = \cos 84^\circ = \frac{\sqrt{6(5 -\sqrt{5})}-\sqrt{5}-1}{8},$

$\cos \frac{\pi}{30} = \sin \frac{7\,\pi}{15} = \cos 6^\circ = \sin 84^\circ = \frac{\sqrt{2(5 -\sqrt{5})}+\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)}{8},$

$\operátornév{tg} \frac{\pi}{30} = \operátornév{ctg} \frac{7\,\pi}{15} = \operátornév{tg} 6^\circ = \operátornév{ctg} 84^ \circ = \frac{\sqrt{2(5-\sqrt{5})}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{2},$

$\operátornév{ctg} \frac{\pi}{30} = \operátornév{tg} \frac{7\,\pi}{15} = \operátornév{ctg} 6^\circ = \operátornév{tg} 84^ \circ = \frac{\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}+\sqrt{3}(\sqrt{5}+3)}{2},$

$\sin \frac{\pi}{20} = \cos \frac{9\,\pi}{20} = \sin 9^\circ = \cos 81^\circ = \frac{\sqrt{2}( \sqrt{5}+1)-2\sqrt{5-\sqrt{5}}}{8},$

$\cos \frac{\pi}{20} = \sin \frac{9\,\pi}{20} = \cos 9^\circ = \sin 81^\circ = \frac{\sqrt{2}( \sqrt{5}+1)+2\sqrt{5-\sqrt{5}}}{8},$

$\operátornév{tg} \frac{\pi}{20} = \operátornév{ctg} \frac{9\,\pi}{20} = \operátornév{tg} 9^\circ = \operátornév{ctg} 81^ \circ = {\sqrt{5}+1-\sqrt{5+2\sqrt{5}}},$

$\operátornév{ctg} \frac{\pi}{20} = \operátornév{tg} \frac{9\,\pi}{20} = \operátornév{ctg} 9^\circ = \operátornév{tg} 81^ \circ = {\sqrt{5}+1+\sqrt{5+2\sqrt{5}}},$

$\sin \frac{\pi}{15} = \cos \frac{13\,\pi}{30} = \sin 12^\circ = \cos 78^\circ = \frac{\sqrt{2(5 +\sqrt{5})}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{8},$

$\cos \frac{\pi}{15} = \sin \frac{13\,\pi}{30} = \cos 12^\circ = \sin 78^\circ = \frac{\sqrt{6(5 +\sqrt{5})}+\sqrt{5}-1}{8},$

$\operátornév{tg} \frac{\pi}{15} = \operátornév{ctg} \frac{13\,\pi}{30} = \operátornév{tg} 12^\circ = \operátornév{ctg} 78^ \circ = \frac{\sqrt{3}(3-\sqrt{5})-\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{2},$

$\operátornév{ctg} \frac{\pi}{15} = \operátornév{tg} \frac{13\,\pi}{30} = \operátornév{ctg} 12^\circ = \operátornév{tg} 78^ \circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)+\sqrt{2(5+\sqrt{5))))){2},$

$\sin \frac{7\,\pi}{60} = \cos \frac{23\,\pi}{60} = \sin 21^\circ = \cos 69^\circ = \frac{-\sqrt {2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}+1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},$

$\cos \frac{7\,\pi}{60} = \sin \frac{23\,\pi}{60} = \cos 21^\circ = \sin 69^\circ = \frac{\sqrt{ 2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}+1)+2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},$

$\operátornév{tg} \frac{7\,\pi}{60} = \operátornév{ctg} \frac{23\,\pi}{60} = \operátornév{tg} 21^\circ = \operátornév{ctg } 69^\circ = \frac{2(2(\sqrt{5}-2)-\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5} +1)-2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},$

$\operátornév{ctg} \frac{7\,\pi}{60} = \operátornév{tg} \frac{23\,\pi}{60} = \operátornév{ctg} 21^\circ = \operátornév{tg } 69^\circ = \frac{2(2(\sqrt{5}-2)+\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5} +1)+2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},$

$\sin \frac{2\,\pi}{15} = \cos \frac{11\,\pi}{30} = \sin 24^\circ = \cos 66^\circ = \frac{\sqrt{ 3}(\sqrt{5}+1)-\sqrt{2(5-\sqrt{5})}}{8},$

$\cos \frac{2\,\pi}{15} = \sin \frac{11\,\pi}{30} = \cos 24^\circ = \sin 66^\circ = \frac{\sqrt{ 5}+1+\sqrt{6(5-\sqrt{5})}}{8},$

$\operátornév{tg} \frac{2\,\pi}{15} = \operátornév{ctg} \frac{11\,\pi}{30} = \operátornév{tg} 24^\circ = \operátornév{ctg } 66^\circ = \frac{-\sqrt{3}(3+\sqrt{5})+\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}}{2},$

$\operátornév{ctg} \frac{2\,\pi}{15} = \operátornév{tg} \frac{11\,\pi}{30} = \operátornév{ctg} 24^\circ = \operátornév{tg } 66^\circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)+\sqrt{2(5-\sqrt{5}))){2},$

$\sin \frac{3\,\pi}{20} = \cos \frac{7\,\pi}{20} = \sin 27^\circ = \cos 63^\circ = \frac{-\sqrt {2}(\sqrt{5}-1)+2\sqrt{5+\sqrt{5}}}{8},$

$\cos \frac{3\,\pi}{20} = \sin \frac{7\,\pi}{20} = \cos 27^\circ = \sin 63^\circ = \frac{\sqrt{ 2}(\sqrt{5}-1)+2\sqrt{5+\sqrt{5}}}{8},$

$\operátornév{tg} \frac{3\,\pi}{20} = \operátornév{ctg} \frac{7\,\pi}{20} = \operátornév{tg} 27^\circ = \operátornév{ctg } 63^\circ = {\sqrt{5}-1-\sqrt{5-2\sqrt{5}}},$

$\operátornév{ctg} \frac{3\,\pi}{20} = \operátornév{tg} \frac{7\,\pi}{20} = \operátornév{ctg} 27^\circ = \operátornév{tg } 63^\circ = {\sqrt{5}-1+\sqrt{5-2\sqrt{5}}},$

$\sin \frac{11\,\pi}{60} = \cos \frac{19\,\pi}{60} = \sin 33^\circ = \cos 57^\circ = \frac{\sqrt{ 2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}-1)+2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},$

$\cos \frac{11\,\pi}{60} = \sin \frac{19\,\pi}{60} = \cos 33^\circ = \sin 57^\circ = \frac{-\sqrt {2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}-1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},$

$\operátornév{tg} \frac{11\,\pi}{60} = \operátornév{ctg} \frac{19\,\pi}{60} = \operátornév{tg} 33^\circ = \operátornév{ctg } 57^\circ = \frac{-2(\sqrt{5}+2)+\sqrt{3}(3+\sqrt{5})+(2-\sqrt{3})(\sqrt{3 }(\sqrt{5}+1)-2)\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{2},$

$\operátornév{ctg} \frac{11\,\pi}{60} = \operátornév{tg} \frac{19\,\pi}{60} = \operátornév{ctg} 33^\circ = \operátornév{tg } 57^\circ = \frac{-2(2(\sqrt{5}+2)+\sqrt{3}(3+\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5) }-1)+2)\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}}{4},$

$\sin \frac{13\,\pi}{60} = \cos \frac{17\,\pi}{60} = \sin 39^\circ = \cos 51^\circ = \frac{\sqrt{ 2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}+1)-2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},$

$\cos \frac{13\,\pi}{60} = \sin \frac{17\,\pi}{60} = \cos 39^\circ = \sin 51^\circ = \frac{\sqrt{ 2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}+1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},$

$\operátornév{tg} \frac{13\,\pi}{60} = \operátornév{ctg} \frac{17\,\pi}{60} = \operátornév{tg} 39^\circ = \operátornév{ctg } 51^\circ = \frac{-2(2(\sqrt{5}-2)+\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5) }+1)+2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},$

$\operátornév{ctg} \frac{13\,\pi}{60} = \operátornév{tg} \frac{17\,\pi}{60} = \operátornév{ctg} 39^\circ = \operátornév{tg } 51^\circ = \frac{-2(2(\sqrt{5}-2)-\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5) }+1)-2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},$

$\sin \frac{7\,\pi}{30} = \cos \frac{8\,\pi}{30} = \sin 42^\circ = \cos 48^\circ = \frac{-(\ négyzet{5}-1)+\sqrt{6(5+\sqrt{5})}}{8},$

$\cos \frac{7\,\pi}{30} = \sin \frac{8\,\pi}{30} = \cos 42^\circ = \sin 48^\circ = \frac{\sqrt{ 3}(\sqrt{5}-1)+\sqrt{2(5+\sqrt{5})}}{8},$

$\operátornév{tg} \frac{7\,\pi}{30} = \operátornév{ctg} \frac{8\,\pi}{30} = \operátornév{tg} 42^\circ = \operátornév{ctg } 48^\circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-\sqrt{2(5+\sqrt{5}))){2},$

$\operátornév{ctg} \frac{7\,\pi}{30} = \operátornév{tg} \frac{8\,\pi}{30} = \operátornév{ctg} 42^\circ = \operátornév{tg } 48^\circ = \frac{\sqrt{3}(3-\sqrt{5})+\sqrt{2(25-11\sqrt{5))))){2},$

$\operátornév{tg} \frac{\pi}{120} = \operátornév{ctg} \frac{59\,\pi}{120} = \operátornév{tg} 1,5^\circ = \operátornév{ctg} 88,5^ \circ = \sqrt{\frac{8-\sqrt{2(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})} - \sqrt{ 2(2+\sqrt{3})(5 +\sqrt{5})}}{8+\sqrt{2(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})}+\sqrt{2(2+\sqrt{3})( 5+\sqrt{5})} }},$

$\cos {\frac {\pi }{240}}=\sin {\frac {119\,\pi }{240}}=\cos 0,75^{\circ }=\sin 89,25^{\circ }={\frac {1}{16}}\left({\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2))))))\left({\sqrt {2(5+{ \sqrt {5)))))+{\sqrt {3}}(1-{\sqrt {5}})\jobbra)+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2} )))))\left({\sqrt {6(5+{\sqrt {5))))}}+{\sqrt {5}}-1\right)\right),$

$\cos \frac{\pi}{17} = \sin \frac{15\,\pi}{34} = \frac{1}{8}\sqrt{2 \left(2\sqrt{3\sqrt{ 17}-\sqrt{2(85+19\sqrt{17})} +17}+\sqrt{2(17-\sqrt{17})}+\sqrt{17}+15 \right)}.$

$\sin {\pi \over 2^{n+1}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}} }}} _{n},n\in \mathbb {N}$

$\cos {\pi \over 2^{n+1}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}} }}} _{n},n\in \mathbb {N}$

$\sin {\pi \over 3\cdot 2^{n}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {3}} }}}} _{n},n\geq 2$

$\cos {\pi \over 3\cdot 2^{n}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {3}} }}}} _{n},n\geq 2$

A trigonometrikus függvények tulajdonságai

A legegyszerűbb azonosságok

Mivel a szinusz és a koszinusz az egységkör α szögének megfelelő pont ordinátája és abszcisszája , akkor a ( ) egységkör egyenlet vagy a Pitagorasz-tétel szerint a következőt kapjuk: $x^{2}+y^{2}=1$

\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1.

Ezt a relációt alap trigonometrikus azonosságnak nevezzük .

Ha ezt az egyenletet elosztjuk a koszinusz és a szinusz négyzetével, a következőt kapjuk:

1+\mathop {\mathrm {tg} } \,^{2}\alpha =\mathop {\mathrm {sec} } \,^{2}\alpha ,

1+\mathop {\mathrm {ctg} } \,^{2}\alpha =\mathop {\mathrm {cosec} } \,^{2}\alpha .

Az érintő és a kotangens definíciójából az következik

\mathop{\mathrm{tg}}\,\alpha \cdot \mathop{\mathrm{ctg}}\,\alpha=1.

Bármely trigonometrikus függvény kifejezhető bármely más trigonometrikus függvénnyel ugyanazzal az argumentummal (a négyzetgyök kiterjesztésének kétértelműsége miatti előjelig). A következő képletek helyesek : $0<x<\pi /2$

	bűn	kötözősaláta	tg	ctg	mp	ok
$\,\sin x=$	$\,\sin x$	${\sqrt {1-\cos ^{2}x}}$	${\displaystyle {\frac {\operatorname {tg} x}{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}x))))$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\operatorname {ctg} ^{2}x+1))))$	${\frac {\sqrt {\sec ^{2}x-1)){\sec x))$	${\frac {1}{\operatorname {cosec} x))$
$\,\cos x=$	$\,{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}$	$\,\cos x$	${\displaystyle \,{\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}x))))$	${\displaystyle \,{\frac {\operatorname {ctg} x}{\sqrt {\operatorname {ctg} ^{2}x+1))))$	$\,{\frac {1}{\sec x}}$	$\,{\frac {\sqrt {\operatorname {cosec} ^{2}x-1}}{\operatorname {cosec} x}}$
${\megjelenítési stílus \,\operátornév {tg} x=}$	${\displaystyle \,{\frac {\sin x}{\sqrt {1-\sin ^{2}x))))$	$\,{\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}{\cos x}}$	$\,\operátornév {tg} x$	$\,{\frac {1}{\operatorname {ctg} x}}$	$\,{\sqrt {\sec ^{2}x-1))$	${\displaystyle \,{\frac {1}{\sqrt {\operatorname {cosec} ^{2}x-1))))$
$\,\operátornév {ctg} x=$	$\,{\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}x}}{\sin x}}$	${\displaystyle \,{\frac {\cos x}{\sqrt {1-\cos ^{2}x))))$	$\,{\frac {1}{\operatorname {tg} x}}$	$\,\operátornév {ctg} x$	${\displaystyle \,{\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}x-1))))$	$\,{\sqrt {\operatorname {cosec} ^{2}x-1))$
$\,\sec x=$	${\displaystyle \,{\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}x))))$	$\,{\frac {1}{\cos x))$	$\,{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}x}}$	$\,{\frac {\sqrt {\operatorname {ctg} ^{2}x+1}}{\operatorname {ctg} x}}$	$\,\sec x$	${\displaystyle \,{\frac {\operatorname {cosec} x}{\sqrt {\operatorname {cosec} ^{2}x-1))))$
$\,\operátornév {cosec} x=$	$\,{\frac {1}{\sin x}}$	${\displaystyle \,{\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}x))))$	$\,{\frac {\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}x}}{\operatorname {tg} x}}$	$\,{\sqrt {\operatorname {ctg} ^{2}x+1}}$	${\displaystyle \,{\frac {\sec x}{\sqrt {\sec ^{2}x-1))))$	$\,\operátornév {cosec} x$

Folytonosság

A szinusz és a koszinusz folytonos függvények .
Az érintőnek és a szekánsnak van töréspontja , ahol tetszőleges egész szám . $\pi /2+\pi k$ $k$
A kotangensnek és a koszekánsnak vannak szakadási pontjai , ahol tetszőleges egész szám . $\pik$ $k$

Paritás

A koszinusz és a szekáns páros . A maradék négy függvény páratlan , azaz:

\sin \left( - \alpha \right) = - \sin \alpha \,,

\cos \left( - \alpha \right) = \cos \alpha \,,

\mathop{\mathrm{tg}}\, \left( - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha \,,

\mathop{\mathrm{ctg}}\, \left( - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha \,,

\sec \left( - \alpha \right) = \sec \alpha \,,

\mathop{\mathrm{cosec}}\, \left( - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{cosec}}\, \alpha \,.

Periodika

A függvények periodikusak periódussal , függvények és periódusosak . $\sin x,\;\cos x,\;\sec x,\;\mathrm {cosec} \,x$ $2\pi$ $\mathrm {tg} \,x$ $\mathrm {ctg} \,x$ $\pi$

Képletek öntése

A redukciós képleteket a következő formájú képleteknek nevezzük:

f(n\pi +\alpha )=\pm f(\alpha ),

f(n\pi -\alpha )=\pm f(\alpha ),

f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2))+\alpha \right)=\pm g(\alpha ),

f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}-\alpha \right)=\pm g(\alpha ).

Itt - bármely trigonometrikus függvény, - a megfelelő kofüggvény (vagyis koszinusz a szinusz, szinusz koszinusz, tangens kotangens, kotangens érintő, szekáns koszekáns és koszekáns szekáns), - egy egész szám . Az eredményül kapott függvényt megelőzi az eredeti függvény adott koordinátanegyedében lévő előjele, feltéve, hogy a szög hegyesszögű, például: $f$ $g$ $n$ $\alpha$

\cos \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) = \sin \alpha\,,

vagy mi ugyanaz:

\cos \left( 90^\circ - \alpha \right) = \sin \alpha\,.

Néhány öntési képlet:

$\alpha$	$\frac{\pi}{2} - \alpha$	$\frac{\pi}{2} + \alpha$	$\pi -\alpha$	$\pi +\alpha$	$\frac{3\,\pi}{2} - \alpha$	$\frac{3\,\pi}{2} + \alpha$	$2\,\pi - \alpha$
$\sin\alpha$	$\cos\alpha$	$\cos\alpha$	$\sin\alpha$	$-\sin \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\sin \alpha$
$\cos\alpha$	$\sin\alpha$	$-\sin \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\sin \alpha$	$\sin\alpha$	$\cos\alpha$
$\operátornév{tg}\,\alpha$	$\operátornév{ctg}\,\alpha$	$-\operátornév{ctg}\,\alpha$	$-\operátornév{tg}\,\alpha$	$\operátornév{tg}\,\alpha$	$\operátornév{ctg}\,\alpha$	$-\operátornév{ctg}\,\alpha$	$-\operátornév{tg}\,\alpha$
$\operátornév{ctg}\,\alpha$	$\operátornév{tg}\,\alpha$	$-\operátornév{tg}\,\alpha$	$-\operátornév{ctg}\,\alpha$	$\operátornév{ctg}\,\alpha$	$\operátornév{tg}\,\alpha$	$-\operátornév{tg}\,\alpha$	$-\operátornév{ctg}\,\alpha$

A kívánt redukciós képleteket az egységkör függvényeinek figyelembevételével is könnyen megkaphatjuk.

Összeadás és kivonás képletek

Két szög összegének és különbségének trigonometrikus függvényeinek értékei:

\sin\left( \alpha \pm \beta \right)= \sin\alpha \, \cos\beta \pm \cos\alpha \, \sin\beta,

\cos\left( \alpha \pm \beta \right)= \cos\alpha \, \cos\beta \mp \sin\alpha \, \sin\beta,

\operatorname{tg}\left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{\operatorname{tg}\,\alpha \pm \operatorname{tg}\,\beta}{1 \mp \operatorname{tg }\,\alpha \, \operátornév{tg}\,\beta},

\operatorname{ctg}\left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta \mp 1}{\operátornév{ctg }\,\beta \pm \operátornév{ctg}\,\alpha}.

Hasonló képletek három szög összegére:

\sin \left( \alpha + \beta + \gamma \right) = \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma + \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma + \cos \alpha \cos \ béta \sin \gamma - \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma,

\cos \left( \alpha + \beta + \gamma \right) = \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma - \sin \alpha \cos \ beta \sin \gamma - \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma.

Képletek több szöghez

Kettős szög képletek:

\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operátornév{tg}\,\alpha }{1 + \operátornév{tg}^2\alpha} = \frac{2 \,\operátornév{ctg}\,\alpha }{1 + \operátornév{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operátornév{tg}\,\alpha + \operátornév{ctg}\,\ alfa},

\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \ alpha = \frac{1 - \operátornév{tg}^2 \alpha}{1 + \operátornév{tg}^2\alpha} = \frac{\operátornév{ctg}^2 \alpha - 1}{\operátornév{ ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operátornév{ctg}\,\alpha - \operátornév{tg}\,\alpha}{\operátornév{ctg}\,\alpha + \operátornév{tg}\ ,\alpha},

\operátornév{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operátornév{tg}\,\alpha}{1 - \operátornév{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operátornév{ ctg}\,\alpha}{\operátornév{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},

\operátornév{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operátornév{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operátornév{ctg}\,\alpha} = \frac{\operátornév{ctg}\ ,\alpha - \operátornév{tg}\,\alpha}{2}.

Háromszög képletek:

\sin\,3\alpha=3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha,

\cos\,3\alpha=4\cos^3\alpha -3\cos\alpha,

\operátornév{tg}\,3\alpha=\frac{3\,\operátornév{tg}\,\alpha - \operátornév{tg}^3\,\alpha}{1 - 3\,\operátornév{tg} ^2\,\alpha},

\operátornév{ctg}\,3\alpha=\frac{\operátornév{ctg}^3\,\alpha - 3\,\operátornév{ctg}\,\alpha}{3\,\operátornév{ctg}^2 \,\alpha - 1}.

További képletek több szöghez:

\sin\,4\alpha=\cos\alpha \left(4\sin\alpha - 8\sin^3\alpha\jobb),

\cos\,4\alpha=8\cos^4\alpha - 8\cos^2\alpha + 1,

\operátornév{tg}\,4\alpha=\frac{4\,\operátornév{tg}\,\alpha - 4\,\operátornév{tg}^3\,\alpha}{1 - 6\,\operátornév {tg}^2\,\alpha + \operátornév{tg}^4\,\alpha},

\operátornév{ctg}\,4\alpha=\frac{\operátornév{ctg}^4\,\alpha - 6\,\operátornév{ctg}^2\,\alpha + 1}{4\,\operátornév{ ctg}^3\,\alpha - 4\,\operátornév{ctg}\,\alpha},

\sin\,5\alpha=16\sin^5\alpha-20\sin^3\alpha +5\sin\alpha,

\cos\,5\alpha=16\cos^5\alpha-20\cos^3\alpha +5\cos\alpha,

\operatorname{tg}\,5\alpha=\operatorname{tg}\alpha\frac{\operatorname{tg}^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+5}{5\operatorname{tg }^4\alpha-10\operátornév{tg}^2\alpha+1},

\operatorname{ctg}\,5\alpha=\operatorname{ctg}\alpha\frac{\operatorname{ctg}^4\alpha-10\operatorname{ctg}^2\alpha+5}{5\operatorname{ctg }^4\alpha-10\operátornév{ctg}^2\alpha+1},

\sin (n\alpha)=2^{n-1}\prod^{n-1}_{k=0}\sin\left( \alpha+\frac{\pi k}{n}\right)

a komplement képletből és a gamma-függvény Gauss-képletéből következik .

De Moivre képletéből a következő általános kifejezések nyerhetők több szögre:

\sin(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\cos^{n-2k -1}\alpha\,\sin^{2k+1}\alpha,

\cos(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\cos^{n-2k}\alpha\,\ sin^{2k}\alpha,

\mathrm{tg}(n\alpha)=\frac{\sin(n\alpha)}{\cos(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[ (n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{tg}^{2k+1}\alpha)){\displaystyle{\sum\limits_{k =0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{tg}^{2k}\alpha}},

\mathrm{ctg}(n\alpha)=\frac{\cos(n\alpha)}{\sin(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[ n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{ctg}^{n-2k}\alpha)){\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[ (n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{ctg}^{n-2k-1}\alpha}},

ahol a szám egész része, a binomiális együttható . $[n]$ $n$ $\binom{n}{k}$

Félszög képletek:

\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2)),\quad 0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi,

\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2)),\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi,

\operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} ,

\operátornév{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha} ,

\operátornév{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha)),\quad 0 \leqslant \alpha < \pi ,

\operátornév{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha)),\quad 0 < \alpha \leqslant \pi .

Művek

Képletek két szög függvényének szorzatára:

\sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2)),

\sin\alpha \cos\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{2},

\cos\alpha \cos\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)}{2},

\operátornév{tg}\,\alpha\,\operátornév{tg}\,\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha- \beta) + \cos(\alpha+\beta)},

\operátornév{tg}\,\alpha\,\operátornév{ctg}\,\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha+\ beta)-\sin(\alpha-\beta)},

\operátornév{ctg}\,\alpha\,\operátornév{ctg}\,\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha- \beta) - \cos(\alpha+\beta)}.

Hasonló képletek három szög szinuszainak és koszinuszainak szorzatára:

\sin\alpha \sin\beta \sin\gamma = \frac{\sin(\alpha+\beta-\gamma) + \sin(\beta+\gamma-\alpha) + \sin(\alpha-\beta+\gamma ) - \sin(\alpha+\beta+\gamma)}{4},

\sin\alpha \sin\beta \cos\gamma = \frac{-\cos(\alpha+\beta-\gamma) + \cos(\beta+\gamma-\alpha) + \cos(\alpha-\beta+\ gamma) - \cos(\alpha+\beta+\gamma)}{4},

\sin\alpha \cos\beta \cos\gamma = \frac{\sin(\alpha+\beta-\gamma) - \sin(\beta+\gamma-\alpha) + \sin(\alpha-\beta+\gamma ) - \sin(\alpha+\beta+\gamma)}{4},

\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma = \frac{\cos(\alpha+\beta-\gamma) + \cos(\beta+\gamma-\alpha) + \cos(\alpha-\beta+\gamma ) + \cos(\alpha+\beta+\gamma)}{4}.

Három szög érintőinek és kotangenseinek szorzatára képleteket kaphatunk a fent bemutatott megfelelő egyenlőségek jobb és bal részének elosztásával.

Fokok

\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\,\alpha }{2))={\frac {\operátornév {tg} ^{2}\,\alpha }{ 1+\operátornév {tg} ^{2}\,\alpha }},

\cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\,\alpha }{2}}={\frac {\operátornév {ctg}^{2}\,\alpha }{1+\ operátornév {ctg}^{2}\,\alpha }},

\operátornév {tg}^{2}\,\alpha ={\frac {1-\cos 2\,\alpha }{1+\cos 2\,\alpha }}={\frac {\operátornév {sin} ^{2}\,\alpha }{1-\operátornév {sin}^{2}\,\alpha }},

\operátornév {ctg} ^{2}\,\alpha ={\frac {1+\cos 2\,\alpha }{1-\cos 2\,\alpha }}={\frac {\operátornév {cos} ^{2}\,\alpha }{1-\operátornév {cos} ^{2}\,\alpha }},

\sin^3\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha}{4},

\cos^3\alpha = \frac{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha}{4},

\operátornév{tg}^3\,\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha}{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha},

\operátornév{ctg}^3\,\alpha = \frac{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha}{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha},

\sin^4\alpha = \frac{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}{8},

\cos^4\alpha = \frac{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3}{8},

\operátornév{tg}^4\,\alpha = \frac{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3} ,

\operátornév{ctg}^4\,\alpha = \frac{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3}{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3} .

Összegek

\sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2))\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2)),

\cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2))\cos {\frac {\alpha -\beta }{2)),

\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2))\sin {\frac {\alpha -\beta }{2)),

\operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta )),

\operatorname {ctg} \alpha \pm \operatorname {ctg} \beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta )),

1\pm \sin {2\alpha }=(\sin \alpha \pm \cos \alpha )^{2},

\sin \alpha \pm \cos \alpha ={\sqrt {2}}\cdot \sin \left(\alpha \pm {\pi \over 4}\right).

Van egy kilátás:

A\sin \alpha +B\cos \alpha ={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}\;\sin(\alpha +\phi ),

ahol a szög megtalálható az összefüggésekből: $\phi$

\sin \phi ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2))))),

\cos \phi ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2)))).

Univerzális trigonometrikus helyettesítés

Minden trigonometrikus függvény kifejezhető a félszög érintőjével:

$\sin x={\frac {\sin x}{1}}={\frac {2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}}} {\sin ^{2}{\frac {x}{2}}+\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {2\operátornév {tg} {\frac {x}{2}}}{1+\operátornév {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}},$

$\cos x={\frac {\cos x}{1}}={\frac {\cos ^{2}{\frac {x}{2}}-\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}+\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {1 -\operátornév {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1+\operátornév {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}},$

$\operatorname {tg} ~x={\frac {\sin x}{\cos x}}={\frac {2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}{1- \operátornév {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}},$

$\operatorname {ctg} ~x={\frac {\cos x}{\sin x))={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2} }}{2\operátornév {tg} {\frac {x}{2}}}},$

$\sec x={\frac {1}{\cos x}}={\frac {1+\operátornév {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1-\ operátornév {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}},$

$\operatorname {cosec} ~x={\frac {1}{\sin x}}={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}} {2\operátornév {tg} {\frac {x}{2}}}}.$

Függvények vizsgálata a matematikai elemzésben

Bomlás végtelen szorzatokra

A trigonometrikus függvények polinomok végtelen szorzataként ábrázolhatók :

\sin x=x\,\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2} }}\jobb),

\cos x=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-{\frac {4x^{2}}{\pi ^{2}(2n+1)^{2 }}}\jobb).

Ezek az összefüggések bármely értékre érvényesek . $x$

Folytatva törtek

Az érintő kiterjesztése folyamatos törtté :

\mathop {\rm {tg)) x={\frac {x}{1-{\frac {x^{2}}{3-{\frac {x^{2}}{5-{ \frac {x^{2}}{7-{\frac {x^{2}}{\ddots }}}}}}}}}}

Származékok és antiderivatívek

Minden trigonometrikus függvény folyamatosan és korlátlanul differenciálható a teljes definíciós tartományban:

$( \sin x )' = \cos x \,,$

$( \cos x )' = -\sin x \,,$

$(\operátornév {tg} x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=1+\operátornév {tg} ^{2}x=\sec ^{2}x ,$

$(\operátornév {ctg} x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=-\operátornév {cosec} ^{2}x,$

$(\sec x)'={\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}=\sec x\operátornév {tg} x,$

$( \operátornév{cosec}~x)' = -\frac{\cos x}{\sin ^2 x}.$

A definíciós tartományban lévő trigonometrikus függvények integráljait elemi függvényekkel fejezzük ki [6] :

$\int\sin x\, dx = -\cos x + C \,,$

$\int\cos x\, dx = \sin x + C \,,$

$\int \operátornév {tg} x\,dx=-\ln \left|\cos x\right|+C\,,$

$\int \operátornév {ctg} x\,dx=\ln \left|\sin x\right|+C\,,$

$\int\sec x\, dx=\ln \left| \operátornév{tg} \, \left( \frac {\pi}{4}+\frac{x}{2}\right) \right|+ C \,,$

$\int \operátornév{cosec}~ x\, dx=\ln \left| \operátornév{tg} \, \frac{x}{2} \right|+ C.$

Komplex argumentum trigonometrikus függvényei

Definíció

Euler képlet :

e^{i\vartheta }=\cos \vartheta +i\sin \vartheta .

Az Euler-képlet lehetővé teszi összetett argumentumok trigonometrikus függvényeinek definiálását a kitevőben , a hiperbolikus függvényekkel analóg módon , vagy ( sorok használatával ) valós megfelelőik analitikus folytatásaként :

\sin z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}\, = \frac{\operátornév{sh} iz }{i};

\cos z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} = \frac{e^{iz} + e^{ -iz}}{2}\, = \operátornév{ch}iz;

\operátornév{tg}\, z = \frac{\sin z}{\cos z} = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{i(e^{iz} + e^{ -iz})};

\operátornév{ctg}\, z = \frac{\cos z}{\sin z} = \frac{i(e^{iz} + e^{-iz})}{e^{iz} - e^ {-iz}};

\sec z = \frac{1}{\cos z} = \frac{2}{e^{iz} + e^{-iz}};

\operatorname {cosec} \,z={\frac {1}{\sin z}}={\frac {2i}{e^{iz}-e^{-iz}}},

ahol

i^{2}=-1.

Ennek megfelelően valós x esetén :

\cos x=\operatorname {Re} (e^{ix}),

\sin x=\operátornév {Im} (e^{ix}).

A komplex szinusz és koszinusz szorosan összefügg a hiperbolikus függvényekkel :

\sin(x+iy)=\sin x\,\operátornév {ch} \,y+i\cos x\,\operátornév {sh} \,y,

\cos(x+iy)=\cos x\,\operátornév {ch} \,yi\sin x\,\operátornév {sh} \,y.

A trigonometrikus függvények fenti tulajdonságainak többsége a komplex esetben is megmarad. Néhány további tulajdonság:

a komplex szinusz és koszinusz, a valódiaktól eltérően, tetszőlegesen nagy értékeket vehet fel abszolút értékben;
az összetett szinusz és koszinusz összes nullája a valós tengelyen fekszik.

Összetett gráfok

A következő grafikonok az összetett síkot és a jellemző értékeket mutatják színesen kiemelve. A fényerő az abszolút értéket tükrözi (a fekete nulla). A szín az argumentumtól és a szögtől függően változik a térképnek megfelelően .

Trigonometrikus függvények a komplex síkban


$\sin \,z$	$\cos\,z$	$\operatorname {tg} \,z$	$\operátornév {ctg} \,z$	$\sec \,z$	$\operátornév {cosec} \,z$

A nevek története

A szinuszvonalat (a vonal a 2. ábrán ) az indiai matematikusok eredetileg „arha-jiva”-nak („félhúrnak”, vagyis ennek az ívnek a felének nevezték) , mivel az akkorddal rendelkező ív egy íjhoz hasonlít. íjhúr ). Aztán az "arha" szót kihagyták, és a szinuszvonalat egyszerűen "dzsívának" nevezték el. Az indiai könyveket szanszkritból fordító arab matematikusok nem az íjhúrt és akkordot jelölő arab "vatar" szóra fordították a "dzsíva" szót , hanem arab betűkkel írták át, és a szinuszvonalat "jiba"-nak ( جيب ‎) kezdték nevezni. . Mivel a rövid magánhangzókat arabul nem jelölik , és a hosszú „és” a „jiba” szóban ugyanúgy van feltüntetve, mint az „y” félhangzó, az arabok a szinuszvonal nevét „jib”-ként kezdték kiejteni, ami szó szerint „depressziót”, „kebelt” jelent. Az arab művek latinra történő fordításakor az európai fordítók a "jaib" szót a latin sinus - " sinus " szóval fordították, amelynek ugyanaz a jelentése (ebben a jelentésben használják anatómiai kifejezésként sinus ). A " koszinusz " ( lat. cosinus ) a lat rövidítése . komplementi sinus - kiegészítő szinusz. $AB$

William Oughtred és Bonaventura Cavalieri által bevezetett modern rövidítések , amelyeket Leonhard Euler írásai tartalmaznak . $\bűn$ $\kötözősaláta$

A „ tangens ” ( lat. tangens – megható) és a „ sekans ” ( lat. secans – szekáns) kifejezéseket Thomas Fincke dán matematikus vezette be a Kerek geometriája (Geometria rotundi, 1583) című könyvében .

A trigonometrikus függvények kifejezést Klugel vezette be 1770 -ben .

Később az inverz trigonometrikus függvények kifejezéseit is bevezették - arcsine , arccosine , arctangens , arccotangens , arcsecant , arccosecant - az " arc " előtag hozzáadásával (a latin arcus - arc), - J. Lagrange és mások.

Lásd még

Irodalom

Bermant A. F., Lyusternik L. A. Trigonometria. — M.: Nauka, 1967.
Trigonometrikus függvények - cikk a Great Soviet Encyclopedia- ból . - M.: Szovjet Enciklopédia , 1977. - T. 26. - S. 204-206.
Bronstein I. N. , Semendyaev K. A. Egyenes vonalú trigonometria // Matematika kézikönyve . - Szerk. 7., sztereotip. - M . : Állami Műszaki és Elméleti Irodalmi Kiadó, 1967. - S. 179-184.
Vygodsky M. Ya. Az elemi matematika kézikönyve . - M .: Nauka, 1978.
- Újrakiadás: M.: AST, 2006. - 509 p. — ISBN 5-17-009554-6 www.alleng.ru/d/math/math42.htm
Dwight GB Trigonometrikus függvények // Integrálok és egyéb matematikai képletek táblázatai. - 4. kiadás - M . : Nauka, 1973. - S. 70-102.
Kozheurov P.A. Trigonometria. — M.: Fizmatgiz, 1963.
Markushevich A.I. Nagy melléküregek. - M.: Nauka, 1974.
Matematikai Enciklopédia / Ch. szerk. I. M. Vinogradov. - M .: Szovjet Enciklopédia, 1984. - I. M. Vinogradov. Trigonometrikus függvények // Matematikai enciklopédia. — M.: Szovjet Enciklopédia . - 1977-1985. (Orosz)
Trigonometrikus függvények // Egy fiatal matematikus enciklopédikus szótára / Szerk. kollégium, Gnedenko B.V. (főszerkesztő), Savin A.P. és mások - M .: Pedagógia , 1985 (1989). - S. 299-301-305. - 352 p., ill. - ISBN 5-7155-0218-7 ( 342. , 343. o. - trigonometrikus függvények táblázatai 0 ° -90 °, radiánban is)
Trigonometrikus függvények // Matematika kézikönyve (középiskolák számára) / Tsypkin A. G., szerk. Stepanova S. A. - 3. kiadás. — M.: Nauka, Ch. kiadása a Phys.-Math. Irodalom, 1983. - S. 240-258. — 480 s.

Linkek

GonioLab - tisztázott egységkör, trigonometrikus és hiperbolikus függvények (Java Web Start)
Weisstein, Eric W. Trigonometric Functions (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .
Online számológép: trigonometrikus függvények értékeinek kiszámítása (beleértve a háromszög szögeinek megkeresését oldalak szerint)
A trigonometrikus függvényértékek interaktív térképe
Trigonometrikus táblázatok (0° - 360°)
"Szinusz és koszinusz százalékok" - Hogyan tanuljuk meg a trigonometriát intuitív módon | Jobban megmagyarázva _

Jegyzetek

↑ Kézikönyv: Korn G., Korn T. Matematika kézikönyve (tudósoknak és mérnököknek) . - M . : Nauka, 1973. - 720 p. A Wayback Machine 2015. január 19-i archív példánya speciális funkciókként sorolja fel őket .
↑ Matematikai jel. // Nagy szovjet enciklopédia . 1. kiadás T. 27. - M., 1933.
↑ Az elemi matematika kézikönyve, 1978 , p. 271-272.
↑ Az elemi matematika kézikönyve, 1978 , p. 282-284.
↑ Iljin V. A. , Poznyak E. G. A matematikai elemzés alapjai. 1. rész - M . : Nauka , 1998. - ISBN 5-02-015231-5 .
↑ Az egyenlőségek jobb oldalán logaritmust tartalmazó képletekben az integrációs állandók általában eltérőek a különböző folytonossági intervallumokhoz. $\scriptstyle C$

Szótárak és enciklopédiák

Bibliográfiai katalógusokban
BNF : 12168469v GND : 4186137-1 J9U : 987007548881405171 LCCN : sh85137518 NDL : 00570156 NKC : ph923034

Trigonometria
Tábornok	Trigonometria áttekintése Sztori Használat Funkciók Fordított Ritkán használt Általánosított trigonometria
Könyvtár	Identitások Pontos állandók táblázatok egységkör
Törvények és tételek	Szinusztétel Pitagorasz tétel Koszinusz tétel Érintőtétel Kotangens tétel Háromszögek megoldása
Matematikai elemzés	Trigonometrikus helyettesítés Integrálok ( inverz függvények ) Származékok