Frobenius tétel

A Frobenius-tétel az általános algebra egyik tétele . A tétel kimondja, hogy bizonyos természetes feltevések mellett ( véges dimenziósság , lásd alább) bármely test (különösen egy mező ), amely kiterjeszti a valós számok mezőjét : $\mathbb {R}$

vagy izomorf az eredeti mezővel ; $\mathbb {R}$
vagy izomorf a komplex számok területén ; $\mathbb {C}$
vagy izomorf a kvaterniók testével . $\mathbb {H}$

Ezt a tételt FG Frobenius igazolta 1877 - ben .

Megfogalmazás

Legyen olyan test , amely résztestként valós számok testét tartalmazza , és két feltétel teljesül: $\mathbb {L}$ $\mathbb {R}$

bármely elem valós számokkal való szorzással ingázik : , ; $x\in {\mathbb L}$ $xa=ax$ $a\in {\mathbb R}$
$\mathbb {L}$ egy véges dimenziós vektortér a mező felett . $\mathbb {R}$

Más szavakkal, ez egy véges dimenziós osztási algebra [1] a valós számok mezején. $\mathbb {L}$

A Frobenius-tétel kimondja, hogy minden ilyen test : $\mathbb {L}$

vagy izomorf a valós számok mezőjével, $\mathbb {R}$
vagy izomorf a komplex számok mezőjével , $\mathbb {C}$
vagy izomorf a kvaterniók testével . $\mathbb {H}$

Vegyük észre, hogy a Frobenius-tétel csak a véges dimenziós kiterjesztésére vonatkozik . Például nem fedi le a hiperreális számok nem szabványos elemzési mezőjét , amely szintén a kiterjesztése , de nem véges dimenziós. Egy másik példa a racionális függvények algebra . $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

Következmények és megjegyzések

Ez a tétel szorosan összefügg Hurwitz normált valós algebrákról szóló tételével . A normál osztású algebrák csak és (nem asszociatív) Cayley-számok algebrái . $\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H}$
A komplex számok rendszerének bővítésekor elkerülhetetlenül elveszítünk minden aritmetikai tulajdonságot: kommutativitás (kvaterniók), asszociativitás ( Cayley algebra ) stb.
A kvaterniórendszernek nincs analógja két (nem három) kvaternióegységből.
A és mezők az egyetlen olyan véges dimenziós valós asszociatív és kommutatív algebrák , amelyek nulla osztó nélküliek . $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$
A kvaterniótest az egyetlen véges dimenziós valós asszociatív, de nem kommutatív algebra nulla osztók nélkül . $\mathbb {H}$
A Cayley algebra az egyetlen véges dimenziós valós alternatív nem asszociatív algebra nulla osztók nélkül .

Az utolsó három állítás alkotja az úgynevezett általánosított Frobenius-tételt .

Osztási algebrák a komplex számok mezején

Az n dimenziójú algebra a komplex számok mezeje felett egy 2n dimenziójú algebra a felett . A kvaterniók teste nem egy mező feletti algebra , mivel a középpont egy egydimenziós valós tér. Ezért az egyetlen véges dimenziós osztási algebra az algebra . $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {H}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {H}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$

Frobenius hipotézise

A tétel tartalmazza az asszociativitási feltételt. Mi történik, ha elutasítja ezt a feltételt? A Frobenius-sejtés azt állítja, hogy az R n valós lineáris térben az 1, 2, 4, 8-tól eltérő n asszociativitási feltétel nélkül sem lehet meghatározni egy osztásalgebra szerkezetét. A Frobenius-hipotézist a 60-as években igazolták. XX század.

Ha n>1 -re az R n térben nulla osztók nélküli bilineáris szorzás van definiálva, akkor az S n-1 gömbön n - 1 lineárisan független vektormező található [2] . Adams által a gömb vektormezőinek számáról kapott eredményekből az következik, hogy ez csak az S 1 , S 3 , S 7 gömbökre lehetséges . Ez bizonyítja a Frobenius-sejtést.

Lásd még

Irodalom

Bakhurin Yu. A. A modern algebra alapszerkezetei. — M .: Nauka, 1990. — 320 p.
Kurosh A. G. Előadások az általános algebráról. 2. kiadás . - M. : Nauka, 1973. - 400 p.
Pontryagin L. S. A számok általánosításai . — M .: Nauka, 1986. — 120 p. - ( "Kvantum" könyvtár, 54. szám).

Numerikus rendszerek
Megszámlálható készletek	Természetes számok ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Egész számok ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Racionális ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebrai ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Időszakok Kiszámítható Számtan
Valós számok és kiterjesztéseik	Igazi ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Quaterniók ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-számok (oktávok, oktonok) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alternionok Dupla Hiperkomplex Szuperreális Hiperanyag szürreális
Numerikus bővítő eszközök	Cayley-Dixon eljárás Frobenius tétel Hurwitz-tétel
Egyéb számrendszerek	tőszámnevek Sorszámok (transzfinit, sorszámok) p-adic Természetfeletti számok intervallum számok
Lásd még	dupla számok Irracionális számok transzcendentális számok számsugár Biquaternion

Algebra a gyűrű felett
Méret – 2 teljesítménye	Komplex számok (2-es méret) $\mathbb {C}$ Quaterniók (4-es méret) $\mathbb {H}$ Cayley számok/oktonok/oktávok (8-as méret) $\mathbb O$ Sedenions (16-os méret) $\mathbb S$
Lásd még	Frobenius tétel Hiperkomplex szám Algebra Test képzeletbeli egység

Jegyzetek

↑ Az osztásos algebra nem tartalmaz nulla osztókat . Egy mező feletti véges dimenziós algebra esetében ennek a fordítottja is igaz. Ezért a különböző forrásokban a tétel és a következtetések megfogalmazásakor mind az „algebra osztással”, mind a „nulla osztó nélküli algebra” használható.
↑ Fomenko A. T., Fuchs D. B. A homotópia topológia menete. - Moszkva, 1989 - 19. §, 170. o.