Teleszkópos jel

A teleszkópos jel ( Cauchy-féle megvastagodási jel ) a pozitív tagokkal rendelkező számsorok konvergenciájának jele , amelyet Augustin Cauchy állított fel 1821-ben [1] .

Megfogalmazás

A sorozat tagjaira a következők érvényesek : $f(n)$

a sorrend monoton csökkenő $\{f(n)\}$
$f(n)\geqslant 0\quad \forall n\in \mathbb {N}$ - a tagok nem negatívak

Ekkor a sorozat a sorozattal egyidejűleg konvergál vagy divergál . $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$ $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})$

Bizonyíték

1. A tétel feltételei szerint a tagok sorrendje monoton csökkenő, azaz. a sorozat egyetlen tagja sem lehet kisebb, mint az egymást követő tagok, ami azt jelenti, hogy a tagok összege -től kezdve nem haladja meg : $\{f(n)\}$ $m$ $f(n)$ $m\cdot f(n)$

\sum _{i=n}^{n+m-1}f(i)\leq m\cdot f(n)

Csoportosítjuk a sorozat tagjait, és a csökkenő sorozat ezen tulajdonságát felhasználva a következőt kapjuk: $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$

{\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }f(n)&=f(1)+\underbrace {f(2)+f(3)} _{\leq f(2)+f(2)}+\zárójel {f(4)+f(5)+f(6)+f(7)} _{\leq f(4)+f(4)+f( 4)+f(4)}+\cdots +\underbrace {f(2^{n})+f(2^{n}+1)+\cdots +f(2^{n+1}-1) } _{\leq f(2^{n})+f(2^{n})+\cdots +f(2^{n})}+\cdots \\&\leq f(1)+2f( 2)+4f(4)+\cdots +2^{n}f(2^{n})+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^ {n}).\end{igazított}}

Vagyis ha a sorozatok konvergálnak, akkor az összehasonlítás kritériuma szerint a sorozat még inkább konvergál. $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})$ $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$

2. Hasonlóan:

{\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})&=\zárójel {f(1)+f(2)} _{\leq f(1)+f(1)}+\zárójel {f(2)+f(4)+f(4)+f(4)} _{\leq f(2)+f(2 )+f(3)+f(3)}+\cdots +\zárójel {f(2^{n})+f(2^{n+1})+\cdots +f(2^{n+1 })} _{\leq f(2^{n})+f(2^{n})+f(2^{n}+1)+f(2^{n}+1)+\cdots + f(2^{n+1}-1)}+\cdots \\&\leq f(1)+f(1)+f(2)+f(2)+f(3)+f(3) +\cdots +f(n)+f(n)+\cdots =2\sum _{n=1}^{\infty }f(n).\end{igazított))

Vagyis ha a sorozatok eltérnek, akkor az összehasonlítás kritériuma szerint a sorozatok még inkább eltérnek. $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})$ $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$

\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\leq \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\leq 2\sum _{n=1}^{\infty }f(n).

■

Általánosítások

1864-ben Joseph Bertrand megmutatta, hogy ebben a tételben sorozat helyett bármelyik alaksor használható: [2] $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})$

\sum _{n=0}^{\infty }m^{n}f(m^{n})

, ahol

m\in \mathbb {N} ,m\geq 2

1902-ben Émile Borel tovább terjesztette ezt a tételt úgy, hogy sorozat helyett a forma sorozatát használta: [3] $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})$

\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}f([a]^{n})

, ahol

a\in \mathbb {R} ,a>1

Itt van a . _ $[a]$ $a$

Schlömilch kondenzációs jele

Oskar Schlömilch 1873-ban bebizonyította a teleszkópos jellemző egy újabb általánosítását [4] :

A sorozat tagjaira a következők érvényesek : $f(n)$

a sorrend monoton csökkenő $\{f(n)\}$
$f(n)\geqslant 0\quad \forall n\in \mathbb {N}$ - a tagok nem negatívak

Ekkor a sorozat az és sorozattal egyidejűleg konvergál vagy divergál . $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$ $\sum _{n=1}^{\infty }(2n-1)\cdot f(n^{2})$ $\sum _{n=1}^{\infty }2n\cdot f(n^{2})$

Knopp-féle páralecsapódás jele

Konrad Knopp 1922-es könyvében a teleszkópos jellemző alábbi általánosítását fogalmazta meg.

Legyen:

$\{f(n)\}$ egy monoton csökkenő sorozat (a sorozat feltételei)
$f(n)\geqslant 0\quad \forall n\in \mathbb {N}$ - a sorozat nem negatív
$\{u_{n}\}$ egy szigorúan növekvő sorrend
$u_{n}\in \mathbb {N}$ (ami azt jelenti ) $u_{n}>0$ $\forall n$
a sorrend korlátozott $\{r_{n}\}=\left\{{\frac {u_{n+1}-u_{n}}{u_{n}-u_{n-1}}}\right\}$

Ekkor a sorozat a sorozattal egyidejűleg konvergál vagy divergál . $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$ $\sum _{n=1}^{\infty }(u_{n+1}-u_{n})f(u_{n})$

Ezt a tételt néha Schlömilchnek [5] tulajdonítják .

Például, ha egy olyan sorozatot tekintünk, amely kielégíti a tétel követelményeit egy tetszőleges fixre , akkor e tétel szerint a sorozat a sorozattal egyidejűleg konvergál vagy divergál , és mivel a sorozat nullától eltérő állandóval való szorzása nem befolyásolja a sorozatot. konvergencia esetén az eredeti sorozat a sorozattal egyidejűleg konvergál vagy divergál bármely kiválasztott állandónál . $u_{n}=c^{n}$ $c\in \mathbb {N} \setminus \{1\}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$ $(c-1)\sum _{n=1}^{\infty }c^{n}f(c^{n})$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$ $\sum _{n=1}^{\infty }c^{n}f(c^{n})$ $c\in \mathbb {N} ,\;c\neq 1$

Jegyzetek

↑ Cauchy AL I.re partie: Analyze algébrique // Cours d'analyse de l'École royale polytechnique. Párizs: Megj. royale Debure frères, 1821. - 135-136. — 576 p.
↑ Bertrand J. Premier Party. Calcul Différentiel // Traité de Calcul Différentiel et de Calcul Intégral (francia) . - Párizs: Gauthier-Villars, 1864. - S. 234-235. — 780 s.
↑ Borel E. Leçons sur les Séries a Termes Positifs (francia) . - Párizs: Gauthier-Villars, 1902. - 91 p.
↑ Schlömilch O. Ueber dei gleichzeitige Convergenz oder Divergenz zweier Reihen (német) // ZfMuP. - 1873. - Bd. b28 . - S. 425-426 .
↑ Bonar, Khoury, 2006 , 2.4. tétel bizonyítással.

Linkek

Weisstein, Eric W. Cauchy-kondenzációs teszt (angol) a Wolfram MathWorld webhelyen .
D. D. Bonar és M. Khoury, Jr. Kifinomultabb technikák // Real Infinite Series . - Washington DC: Mathematical Association of America, 2006. - 43-45 . — 264 p. — ISBN 0-88385-745-6 .

Sorozatok konvergenciájának jelei
Minden sorhoz	Szükséges állapot Cauchy-kritérium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Előjel-pozitív sorozatokhoz	Fő kritérium Összehasonlító jel Kummer jel Gauss jel Cauchy radikális jele Integrált funkció D'Alembert jele hatalom jele logaritmikus jel Raabe jele Bertrand jele Jamet jele Schlömilch jele Ermakov jele Lobacsevszkij jele teleszkópos jel Sapogov jele
Váltakozó sorozatokhoz	Leibniz jel
Az űrlap soraihoz $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Ábel jel Dedekind jele Dubois-Reymond jel Dirichlet jel
Funkcionális sorozatokhoz	Weierstrass jel
Fourier sorozathoz	Dini jel De la Vallée Poussin jele Jordan jel Jung jele Salem jele Lebesgue jel Lebesgue-Gergen jel Martsinkevics jele