Maxwell-relációk (termodinamika)

A Maxwell- relációk (Maxwell -féle termodinamikai egyenletek) azonos relációk termodinamikai mennyiségek deriváltjai között [1] . Ezek egy matematikai azonosság következményei – a termodinamikai potenciál vegyes deriváltjainak egyenlősége.

Az arányokat matematikai számítások végzésekor használják termodinamikai képletek átalakítására. Jelentősen kibővítik a termodinamika apparátusát, mivel lehetővé teszik a nehezen mérhető vagy egyáltalán nem közvetlen mérést (például entrópia vagy kémiai potenciál ) termodinamikai mennyiségek kifejezését kísérletileg mérhetően.

1871-ben James Clerk Maxwell vezette be a termodinamikába [2] [3] , és az ő nevét viseli.

Háttér

Mielőtt 1871-ben csatlakozott a Cavendish Laboratóriumhoz , Maxwell nagy figyelmet szentelt a gázok kinetikai elméletéről és az elektromosságról szóló monográfiák írásának. Különösen befejezte a hőelmélet [ 4 ] című, 1871-ben megjelent tankönyvét, amelyet a szerző élete során többször is kiadtak. A könyv nagy részét a hőjelenségek fenomenológiai vizsgálatának szentelték [5] . A könyv 7. fejezetében Maxwell az elemi Carnot-ciklust vette figyelembe , és annak területét a termodinamikai diagramon geometriai megfontolások alapján kiszámítva négy összefüggést kapott a termodinamikai mennyiségek között [2] , amelyeket Maxwell-relációknak [6] nevezünk .

Életének utolsó éveiben Maxwell nagy figyelmet szentelt J. Willard Gibbs munkáinak, és módszereit átvette a Theory of Heat reprintek elkészítésében, valamint cikkekben és beszédekben minden lehetséges módon népszerűsítette azokat. Ezek alapján pontosította az általa használt entrópia definíciót a könyvben [6] , amelynek fogalmát a Maxwell-relációk első publikálásakor még a megfogalmazásuk során sem használták [K 1] .

Maxwell relációk származtatása

A Maxwell-féle összefüggések a termodinamikai potenciálok vegyes deriváltjainak egyenlőségéből származnak . Bármely termodinamikai potenciálra , amelyet független változók függvényének tekintünk, és az összefüggés igaz: $f$ $x$ $y,$

{\frac {\partial }{\partial y))\left({\frac {\partial f}{\partial x))\right)_{y}={\frac {\partial }{\ partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)_{x}.\qquad \qquad (*)

A jobb alsó sarokban a parciális deriváltoknak, ahogy az a termodinamikában megszokott, vannak olyan változók, amelyeket a derivált számításakor állandónak tekintünk. Egy ilyen jelölés bevezetésének oka, hogy a termodinamikában ugyanarra a függvényre különböző független változók halmazait használjuk, amelyeket a bizonytalanság elkerülése érdekében fel kell sorolni.

A termodinamikai potenciálra példa a belső energia . Írjuk fel a differenciáljának [7] kifejezését : ahol a termodinamikai hőmérséklet , az entrópia, a nyomás és a térfogat. A kifejezés egy teljes különbség a független változókhoz képest $U$ $dU=TdS-PdV,$ $T$ $S$ $P$ $V$ $S,\,V:$

dU=\left({\frac {\partial U}{\partial S}}\right)_{V}dS+\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right) _{S}dV,

amely lehetővé teszi a belső energia származékainak előállítását [8] :

\left({\frac {\partial U}{\partial S}}\right)_{V}=T,\qquad \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\ jobb)_{S}=-P.

A (*) egyenletből : $f=U,\,x=S,\,y=V$

{\frac {\partial }{\partial V))\left({\frac {\partial U}{\partial S))\right)_{V}={\frac {\partial }{\ részleges S}}\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{S}

követi az első Maxwell-relációt [9] [10] a belső energia vegyes deriváltjaira:

\left({\frac {\partial T}{\partial V))\right)_{S}=-\left({\frac {\partial P}{\partial S))\right)_ {V}.

Az inverz függvény deriváltjának kifejezést használva ,

\left({\frac {\partial y}{\partial x))\right)_{z}=1\left/\left({\frac {\partial x}{\partial y))\ jobbra)_{z}\jobbra.,

Maxwell első relációja a következő formára redukálható:

\left({\frac {\partial V}{\partial T))\right)_{S}=-\left({\frac {\partial S}{\partial P))\right)_ {V}.

Továbbá a Helmholtz szabadenergia - differenciál kifejezéséből az elsőrendű származékaira vonatkozó kifejezések következnek [11] : $dF=-SdT-PdV$ $F=U-TS$

\left({\frac {\partial F}{\partial T))\right)_{V}=-S,\qquad \left({\frac {\partial F}{\partial V)) \jobbra)_{T}=-P\qquad \qquad (F1)

és Maxwell második relációja [12] [13] [14] vegyes szabadenergia-származékokra:

\left({\frac {\partial S}{\partial V))\right)_{T}=\left({\frac {\partial P}{\partial T))\right)_{ V},\qquad \left({\frac {\partial V}{\partial S}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial T}{\partial P}}\right) _{V}.\qquad \qquad (F2)

Hasonlóképpen, az entalpia- differenciál kifejezéséből az entalpia -származékok [15] kaphatók : $dH=TdS+VdP$ $H=U+PV$

\left({\frac {\partial H}{\partial S))\right)_{P}=T,\qquad \left({\frac {\partial H}{\partial P))\ jobb)_{S}=V

és Maxwell harmadik relációja [16] [17] vegyes entalpia származékokra:

\left({\frac {\partial T}{\partial P))\right)_{S}=\left({\frac {\partial V}{\partial S))\right)_{ P},\qquad \left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{S}=\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right) _{P}.

Végül a Gibbs-energia [18] származékai a Gibbs -energia differenciáljának kifejezéséből származnak : $dG=-SdT+VdP$ $G=U-TS+PV$

\left({\frac {\partial G}{\partial T))\right)_{P}=-S,\qquad \left({\frac {\partial G}{\partial P)) \jobbra)_{T}=V\qquad \qquad (G1)

és Maxwell negyedik relációja [19] [20] [21] a Gibbs-energia vegyes származékaira:

\left({\frac {\partial S}{\partial P))\right)_{T}=-\left({\frac {\partial V}{\partial T))\right)_ {P},\qquad \left({\frac {\partial P}{\partial S}}\right)_{T}=-\left({\frac {\partial T}{\partial V}}\ jobb)_{P}.\qquad \qquad (G2)

További két reláció, bár Maxwell könyvében [4] hiányzik, a modern irodalomban Maxwell relációinak [22] nevezhető :

\left({\frac {\partial T}{\partial P))\right)_{V}\left({\frac {\partial S}{\partial V))\right)_{P }

-\left({\frac {\partial T}{\partial V))\right)_{P}\left({\frac {\partial S}{\partial P))\right)_{ V}=1,\qquad \qquad (M5)

\left({\frac {\partial P}{\partial T))\right)_{S}\left({\frac {\partial V}{\partial S))\right)_{T }-\left({\frac {\partial P}{\partial S}}\right)_{T}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{S} =1.\qquad \qquad(M6)

Írás a jakobiánusok szempontjából és a relációk levezetése (M5–6)

A termodinamikai képletek tömör és elegáns feljegyzéséhez, beleértve a Maxwell-relációkat is, a jakobiánusokat használjuk . Így néz ki Maxwell első relációja, Jacobi-rendszerben kifejezve [23] :

{\frac {D(T,S)}{D(V,S)))={\frac {D(P,V)}{D(V,S)))\qquad \qquad (J )

Ha a (J) egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a jakobi transzformációs szabályokkal, akkor az azonosságot kapjuk: ${\frac {D(V,S)}{D(P,V)))$

{\frac {D(T,S)}{D(P,V)))=1,

ami a Maxwell-reláció (M5) a jakobiánusok [23] [22] szempontjából írva . Ha a (J) egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk -vel , akkor az azonosságot kapjuk: ${\frac {D(V,S)}{D(T,S)))$

{\frac {D(P,V)}{D(T,S)))=1,

ami a Maxwell-reláció (M6) [22] .

Példák Maxwell-relációk használatára

A Maxwell-relációk segítségével gyakorlatilag fontos egyenletek származtathatók, melyek integrálásával kísérleti adatokból kiszámítható bármely állapot entrópiája [24] . Ezeket a teljes entrópia-különbség kifejezéseiből kapjuk független változók függvényében vagy : $T,\,V$ $T,\,P$

dS=\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V}dT+\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right) _{T}dV,\qquad \qquad dS=\left({\frac {\partial S}{\partial T))\right)_{P}dT+\left({\frac {\partial S}{\ részleges P}}\jobbra)_{T}dP.

Az entrópia hőmérsékleti deriváltját a (mérhető) hőkapacitásban fejezzük ki állandó térfogaton vagy állandó nyomáson . Az entrópia térfogati deriváltját a második Maxwell-relációval (F2), a nyomási deriváltot pedig a negyedik Maxwell-relációval (G2) fejezzük ki, amely megadja az entrópia meghatározásához szükséges egyenleteket: $C_{V}\equiv \left({\frac {\partial U}{\partial T))\right)_{V}=T\left({\frac {\partial S}{\partial T }}\jobbra)_{V}$ $C_{P}\equiv \left({\frac {\partial H}{\partial T))\right)_{P}=T\left({\frac {\partial S}{\partial T }}\jobbra)_{P}$

dS={\frac {C_{V}}{T}}dT+\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{V}dV,\qquad \qquad dS ={\frac {C_{P}}{T}}dT-\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}dP.

Az első egyenlet behelyettesítése a belső energiakülönbség kifejezésébe lehetővé teszi az utóbbi hőmérséklettől és térfogattól való függését [21] :

dU=C_{V}dT+\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}dV,\quad

ahol

\quad \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right )_{V}-P,

Állandó térfogatú ideális gáz esetén a nyomás arányos a hőmérséklettel ( Charles törvénye ), így a , és a kapott kifejezés eltűnik. Ebből következik a Joule-törvény - a gáz belső energiájának függetlensége a térfogattól, valamint a hőkapacitások és a : $\left({\partial P}/{\partial T}\right)_{V}={P}/T$ ${\displaystyle (\partial U/\partial V)_{T))$ $ÖNÉLETRAJZ$ $C_{P}$

Különbség kifejezése (kimenet)

C_{P}-C_{V}

A belső energiakülönbségre fentebb már használt kifejezés alkalmazása izobár folyamatra (állandó nyomáson), amelyre a hőkapacitások fenti definícióit figyelembe véve, $dU=TdS-PdV$

dU=\left[\left({\frac {\partial U}{\partial T))\right)_{V}+\left({\frac {\partial U}{\partial V)) \jobbra)_{T}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}\right]dT=\left[C_{V}+\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}\right]dT,

TdS=T\left({\frac {\partial S}{\partial T))\right)_{P}dT=C_{P}dT

és

PdV=P\left({\frac {\partial V}{\partial T))\right)_{P}dT,

ad:

C_{P}dT=TdS=dU+PdV=\left[C_{V}+\left({\frac {\partial U}{\partial V))\right)_{T}\left( {\frac {\partial V}{\partial T))\right)_{P}\right]dT+P\left({\frac {\partial V}{\partial T))\right)_{P }dT,

ahonnan a következő kifejezést kapjuk a hőkapacitások különbségére [25] :

C_{P}-C_{V}=\left[\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}+P\right]\left({\ frac {\partial V}{\partial T))\right)_{P}=T\left({\frac {\partial P}{\partial T))\right)_{V}\left({\ frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P},

amelyből az ideális gáz állapotegyenletével megkaphatjuk a Mayer-relációt [26] .

Hasonlóképpen megkaphatjuk az entalpia-különbség kifejezését a T, P változókban :

dH=C_{P}dT+\left[VT\left({\frac {\partial V}{\partial T))\right)_{P}\right]dP.

Ebből következik a Joule-Thomson-együttható kifejezés , amely a hőmérséklet- és nyomáskülönbségeket kapcsolja össze a Joule-Thomson folyamatban , amely az entalpia megmaradásával megy végbe ( ) [27] [28] . $dH=0$

Maxwell-relációk komplex termodinamikai rendszerekre

A bonyolultabb termodinamikai rendszerek állapotát kettőnél több paraméter jellemzi, és az utóbbiak számának növekedésével a termodinamikai potenciál vegyes deriváltjainak egyenlőségéből levezethető termodinamikai azonosságok száma is növekszik. Például egy nyitott egykomponensű rendszerre változó számú részecskével [29] , a Gibbs-energiadifferenciál kifejezéséből [30] $N$

dG=-SdT+VdP+\mu dN,

ahol a kémiai potenciál , és a Gibbs-energia vegyes származékainak egyenlőségéből a következő azonosságok következnek [31] : $\mu$

-\left({\frac {\partial S}{\partial N))\right)_{T,P}=\left({\frac {\partial \mu }{\partial T))\ jobb)_{P,N},\qquad \left({\frac {\partial V}{\partial N))\right)_{T,P}=\left({\frac {\partial \mu } {\részleges P}}\jobbra)_{T,N}.

Egyes szerzők [32] [33] [34] "Maxwell-relációknak" neveznek minden olyan termodinamikai derivált azonosságot, amely valamilyen potenciállal rendelkező vegyes derivált egyenlőségeként írható fel valamely változópár vonatkozásában. Az ilyen kapcsolatok fontosak [29] olyan összetett rendszerek esetében, amelyekben a termodinamikai munka [35] a kompressziós/tágulási munkán kívül más típusú munkát is magában foglal . Az ilyen rendszerek esetében a termodinamika első főtétele , és így a belső energiakülönbség kifejezése magában foglalja a termodinamikai munkából származó hozzájárulást a következő formában : [29] : $-PdV$

dU=TdS-PdV+\sum _{a}{Y_{a}dX_{a}},\qquad dF=-SdT-PdV+\sum _{a}{Y_{a}dX_{a}}.

ahol az általánosított termodinamikai koordináták (hasonlóan a térfogathoz), és vannak az általánosított termodinamikai erők, az a index az erő-koordináta párokat sorolja fel. A vegyes parciális deriváltak egyenlőségeiből a következő „Maxwell-relációk” következnek: $X_{a}$ $Y_{a}$

\left({\frac {\partial T}{\partial X_{a))}\right)_{S,V,X_{b\neq a))=\left({\frac {\partial Y_{a}}{\partial S}}\right)_{V,X},\qquad -\left({\frac {\partial S}{\partial X_{a}}}\right)_{T ,V,X_{b\neq a}}=\left({\frac {\partial Y_{a}}{\partial T}}\right)_{V,X},

és további hat ilyen kifejezést kaphatunk a forma mind a négy potenciáljára vonatkozó kifejezésekből, amelyek differenciálját a koordináta-differenciálok helyett erődifferenciálokban fejezzük ki [35] . $dH,\,dG,$ $U-\sum _{a}{X_{a}Y_{a)),$ $dX_{a}$

A fázis határfelületének általánosított termodinamikai koordinátaként való kiválasztásakor az általánosított erő a felületi feszültség , és a fenti arányok közül a második a [36] [37] [K 2] : $X_{1}=\Xi$ $Y_{1}=\sigma$

\left({\frac {\partial S}{\partial \Xi }}\right)_{T,V}=-\left({\frac {\partial \sigma }{\partial T)) \jobbra)_{V,\Xi }

vagy

\left({\frac {\partial \sigma }{\partial T))\right)_{V,\Xi }=-{\frac {r}{T)).

Itt az érték megegyezik a felület izotermikus növekedése során elnyelt energia és a terület változásának arányával [37] [39] -ig . Általában tehát a felületi feszültség hőmérsékleti deriváltja negatív, és a hőmérséklettel csökken [37] . Az ábrán látható egy példa a benzol ilyen hőmérséklet-függésére . $r=T\left(S_{2}-S_{1}\right)/\left(\Xi _{2}-\Xi _{1}\right)$ $T\left(S_{2}-S_{1}\right)$ $\Xi _{1}$ $\Xi _{2}$ $\Xi _{2}-\Xi _{1}$ $r>0$

Egy rugalmas rúd külső erő hatására történő feszítésére/összenyomására a Maxwell-relációk a következőképpen alakulnak : [40] : $\Upsilon$

\left({\frac {\partial L}{\partial T}}\right)_{S,V}=\left({\frac {\partial S}{\partial \Upsilon }}\right )_{L,V},\qquad \left({\frac {\partial L}{\partial S))\right)_{T,V}=-\left({\frac {\partial T}{ \partial \Upsilon }}\right)_{L,V},

ahol a rúd hossza az általánosított termodinamikai koordináta ; feszítő/nyomó erő – általánosított termodinamikai erő . $L$ $X_{1}$ $\Upsilon$ $Y_{1}$

A vektormennyiségekre vonatkozó Maxwell-féle összefüggések az elektromos vagy mágneses (vektor) térben működő rendszerek termodinamikai elemzéséből származnak [34] [33] , miközben az elektrodinamikából származó információkat jelentős mértékben felhasználják . Különösen egy olyan dielektrikumban , amelynek belsejében erősségű elektromos tér van, a térenergiát hozzáadják a rendszer termodinamikai potenciáljához [35] . $\mathbf {E}$

A Maxwell-reláció alkalmazása dielektrikumra külső térben (következtetés)

A Maxwell-egyenletek# Energiamegmaradás törvénye Poynting - tételének levezetése alapján az elektromos tér energiasűrűségének változása, , egyenlő , ahol az elektromos indukció , és a (félkövéren) közötti pont vektorok a pontszorzatukat jelölik . Ha a külső elektromos töltések által létrehozott elektromos indukciót lassan bekapcsoljuk a dielektromos test belsejében állandó térfogaton (ami különösen megkönnyíti a termodinamikai potenciál figyelembevételét egységnyi térfogatra, és nem az egész testre), a szabad energia sűrűségkülönbség ${\displaystyle w_{E))$ ${\frac {\partial w_{E)){\partial t))=\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t))$ $\mathbf {D}$

dF=-SdT+\mathbf {E} \cdot d\mathbf {D}

a következő Maxwell-relációhoz vezet:

-\left({\frac {\partial S}{\partial \mathbf {D} }}\right)_{T,V}=\left({\frac {\partial \mathbf {E} } {\partial T))\right)_{\mathbf {D} ,V}.

Lineáris közegeknél ahol a közeg permittivitása a vákuum permittivitása , ezért , és a Maxwell-reláció a következő alakot ölti: $\mathbf {D} =\varepsilon \varepsilon _{0}\mathbf {E}$ $\varepsilon$ $\varepszilon_{0}$ $\left({\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial T}}\right)_{\mathbf {D} ,V}=-{\frac {\mathbf {D} }{ \varepsilon ^{2}\varepsilon _{0}}}\left({\frac {\partial \varepsilon }{\partial T}}\right)_{\mathbf {D} ,V}$

\left({\frac {\partial S}{\partial \mathbf {D} }}\right)_{T,V}={\frac {\mathbf {D} }{2\varepsilon ^{ 2}\varepsilon _{0))}\left({\frac {\partial \varepsilon }{\partial T))\right)_{\mathbf {D} ,V}.

A Maxwell-relációból kapott képlet magyarázza az úgynevezett elektrokalorikus hatást : ha a közeg dielektromos állandója a hőmérséklettel növekszik, akkor a közeg belsejében elektromos tér keletkezését hőellátással kell kísérni.

T\Delta S={\frac {\varepsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}}{2}}T\left({\frac {\partial \varepsilon }{\partial T} }\jobbra)_{\mathbf {D} ,V}

egységnyi térfogatra, hogy hőmérséklete változatlan maradjon. Az utolsó kifejezés megtalálható L. D. Landau és E. M. Lifshitz [41] könyvében , bár a Maxwell-reláció használata nélkül származtatták.

J. Hadzopoulos és J. Keenan [42] könyvében a mágnesekre vonatkozó Maxwell-féle összefüggések szerepelnek . Ezekből a következtetések hasonlóak a dielektrikumokhoz: "Reverzibilis adiabatikus folyamatban a mágneses térben a külső mágneses momentum változása által létrehozott mágneses tér változása hőmérséklet-változással jár, ha állandó külső mágneses momentum, az anyag mágnesezettsége a hőmérséklettel változik." A tenzorváltozókra vonatkozó Maxwell-relációra egy példa található D. Blend [43] könyvében .

Megjegyzések

↑ Az első kiadásokban az arányban szereplő mennyiséget "termodinamikai függvénynek" nevezték, definíciója pedig eltért a szintén használt "entrópia" fogalomtól. A későbbi kiadásokban elő van írva, hogy ez termodinamikai függvény, vagy (ami ugyanaz) entrópia. $\Phi$ $\Phi$
↑ Landau és Lifshitz ezt az arányt más módon kapta meg. A felületi feszültség csak a hőmérséklettől függ, így a felület kitágításának differenciális munkája egy izoterm folyamathoz integrálható, és megkapjuk a felületi szabad energiát , majd az entrópia felületi részét és a felületi energiát . A felület izotermikus növekménye során felvett hőmennyiség tól ig [ 38] , így a felületi energia változása a termodinamika első főtétele szerint egyenlő a hő és a munka összegével . A jelölés bevezetése a Maxwell-relációval kapotthoz hasonló egyenletet ad. $Y_{1}dx_{1}=\sigma d\Xi$ $F_{s}=\sigma \Xi$ $S_{s}=-\left({\frac {\partial F_{s}}{\partial T}}\right)_{\Xi }=-{\frac {d\sigma }{dT} }\Xi$ $U_{s}=F_{s}+TS_{s}=\left(\sigma -T{\frac {d\sigma }{dT}}\right)\Xi$ $\Xi _{1}$ $\Xi _{2}$ $Q=T\left(S_{2}-S_{1}\right)=-T{\frac {d\sigma }{dT}}\left(\Xi _{2}-\Xi _{ 1}\jobbra)$ $K$ $\sigma \left(\Xi _{2}-\Xi _{1}\right)$ $r=Q/\left(\Xi _{2}-\Xi _{1}\right)=-T{\frac {d\sigma }{dT))$

Jegyzetek

↑ Zubarev D.N., Maxwell-kapcsolatok, 1992 .
↑ 1 2 Maxwell J. Clerk, Theory of Heat, 1871 , p. 167.
↑ Sychev V.V., A termodinamika differenciálegyenletei, 2010 , p. 90.
↑ 1 2 Maxwell J. Clerk, Theory of Heat, 1871 .
↑ Eljasevics M. A., Protko T. S., 1981 , p. 399.
↑ 1 2 Eljasevics M. A., Protko T. S., 1981 , p. 401-402.
↑ Landau L. D., Lifshits E. M. Statisztikai fizika. 1. rész, 2001 , (12.3) egyenlet.
↑ Landau L. D., Lifshits E. M. Statisztikai fizika. 1. rész, 2001 , Egyenletek (12.1-2).
↑ N. M. Belyaev, Termodinamika, 1987 , p. 124-125.
↑ Maxwell J. Clerk, Theory of Heat, 1871 , (4) egyenlet, p. 167.
↑ Landau L. D., Lifshits E. M. Statisztikai fizika. 1. rész, 2001 , (15.4) egyenlet.
↑ N. M. Belyaev, Termodinamika, 1987 , p. 125.
↑ Maxwell J. Clerk, Theory of Heat, 1871 , (3) egyenlet, p. 167.
↑ Landau L. D., Lifshits E. M. Statisztikai fizika. 1. rész, 2001 , (16.3) egyenlet.
↑ Landau L. D., Lifshits E. M. Statisztikai fizika. 1. rész, 2001 , (14.4) egyenlet.
↑ N. M. Belyaev, Termodinamika, 1987 , p. 126.
↑ Maxwell J. Clerk, Theory of Heat, 1871 , (2) egyenlet, p. 167.
↑ Landau L. D., Lifshits E. M. Statisztikai fizika. 1. rész, 2001 , (15.8) egyenlet.
↑ N. M. Belyaev, Termodinamika, 1987 , p. 127.
↑ Maxwell J. Clerk, Theory of Heat, 1871 , (1) egyenlet, p. 167.
↑ 1 2 Landau L. D., Lifshits E. M. Statisztikai fizika. 1. rész, 2001 , (16.5) egyenlet.
↑ 1 2 3 4 Emanuel G., Advanced classical thermodynamics, 1987 , p. 116.
↑ 1 2 Rumer Yu. B., Ryvkin M. Sh., Termodinamika, statisztikai fizika és kinetika, 2000 , p. 37.
↑ Gorshkov V.I., Kuznetsov I.A., A fizikai kémia alapjai, 2009 , p. 103-104.
↑ Sivukhin D.V. , Termodinamika és molekuláris fizika, 1990 , Egyenletek (35.1-2).
↑ Sivukhin D.V. , Termodinamika és molekuláris fizika, 1990 , 35. fejezet.
↑ Sivukhin D.V. , Termodinamika és molekuláris fizika, 1990 , (46.1) egyenlet, p. 143.
↑ Landau L. D., Lifshits E. M. Statisztikai fizika. 1. rész, 2001 , (18.2) egyenlet.
↑ 1 2 3 Zubarev D. N., Termodinamika, 1992 .
↑ Landau L. D., Lifshits E. M. Statisztikai fizika. 1. rész, 2001 , 24. § és (24.9) egyenlet.
↑ Landau L. D., Lifshits E. M. Statisztikai fizika. 1. rész, 2001 , (24.12) egyenlet.
↑ Hatsopoulos GN, Keenan JH, Principles of General Thermodynamics, 1965 .
↑ 1 2 Sychev V.V., Komplex termodinamikai rendszerek, 2009 .
↑ 1 2 Sychev V. V., A termodinamika differenciálegyenletei, 2010 .
↑ 1 2 3 Zubarev D. N., Termodinamikai munka, 1992 .
↑ Sychev V.V., Komplex termodinamikai rendszerek, 2009 , p. 154.
↑ 1 2 3 Vasilevsky A. S., Multanovsky V. V., Statisztikai fizika és termodinamika, 1985 , §12.5.
↑ Landau L. D., Lifshits E. M. Statisztikai fizika. 1. rész, 2001 , Egyenletek (154.4-8).
↑ Landau L. D., Lifshits E. M. Statisztikai fizika. 1. rész, 2001 , (154.8) egyenlet.
↑ Sychev V.V., Komplex termodinamikai rendszerek, 2009 , p. 223.
↑ Landau L. D., Lifshitz E. M. Elektrodinamikája folytonos közegnek, 2005 , A (10.18) egyenlet és a 12. fejezet 3. problémája.
↑ Hatsopoulos GN, Keenan JH, Principles of General Thermodynamics, 1965 , pp. 539-541.
↑ Bland D., A rugalmasság nemlineáris dinamikus elmélete, 1972 , p. 23.

Irodalom

Emanuel George. Fejlett klasszikus termodinamika . – Washington, DC: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1987. – 241 p. - (AIAA oktatási sorozat). — ISBN 978-0930403287 . — ISBN 0-930403-28-2 .
Hatsopoulos GN , Keenan JH Az általános termodinamika alapelvei. – N. Y. e. a.: John Wiley & Sons, Inc., 1965. - 830 p.
Maxwell J. Clerk . A hő elmélete . - London: Longmans, Green és Co., 1871. - 324 p.
Belyaev N. M. Termodinamika. - Kijev: Vishcha iskola, 1987. - 344 p.
Bland D. A rugalmasság nemlineáris dinamikus elmélete / Szerk. G. S. Shapiro . — M .: Mir , 1972. — 184 p. - (A "Mechanika" gyűjtemény könyvtára).
Vasilevsky AS, Multanovsky VV Statisztikai fizika és termodinamika // Az elméleti fizika tanfolyama. - M . : Nevelés , 1985. - T. 4. - 256 p.
Gorshkov V.I. , Kuznyecov I.A. A fizikai kémia alapjai. - 3. kiadás - M . : Binom. Tudáslaboratórium, 2009. - 408 p. — ISBN 978-5-94774-375-3 .
Elyashevich M. A. , Protko T. S. Maxwell hozzájárulása a molekuláris fizika és a statisztikai módszerek fejlesztéséhez // Phys . - 1981. - T. 135 , sz. 11 . - S. 381-423 .
Zubarev, D. N. Maxwell kapcsolatok // Fizikai enciklopédia / Szerk. A. M. Prohorov . - M .: Szovjet Enciklopédia , 1992. - T. 3. - S. 32.
Zubarev, D. N. Termodinamikai munka // Fizikai enciklopédia / Szerk. A. M. Prohorov . - M .: Szovjet Enciklopédia , 1992. - T. 4. - S. 193.
Zubarev, D. N. Termodinamika // Fizikai enciklopédia / Szerk. A. M. Prohorov . - M .: Szovjet Enciklopédia , 1992. - T. 5. - S. 83-87.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Statisztikai fizika. 1. rész – 5. kiadás. — M .: Fizmatlit , 2001. — 616 p. - (" Elméleti fizika ", V. kötet). — ISBN 5-9221-0054-8 .
Landau LD , Lifshitz EM Folyamatos közegek elektrodinamikája . - 4. kiadás, sztereotip. — M .: Fizmatlit , 2005. — 656 p. - ( Elméleti fizika , VIII. kötet). — ISBN 5-9221-0123-4 .
Rumer Yu. B. , Ryvkin M. Sh. Termodinamika, statisztikai fizika és kinetika. — 2. kiadás, javítva. és további - Novoszibirszk: Nosib Kiadó. un-ta, 2000. - 608 p. — ISBN 5-7615-0383-2 .
Sivukhin DV Általános fizika tanfolyam . - 3. kiadás, átdolgozva és bővítve. - M . : Nauka , 1990. - T. II. Termodinamika és molekuláris fizika. — 592 p. — ISBN 5-02-014187-9 . Link (nem elérhető link)
Sychev V.V. A termodinamika differenciálegyenletei. - 3. kiadás - M. : MPEI Kiadó, 2010. - 251 p. - ISBN 978-5-383-00584-2 .
Sychev V.V. Komplex termodinamikai rendszerek. - 5. kiadás, átdolgozva. és további - M . : MPEI Kiadó, 2009. - 296 p. - ISBN 978-5-383-00418-0 .

Szótárak és enciklopédiák	Britannica (online)

Maxwell kapcsolatai
Entrópia Entalpia Belső energia Helmholtz szabad energia Gibbs energia
A termodinamika szakaszai	A termodinamika alapelvei Állapotegyenlet Termodinamikai mennyiségek Termodinamikai potenciálok Termodinamikai ciklusok Fázisátmenetek