Schur -dekompozíció - egy mátrix felbontása egységes , felső háromszög alakú és inverz unitárius mátrixokra, amelyeket Isai Schurról neveztek el .
Ha egy négyzetes sorrendű mátrix összetett elemekkel , akkor a következőképpen ábrázolható: [1] [2] :
ahol egy unitárius mátrix (tehát az inverze egy hermiti konjugált mátrix ), és egy felső háromszögmátrix , amelyet a mátrix Schur alakjának nevezünk . Mivel hasonlít egy mátrixhoz , ugyanazokkal a sajátértékek több halmazával rendelkezik , és mivel háromszög alakú, ezek a sajátértékek megegyeznek a mátrix átlós elemeivel .
A Schur-felbontásból következik, hogy van egy -invariáns alterek beágyazott sorozata és egy rendezett ortogonális bázis úgy, hogy az első bázisvektorok lineáris kombinációja a szekvenciában mindenre megadja . Más szavakkal, az első rész azt mondja, hogy egy komplex véges dimenziós vektortéren végzett lineáris leképezés stabilizálja az egész zászlót .
A Schur-dekompozíció konstruktív bizonyítéka a következő: egy összetett véges dimenziós vektortér bármely operátorának van egy sajátértéke , amely megfelel a sajáttérnek . Legyen ortonormális kiegészítés. Egy ilyen ortogonális dekompozíciónál mátrixábrázolása van (bármilyen ortonormális bázist választhat, és az általuk átfogott terekre, ill .):
,hol van az identitás operátor a . A kapott mátrix háromszög alakú, kivéve a blokkot . De pontosan ugyanezt az eljárást lehet végrehajtani a részmátrixra is , amelyet a mátrix operátorának és almátrixainak tekintünk . Az eljárás egyszeri folytatásával a hely kimerül, és a konstrukció meghozza a kívánt eredményt.
Bár minden négyzetes mátrixnak van Schur-felbontása, általában egy ilyen dekompozíció nem egyedi. Például egy sajáttér mérete 1-nél nagyobb, ebben az esetben bármely ortonormális bázis megadja a kívánt eredményt.
Egy háromszög mátrix ábrázolható egy átlós mátrix és egy szigorúan felső háromszög mátrix összegeként : . A szigorúan felső háromszög alakú mátrix nilpotens . Az átlós mátrix véletlenszerű sorrendben tartalmazza a mátrix sajátértékeit . A nilpotens rész általában sem egyedi, de Frobenius-normáját a mátrix egyedileg határozza meg , mivel a mátrix Frobenius-normája megegyezik a mátrix Frobenius-normájával .
Ha normális , akkor a Schur alakja átlós , és a dekompozíciós mátrix oszlopai a mátrix sajátvektorai lesznek . A Schur-felbontás tehát általánosítja a spektrális dekompozíciót . Konkrétan, ha pozitív definit , akkor Schur-felbontása, spektrális dekompozíciója és szinguláris értékű dekompozíciója megegyezik.
Egy kommutatív mátrixcsalád egyidejűleg redukálható háromszög alakúra, azaz létezik olyan unitárius mátrix , amelyik bármelyik családra felső háromszög alakú. A végső állítást indukció bizonyítja. Következésképpen a normálmátrixok bármely kommutatív családja redukálható átlós alakra [3] .
Végtelen dimenziós esetben a Banach-térben nem minden korlátos operátornak van invariáns altere . Egy tetszőleges négyzetmátrix háromszögelése azonban kompakt operátorokra általános . A Banach-térben minden kompakt operátor zárt invariáns alterekkel rendelkezik .
Egy adott mátrix Schur-bontását a QR-algoritmus vagy annak változatai hajtják végre. Ilyen algoritmusok használatával a Schur-felbontáshoz nincs szükség a mátrixnak megfelelő karakterisztikus polinom gyökeinek előre kiszámítására. Ezzel szemben a QR-algoritmus felhasználható bármely adott karakterisztikus polinom gyökeinek kiszámítására, ha megtaláljuk a kísérő mátrix Schur-dekompozícióját . Ugyanígy a QR-algoritmust használják bármely adott mátrix sajátértékeinek kiszámítására, amelyek a felső háromszög alakú Schur-dekompozíciós mátrix átlós elemei. Minden szükséges algoritmus implementálva van, különösen a Lapack könyvtárban [4] .
A hazugságelmélet néhány fontos eredménye a Schur-dekompozícióból következik különösen:
Két négyzetes mátrix általánosított Schur-felbontása, és mindkét és mátrix konzisztens párja , ahol és egységesek és és háromszög alakúak . Az általánosított Schur-bontást néha QZ-felbontásnak is nevezik .
Az általánosított értékproblémát megoldó általánosított sajátértékek (ahol egy ismeretlen nem nulla vektor) az átlós elemek és a megfelelő elemek arányaként számíthatók ki . Azaz a -edik általánosított sajátérték kielégíti az egyenlőséget .