Schur bomlás

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. május 15-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

Schur -dekompozíció - egy mátrix felbontása egységes , felső háromszög alakú és inverz unitárius mátrixokra, amelyeket Isai Schurról neveztek el .

Nyilatkozat

Ha egy négyzetes sorrendű mátrix összetett elemekkel , akkor a következőképpen ábrázolható: [1] [2] : $A$ $n$

A=QUQ^{-1}

ahol egy unitárius mátrix (tehát az inverze egy hermiti konjugált mátrix ), és egy felső háromszögmátrix , amelyet a mátrix Schur alakjának nevezünk . Mivel hasonlít egy mátrixhoz , ugyanazokkal a sajátértékek több halmazával rendelkezik , és mivel háromszög alakú, ezek a sajátértékek megegyeznek a mátrix átlós elemeivel . $K$ $Q^{-1}$ $Q^{*}$ $K$ $U$ $A$ $U$ $A$ $U$

A Schur-felbontásból következik, hogy van egy -invariáns alterek beágyazott sorozata és egy rendezett ortogonális bázis úgy, hogy az első bázisvektorok lineáris kombinációja a szekvenciában mindenre megadja . Más szavakkal, az első rész azt mondja, hogy egy komplex véges dimenziós vektortéren végzett lineáris leképezés stabilizálja az egész zászlót . $A$ ${\displaystyle \{0\}=V_{0}\subset V_{1}\subset \dots \subset V_{n}=\mathbb {C} ^{n))$ $én$ $V_i$ $én$ $J$ $V_{1},\dots V_{n}$

Bizonyítás

A Schur-dekompozíció konstruktív bizonyítéka a következő: egy összetett véges dimenziós vektortér bármely operátorának van egy sajátértéke , amely megfelel a sajáttérnek . Legyen ortonormális kiegészítés. Egy ilyen ortogonális dekompozíciónál mátrixábrázolása van (bármilyen ortonormális bázist választhat, és az általuk átfogott terekre, ill .): $A$ $\lambda$ $V_{\lambda}$ $V_{\lambda }^{\perp }$ $A$ $\mathbb {Z} _{1}$ $\mathbb{Z } _{2}$ $V_{\lambda}$ $V_{\lambda }^{\perp }$

{\begin{bmatrix}Z_{1}&Z_{2}\end{bmatrix}}^{*}A{\begin{bmatrix}Z_{1}&Z_{2}\end{bmatrix}}={ \begin{bmatrix}\lambda \,I_{\lambda }&A_{12}\\0&A_{22}\end{bmatrix}}:{\begin{matrix}V_{\lambda }\\\oplus \\V_{ \lambda }^{\perp }\end{mátrix}}\jobbra nyíl {\begin{matrix}V_{\lambda }\\\oplus \\V_{\lambda }^{\perp }\end{mátrix}}

hol van az identitás operátor a . A kapott mátrix háromszög alakú, kivéve a blokkot . De pontosan ugyanezt az eljárást lehet végrehajtani a részmátrixra is , amelyet a mátrix operátorának és almátrixainak tekintünk . Az eljárás egyszeri folytatásával a hely kimerül, és a konstrukció meghozza a kívánt eredményt. ${\displaystyle I_{\lambda ))$ $V_{\lambda}$ $A_{2\,2}$ $A_{2\,2}$ $V_{\lambda }^{\perp }$ $n$ $\mathbb {C} ^{n}$

Jellemzők

Bár minden négyzetes mátrixnak van Schur-felbontása, általában egy ilyen dekompozíció nem egyedi. Például egy sajáttér mérete 1-nél nagyobb, ebben az esetben bármely ortonormális bázis megadja a kívánt eredményt. $V_{\lambda}$ $V_{\lambda}$

Egy háromszög mátrix ábrázolható egy átlós mátrix és egy szigorúan felső háromszög mátrix összegeként : . A szigorúan felső háromszög alakú mátrix nilpotens . Az átlós mátrix véletlenszerű sorrendben tartalmazza a mátrix sajátértékeit . A nilpotens rész általában sem egyedi, de Frobenius-normáját a mátrix egyedileg határozza meg , mivel a mátrix Frobenius-normája megegyezik a mátrix Frobenius-normájával . $U$ $D$ $N$ $U=D+N$ $D$ $A$ $N$ $A$ $A$ $U=D+N$

Ha normális , akkor a Schur alakja átlós , és a dekompozíciós mátrix oszlopai a mátrix sajátvektorai lesznek . A Schur-felbontás tehát általánosítja a spektrális dekompozíciót . Konkrétan, ha pozitív definit , akkor Schur-felbontása, spektrális dekompozíciója és szinguláris értékű dekompozíciója megegyezik. $A$ $U$ $K$ $QUQ^{-1}$ $A$ $A$

Egy kommutatív mátrixcsalád egyidejűleg redukálható háromszög alakúra, azaz létezik olyan unitárius mátrix , amelyik bármelyik családra felső háromszög alakú. A végső állítást indukció bizonyítja. Következésképpen a normálmátrixok bármely kommutatív családja redukálható átlós alakra [3] . $\{A_{i}\}$ $K$ $A_{i}$ $QA_{i}Q^{*}$

Végtelen dimenziós esetben a Banach-térben nem minden korlátos operátornak van invariáns altere . Egy tetszőleges négyzetmátrix háromszögelése azonban kompakt operátorokra általános . A Banach-térben minden kompakt operátor zárt invariáns alterekkel rendelkezik .

Számítás

Egy adott mátrix Schur-bontását a QR-algoritmus vagy annak változatai hajtják végre. Ilyen algoritmusok használatával a Schur-felbontáshoz nincs szükség a mátrixnak megfelelő karakterisztikus polinom gyökeinek előre kiszámítására. Ezzel szemben a QR-algoritmus felhasználható bármely adott karakterisztikus polinom gyökeinek kiszámítására, ha megtaláljuk a kísérő mátrix Schur-dekompozícióját . Ugyanígy a QR-algoritmust használják bármely adott mátrix sajátértékeinek kiszámítására, amelyek a felső háromszög alakú Schur-dekompozíciós mátrix átlós elemei. Minden szükséges algoritmus implementálva van, különösen a Lapack könyvtárban [4] .

Alkalmazások

A hazugságelmélet néhány fontos eredménye a Schur-dekompozícióból következik különösen:

bármely invertálható operátor egy Borel-alcsoportban található ,
bármely operátor rögzít egy pontot az elosztó jelzőjén .

Általánosított Schur dekompozíció

Két négyzetes mátrix általánosított Schur-felbontása, és mindkét és mátrix konzisztens párja , ahol és egységesek és és háromszög alakúak . Az általánosított Schur-bontást néha QZ-felbontásnak is nevezik . $A$ $B$ $A=QSZ^{*}$ $B=QTZ^{*}$ $K$ $Z$ $S$ $T$

Az általánosított értékproblémát megoldó általánosított sajátértékek (ahol egy ismeretlen nem nulla vektor) az átlós elemek és a megfelelő elemek arányaként számíthatók ki . Azaz a -edik általánosított sajátérték kielégíti az egyenlőséget . $\lambda$ $Ax=\lambda Bx$ $x$ $S$ $T$ $én$ $\lambda _{i}$ ${\displaystyle \lambda _{i}=S_{ii}/T_{ii))$

Jegyzetek

↑ R. A. Horn, C. R. Johnson. mátrixelemzés. - Cambridge University Press, 1985. - ISBN 0-521-38632-2 . )
↑ G. H. Golub, C. F. Van Loan. Mátrix számítások. — 3. - Johns Hopkins University Press, 1996. - ISBN 0-8018-5414-8 .
↑ Schur dekompozíció (angol) // Wikipédia. – 2020-03-17.
↑ E. Anderson. LAPACK Felhasználói kézikönyv. — Harmadik. - Philadelphia, PA: Ipari és Alkalmazott Matematikai Társaság, 1999. - ISBN 0-89871-447-8 .

Irodalom

V. V. Prasolov. Lineáris algebra feladatai és tételei. - 2. - Moszkva, 2008. - P. 226-227 (3.7.1. Schur-bontás), 498 (9.3.5. Schur-bontás).