D'Alembert jele

A d'Alembert jele (vagy D'Alembert jele ) a számsorok konvergenciájának jele , amelyet Jean d'Alembert állított fel 1768 -ban .

Ha egy számsorozathoz

\sum _{{n=0}}^{\infty }a_{n}

létezik olyan , , szám , hogy valamilyen számból kiindulva az egyenlőtlenség $q$ $0<q<1$

\left|{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\right|\leqslant q,

akkor ez a sorozat abszolút konvergens ; ha valamilyen számból kiindulva

\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geqslant 1

akkor a sorozat szétválik.

Ha valamilyen számból kiindulva , és nem létezik olyan , hogy valamennyire , valamilyen számból kiindulva, akkor ebben az esetben a sorozat konvergálhat és divergálhat is. $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<1$ $q$ $0<q<1$ $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leqslant q$ $n$

d'Alembert-kritérium a konvergenciához határformában

Ha van határ

\rho =\lim _{{n\to \infty }}\left|{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\right|,

akkor a szóban forgó sorozat abszolút konvergál, ha , és ha , akkor divergál. $\rho<1$ $\rho >1$

Megjegyzés 1. Ha , akkor d'Alembert tesztje nem ad választ a sorozatok konvergenciájára vonatkozó kérdésre. $\rho=1$

Megjegyzés 2. Ha , és a sorozat felülről a határáig tart, akkor a sorozatról akkor is elmondhatjuk, hogy eltér. $\rho=1$ $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$ $\rho$

Bizonyítás

Valamelyik számból kiindulva igaz az egyenlőtlenség , ahol . Ezután írhatja a következőt : , , …, , stb. Az első n egyenlőtlenséget megszorozva azt kapjuk , hogy honnan . Ez azt jelenti, hogy a sorozat kisebb, mint egy csökkenő geometriai progresszió végtelen összege, és ezért összehasonlításképpen konvergál. A modulok teljes sorozata is konvergál, hiszen az első tagok (szekvenciák ) nem játszanak szerepet (véges számú van belőlük). Mivel a modulok sorozata konvergál, maga a sorozat az abszolút konvergencia alapján konvergál. Abszolút egyetért. $N$ $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leqslant q$ $0<q<1$ $\left|{\frac {a_{N+1}}{a_{N}}}\right|\leq q$ $\left|{\frac {a_{N+2}}{a_{N+1}}}\right|\leq q$ $\left|{\frac {a_{N+n}}{a_{N+n-1}}}\right|\leq q$ $\left|{\frac {a_{N+1}}{a_{N}}}\right|\times \left|{\frac {a_{N+2}}{a_{N+1} }}\right|\times ...\times \left|{\frac {a_{N+n}}{a_{N+n-1}}}\right|=\left|{\frac {a_{ N+n}}{a_{N}}}\right|\leq {q^{n}}$ $\left|{a_{N+n}}\right|\leq |{a_{N}}|{q^{n}}$ $\left|{a_{N+1}}\right|+\left|{a_{N+2}}\right|+\left|{a_{N+3}}\right|+.. .$ $N-1$ ${\displaystyle \{a\))$
Legyen (néhány N-ből kiindulva): akkor írhatunk . Ez azt jelenti, hogy a sorozattagok modulusa nem nullázódik a végtelenben, és így maga a sorozat sem hajlik nullára. Ekkor egyetlen sorozat konvergenciájának szükséges feltétele sem teljesül, ezért a sorozatok eltérnek. $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geq 1$ $\left|{a_{n+1}}\right|\geq \left|{a_{n}}\right|$ ${\displaystyle \{a\))$ ${\displaystyle \{a\))$
Hadd , kiindulva néhány . Sőt, nincs olyan , hogy mindenki számára , valamilyen számból kiindulva . Ebben az esetben a sorozatok konvergálhatnak vagy divergálhatnak. Például mind a sorozat, mind pedig megfelel ennek a feltételnek, és az első sorozat (harmonikus) eltér, a második pedig konvergál. Valójában a sorozat minden természetesre igaz . Ugyanakkor, mivel ez azt jelenti, hogy bármelyik esetén választhatunk olyan számot , hogy egyidejűleg valamilyen számból kiindulva a sorozat minden tagja , ahol , az intervallumban lesz , azaz , . Ez pedig azt jelenti , hogy nem létezik mindenki számára ilyen . Ez az érvelés megismételhető a második sorban. $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<1$ $n=N$ $q$ $0<q<1$ $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leqslant q$ $n$ $N$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|={\frac {n}{n+1}}=1-{\frac {1}{ n+1}}<1$ $n$ $\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=1$ $q$ $0<q<1$ $\varepsilon$ $1-\varepsilon >q$ ${\displaystyle \{b\))$ ${b_{n}}=\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$ $(1-\varepsilon ;1)$ ${b_{n}}>q$ $q$ $0<q<1$ $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leqslant q$ $n>N$

Példák

A sorozat abszolút konvergál az összes komplex számára , mivel $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!)}}$ $z$ $\lim _{{n\to \infty }}\left|{\frac {{z^{{n+1}}}/{(n+1)!}}{{z^{n}}/{ n!}}}\right|=\lim _{{n\to \infty }}{\frac {|z|}{n+1}}=0.$

A sorozat mindenki számára eltér , hiszen $\sum _{{n=0}}^{\infty }n!\;z^{n}$ $z\neq 0$ $\lim _{{n\to \infty }}\left|{\frac {(n+1)!\;z^{{n+1}}}{n!\;z^{n}}}\ right|=\lim _{{n\to \infty }}|(n+1)z|=\infty .$

Ha , akkor a sorozatok konvergálhatnak és divergálhatnak is: mindkét sorozat teljesíti ezt a feltételt, és az első sorozat ( harmonikus ) divergál, a második pedig konvergál. Egy másik példa, amelyhez Raabe funkcióra van szükség : $\rho=1$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ $\sum _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {\ln n}{n}}\right)^{2n}$

Linkek

d'Alembert, J. (1768), Opuscules , vol. V, p. 171–183 , < http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k62424s.image.f192 > .
Apostol, Tom M. (1974), Matematikai elemzés (2. kiadás), Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-00288-1
Knopp, Konrad (1956), Infinite Sequences and Series , New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-60153-3 : § 3.3, 5.4.
Rudin, Walter (1976), Principles of Mathematical Analysis (3. kiadás), New York: McGraw-Hill, Inc., ISBN 978-0-07-054235-8
Hazewinkel, Michiel, szerk. (2001), Bertrand-kritérium , Matematikai Enciklopédia , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Hazewinkel, Michiel, szerk. (2001), Gauss-kritérium , Matematikai Enciklopédia , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Hazewinkel, Michiel, szerk. (2001), Kummer-kritérium , Matematikai Enciklopédia , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Watson, GN és Whittaker, ET (1963), A Course in Modern Analysis (4. kiadás), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58807-2

Szótárak és enciklopédiák	Nagy katalán Britannica (online)

Sorozatok konvergenciájának jelei
Minden sorhoz	Szükséges állapot Cauchy-kritérium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Előjel-pozitív sorozatokhoz	Fő kritérium Összehasonlító jel Kummer jel Gauss jel Cauchy radikális jele Integrált funkció D'Alembert jele hatalom jele logaritmikus jel Raabe jele Bertrand jele Jamet jele Schlömilch jele Ermakov jele Lobacsevszkij jele teleszkópos jel Sapogov jele
Váltakozó sorozatokhoz	Leibniz jel
Az űrlap soraihoz $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Ábel jel Dedekind jele Dubois-Reymond jel Dirichlet jel
Funkcionális sorozatokhoz	Weierstrass jel
Fourier sorozathoz	Dini jel De la Vallée Poussin jele Jordan jel Jung jele Salem jele Lebesgue jel Lebesgue-Gergen jel Martsinkevics jele