Möbius átalakulás

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. április 10-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 24 szerkesztést igényelnek .

A Möbius -transzformáció az euklideszi tér egypontos tömörítésének transzformációja , amely véges számú inverziónak a hipergömbökhöz és a hipersíkokhoz viszonyított reflexióknak a összetétele . [1] . ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} ^{n))}=\mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \))$

Az angol szakirodalomban a Möbius-transzformáció kifejezést gyakran csak a kiterjesztett komplex síkra definiálják, mint egy lineáris törtfüggvénnyel meghatározott transzformációt : ${\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ $f:{\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}$

f(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d)),&x\neq \infty \\\displaystyle {\frac {a}{c)) ,&x=\infty \end{cases}}\quad a,b,c,d\in \mathbb {C} ,\quad \left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{mátrix}}\ jobbra|\neq 0

Ezt a definíciót az általános speciális esetének tekinthetjük , mivel ha a kiterjesztett komplex síkot ként ábrázoljuk , akkor a definíciók ekvivalensek. Az orosz nyelvű irodalomban a komplex számok lineáris-tört függvényeihez a lineáris-tört transzformáció kifejezést használják . $n=2$ ${\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} ^{2))}=\mathbb {R} ^{2}\cup \{\infty \))$

Egy vonal egypontos tömörítése esetén ez egy projektíven meghosszabbított valós egyenes . Rajta a Möbius-transzformációk a komplex esethez hasonlóan lineáris-tört függvények segítségével definiálhatók. $n=1$

Projektív kiterjesztésű számsor

Abban az esetben , ha a szóköz kiterjesztett számsor. Ebben az esetben a Möbius-transzformáció egy alternatív definíciót tesz lehetővé egy lineáris-tört függvény használatával: $n=1$ $\R \kupa \{\infty\}$

f(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d)),&x\neq \infty \\\displaystyle {\frac {a}{c)) ,&x=\infty \end{cases}}\quad a,b,c,d\in \mathbb {R} ,\quad \left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{mátrix}}\ jobbra|\neq 0

Kiterjesztett komplex sík

Ebben az esetben a teret kiterjesztett komplex síknak tekinthetjük. Ily módon a Möbius-transzformációt lineáris-tört transzformációnak is nevezik, és alternatív módon definiálható egy lineáris-tört függvény segítségével: $n=2$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\cup \{\infty \))$

f(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d)),&x\neq \infty \\\displaystyle {\frac {a}{c)) ,&x=\infty \end{cases}}\quad a,b,c,d\in \mathbb {C} ,\quad \left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{mátrix}}\ jobbra|\neq 0

A 2-es dimenziójú térben a Möbius-transzformáció az általánosított köröket általánosított körökké alakítja. Felfogható akár ponttranszformációnak, akár általánosított körök transzformációjának [2] :

ponttranszformációként a Möbius-transzformáció a kiterjesztett euklideszi sík transzformációja úgy, hogy egy körből vagy egyenesből kör vagy egyenes lesz. Pontanalagmatikus geometriánk van ;
nem pont transzformációként a Möbius-transzformáció egy kontakttranszformáció speciális esete , amelyben a fő elem nem egy pont, hanem egy kör. Van egy körkörös analagmatikus geometriánk.

A következő egyszerű tulajdonságok könnyen ellenőrizhetők:

Az azonosságleképezés a lineáris-tört függvény speciális esete is. Elég a helyettesítéshez $f(z)=z$ $a=d=1,\;b=c=0.$
A lineáris-tört leképezések szuperpozíciója is egy lineáris-tört függvény lesz.
A lineáris-törttel inverz függvény is ilyen lesz.

Ebből következik, hogy a lineáris-tört leképezések szuperpozíció művelete alatt egy csoportot alkotnak ( a Riemann-gömb automorfizmuscsoportja , más néven Möbius-csoport ). Ez a csoport egy összetett háromdimenziós hazugságcsoport .

Algebrai tulajdonságok

Ha a , , , paramétereket megszorozzuk egy nem nulla komplex számmal, a transzformáció nem változik. Formálisan a Möbius-csoport a csoport projekciója , vagyis létezik egy epimorfizmus : . $a$ $b$ $c$ $d$ $GL_{2}(\mathbb {C})$ $\left(\begin{mátrix}a&&b\\c&&d\end{mátrix}\jobbra)\to\frac{az+b}{cz+d}$

A Möbius-csoport izomorf a speciális ortokrón Lorentz-csoporttal $SO^\uparrow(1;\;3)$ .

Tegyük fel, hogy a transzformációnak megfelelő mátrix normalizált, azaz teljesíti a feltételt . Ezután ennek a mátrixnak a -vel egyenlő nyomvonalától függően az összes lineáris-tört leképezést három típusba sorolhatjuk: $ad-bc=1$ $a+d$

elliptikus: ; $|a+d|<2$
parabolikus: ; $a+d=\pm 2$
hiperbolikus: . $|a+d|>2$

Geometriai tulajdonságok

Először is, bármilyen lineáris-tört leképezés ábrázolható eltolások , inverziók , elforgatások és nyújtások kombinációjaként . Ezt könnyű bizonyítani – egy tetszőleges térképet fel lehet bontani négy függvény szuperpozíciójára: $f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$

f(z)=f_4(f_3(f_2(f_1(z)))),

ahol

\begin{mátrix}f_1(z)&=&z+\dfrac{d}{c},\\f_2(z)&=&\dfrac{1}{z},\\f_3(z)&=&-\ dfrac{ad-bc}{c^2}z,\\f_4(z)&=&z+\dfrac{a}{c}.\end{mátrix}

Másodszor, ebből azonnal következik a szögek és a körök megőrzésének tulajdonsága lineáris-tört leképezés esetén, mivel a szuperpozícióban szereplő összes leképezés konformális. Itt a Riemann-gömbön lévő köröket értjük , amelyek a síkban lévő vonalakat tartalmazzák.

Továbbá három páronként különálló ponthoz létezik egy egyedi lineáris-tört leképezés, amely leképezi ezt a három pontot az adott három páronként különálló pontra . Azon alapul, hogy a lineáris-tört leképezések megőrzik a komplex sík négy pontjának anharmonikus arányát . Ha a pont a pont képe , akkor az egyenlőség $z_1,\;z_2,\;z_3$ $w_1,\;w_2,\;w_3$ $w(z)$ $z$

\frac{(z_1-z_3)(z_2-z)}{(z_1-z)(z_2-z_3)}=\frac{(w_1-w_3)(w_2-w(z))}{(w_1-w( z))(w_2-w_3)},

amely (feltéve, hogy for ) egyértelműen meghatározza a kívánt leképezést $z_i \ne z_j, w_i \ne w_j$ $i \ne j$ $w(z).$

A Möbius-transzformáció és az egységkör

Möbius átalakulás

f(z)=\frac{az+b}{cz+d}

az egységkör automorfizmusa akkor és csak akkor, ha és . $\Delta=\{z \in {\mathbb C}: \, |z|<1\}$ $a{\bar b}=c{\bar d}$ $|a|=|d|>|c|$

Mind a Riemann-gömb, mind az egységkör esetében minden konform automorfizmust kimerítenek a lineáris-tört függvények. Az egységkör automorfizmusai a Möbius-csoport valós háromdimenziós alcsoportját alkotják; mindegyik a következőképpen fejeződik ki:

f(z)=e^{i\varphi}\frac{z+\beta}{{\bar\beta}z+1},\quad\beta\in\Delta,\quad|e^{i\varphi} |=1.

Példák

A lineáris törtfüggvény egyik fontos példája a Cayley-transzformáció :

W(z)=\frac{zi}{z+i}.

Két kanonikus tartományt kapcsol össze a komplex síkon úgy, hogy a felső félsíkot leképezi az egységkörre . ${\mathbb C}^+$ $\Delta$

Magasabb méretű terek

Bármilyen konform leképezéssel kiindulva egy Möbius-transzformáció. A Möbius-transzformációknak a következő típusai vannak: $n=3$

$f(x)=b+A(xa)$
${\displaystyle f(x)=b+{\dfrac {A(xa)}{|xa|^{2))))$ ,

ahol , egy ortogonális mátrix . $a,b\in \mathbb {R}$ $A$

Jegyzetek

↑ Alfors L. Möbius transzformációk a többdimenziós térben, 1986 , p. 5.
↑ Mathematical Encyclopedia , 3. kötet, 1982 , st. 122.

Irodalom

Shabat BV Bevezetés a komplex elemzésbe. — M .: Nauka , 1969. — 577 p.
Alfors L. Möbius transzformációk többdimenziós térben: Per. angolról. N. A. Guszevszkij. Szerk. S. L. Krushkala . M.: Mir, 1986. 112 p., ill. [Modern matematika. Bevezető tanfolyamok.]
Matematikai enciklopédia : Ch. szerk. I. M. Vinogradov , 3. kötet Koo-Od. M .: "Szovjet Enciklopédia", 1982. 1184 stb., Ill.

Linkek

A Moebius Transformations Revealed archiválva 2011. február 16-án a YouTube Wayback Machine oldalán .
- ugyanaz (orosz felirattal) Archivált 2015. június 22-én a Wayback Machine -nál .