Inverz függvény

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. július 15-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 13 szerkesztést igényelnek .

Az inverz függvény olyan függvény , amely megfordítja az adott függvény által kifejezett függőséget. Például, ha x függvénye y -t ad , akkor y inverz függvénye x -et ad . Egy függvény inverzét általában jelölik , néha a jelölést is használják . $f$ $f^{-1}$ $f^{\mathrm{inv))$

Az inverz függvényt reverzibilisnek nevezzük .

Definíció

Egy függvényt inverznek nevezünk , ha a következő azonosságok teljesülnek: $g:Y\-X$ $f:X\Y-ig$

$f(g(y))=y$ mindenkinek $y\-ben Y;$
$g(f(x))=x$ mindenkinek $x\X-ben.$

Kapcsolódó definíciók

Egy függvényt a függvény bal oldali inverzének nevezünk , ha mindenre . $g:Y\-X$ $f:X\Y-ig$ $g(f(x))=x$ $x\X-ben$
A függvényt a függvény jobb inverzének nevezzük , ha mindenre [1] . $g:Y\-X$ $f:X\Y-ig$ $f(g(y))=y$ $y\-ban Y$

Létezés

Az inverz függvény megtalálásához meg kell oldani az egyenletet . Ha egynél több gyöke van, akkor nincs inverz függvény. Így egy függvény akkor és csak akkor invertálható egy intervallumon , ha ezen az intervallumon egy az egyhez . $y = f(x)$ $x$ $f$ $f(x)$ $(a;b)$

Folyamatos függvény esetén az egyenletből való kifejezés akkor és csak akkor lehetséges, ha a függvény szigorúan monoton (lásd az implicit függvénytételt ). Egy folytonos függvény azonban mindig megfordítható szigorú monotonitása intervallumán. Például a k inverz függvénye , bár az inverz függvény a következő intervallumon különbözik: . $F(y)$ $y$ $x - F(y) = 0$ $F(y)$ $\sqrt{x}$ $x^{2}$ $[0, +\infty)$ $(-\infty, 0]$ $-\sqrt{x}$

Egy inverz függvény létezéséhez nem szükséges sem az eredeti függvény folytonossága, sem monotonitása. Példa: az a függvény , ahol a Dirichlet függvény nem folytonos és nem monoton, de létezik az inverze [2] : $y=x+D(x),$ $D(x)$ $x=yD(y).$

Példák

Ha , valahol $F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_+,\; F(x) = a^x$ $a>0,a\neq 1,$ $F^{-1}(x) = \log_a x.$
Ha , hol vannak fix állandók és , akkor $F(x) = ax+b, \; x\in \mathbb{R}$ $a,b\in \mathbb{R}$ $a \neq 0$ $F^{-1}(x) = \frac{xb}{a}.$
Ha , akkor $F(x)=x^n,x \ge 0, n\in \mathbb Z$ $F^{-1}(x)=\sqrt[n]{x}.$

Tulajdonságok

A tartomány a halmaz , a tartomány pedig a halmaz . $F^{-1}$ $Y$ $x$
Építésünk szerint a következőkkel rendelkezünk:

y = F(x) \balra jobbra nyíl x = F^{-1}(y)

vagy

F\left(F^{-1}(y)\right) = y,\; \all y \in Y

F^{-1}(F(x)) = x,\; \forall x \in X

vagy rövidebb

F \circ F^{-1} = \mathrm{id}_Y

F^{-1} \circ F = \mathrm{id}_X

ahol a függvények összetételét jelöli , és az azonos leképezéseket jelenti a és -ra, ill. $\circ$ $\mathrm{id}_X, \mathrm{id}_Y$ $x$ $Y$

Egy ilyen leképezést , amelyet ("jobboldali inverz") a leképezés szakaszának nevezünk . $G\colon \,Y\to X$ $F\circ G=\mathrm {id} _{Y}$ $F$

A függvény fordítottja : $F$ $F^{-1}$

\left(F^{-1}\right)^{-1} = F

Legyen bijekció. Legyen az inverz függvénye. Ekkor a és függvények grafikonjai szimmetrikusak az egyeneshez képest . $F:X \subset \mathbb{R} \to Y \subset \mathbb{R}$ $F^{-1}:Y \-X$ $y = F(x)$ $y = F^{-1}(x)$ $y=x$
Továbbá, ha egy függvénynek van inverze , akkor ezeknek a függvényeknek a grafikonjai szimmetrikusak lesznek az egyenesre . $f(x)$ $f^{-1}(x)$ $y=x$

Tétel . Bármely két invertálható függvény összetétele invertálható függvény, azaz . ${\displaystyle {\left(f\circ g\right)}^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1))$

Bizonyíték
Mivel és bármely reverzibilis függvényre , ahol az azonosságtranszformáció, a következő egyenlőségeket írhatjuk fel. $\alpha \circ {\alpha }^{-1}={\alpha }^{-1}\circ \alpha =e$ $\alpha \circ e=e\circ \alpha =\alpha$ $\alpha$ $e$ Nekünk van: $e=e\Longleftrightarrow e=f\circ f^{-1}\Longleftrightarrow e=f\circ g\circ g^{-1}\circ f^{-1}\Longleftrightarrow e=\left( f\circ g\right)\circ \left(g^{-1}\circ f^{-1}\right).$ Cselekedjünk a függvény által balra, és kapjuk: A tétel bizonyítva. ${\displaystyle {\left(f\circ g\right)}^{-1))$ ${\left(f\circ g\right)}^{-1}\circ \mid e=\left(f\circ g\right)\circ \left(g^{-1}\circ f ^{-1}\right)\Longleftrightarrow {\left(f\circ g\right)}^{-1}\circ e={\left(f\circ g\right)}^{-1}\circ \left(f\circ g\right)\circ \left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)\Longleftrightarrow {\left(f\circ g\right)}^{-1 }=e\circ \left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)\Longleftrightarrow {\left(f\circ g\right)}^{-1}=g^{-1 }\circf^{-1}.$

Ez a kijelentés könnyen megjegyezhető így: "A kabátot az ing után veszik fel, és levették előtt ."

Teljesítménysorozat bővítése

Egy pont valamely környezetében lévő analitikus függvény inverz függvénye hatványsorként ábrázolható : $x_{0}$

f^{-1}(y)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}(x_{0}){\frac {(yf(x_{0}))^ {k}}{k!}},

ahol a függvényeket a rekurzív képlet adja meg: $A_k$

A_{n}(x)={\begin{cases}x\;,\;n=0\\{\frac {A_{n-1}'(x)}{f'(x)} }\;,\;n>0\end{cases}}

Lásd még

Jegyzetek

↑ Kulikov L.Ya. "Algebra és számelmélet: Tankönyv pedagógiai intézetek számára"
↑ Shibinsky V. M. Példák és ellenpéldák a matematikai elemzés során. oktatóanyag. - M . : Felsőiskola, 2007. - S. 29-30. — 543 p. - ISBN 978-5-06-005774-4 .