Hilbert átalakul

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. november 27-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 9 szerkesztést igényelnek .

A Hilbert-transzformáció a matematikában és a jelfeldolgozásban egy lineáris operátor , amely egy valós változó minden egyes függvényét leképezi egy ugyanabban a tartományban lévő függvényre úgy , hogy az eredeti függvényt összevonja a függvénnyel . A fizikában ezeket az összefüggéseket Kramers-Kronig relációknak nevezik , amelyek a rendszer komplex válaszfüggvényének képzeletbeli és valós részeit kapcsolják össze. $u(t)$ $H(u)(t)$ $1/(\pi t)$

Definíció

A Hilbert-transzformáció a következőképpen definiálható (itt a vp a Cauchy-féle nem megfelelő integrál főértékét jelenti ):

H(u)(t)={\frac {1}{\pi }}\operátornév {vp} \int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {u(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau ,

vagy pontosabban:

H(u)(t)={\frac {1}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\int \limits _{\varepsilon }^{\infty }{\frac { u(t+\tau )-u(t-\tau )}{\tau }}\,d\tau ={\frac {2}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\int \ határértékek _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t+\tau )-u(t-\tau )}{2\tau }}\,d\tau =H(\delta )(t) *u(t):=\delta(jt)*u(t).

Tulajdonságok

A Hilbert-transzformáció kétszeri alkalmazásának eredménye az eredeti függvény ellenkező előjellel:

H{\big (}H(u){\big )}(t)=-u(t),

feltéve, hogy mindkét transzformáció létezik.

A Hilbert-transzformáció az [1] függvényre merőleges függvényt ad . ${\displaystyle H{\big (}u(t){\big )))$ $u(t)$

Kapcsolat a Fourier-transzformációval

A Hilbert-transzformáció egy szorzó a spektrális tartományban.

{\mathcal {F}}{\big (}H(u){\big )}(\omega )=-i\operatorname {sgn} (\omega )\cdot {\mathcal {F}}( u)(\omega ),

ahol a közvetlen Fourier-transzformáció normalizációs tényező nélküli változata. ${\mathcal {F}}(u)(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }u(t)e^{-i\omega t}\,dt$

Fordított transzformáció

H^{-1}=-H.

Néhány Hilbert-transzformáció

A következő táblázatban a frekvencia paraméter egy valós szám. $\omega$

Jel $u(t)\,$	Hilbert átalakul $H(u)(t)$
állandó	0
$\sin \omega t$	$\operatorname {sgn}(\omega )\sin \left(\omega t-{\tfrac {\pi }{2))\right)=-\operatorname {sgn}(\omega )\cos \omega t$
$\cos \omega t$	$\operatorname {sgn}(\omega )\cos \left(\omega t-{\tfrac {\pi }{2))\right)=\operatorname {sgn}(\omega )\sin \omega t$
${\displaystyle e^{i\omega t))$	$\operátornév {sgn}(\omega )e^{i\left(\omega t-{\tfrac {\pi }{2))\right)}=-i\cdot \operátornév {sgn}(\ omega )e^{i\omega t}$
$1 \over t^{2}+1$	$t\over t^{2}+1$
$e^{-t^{2))$	$2\pi ^{-1/2}F(t)$ ( F ( t ) a Dawson-integrál )
Sinc ${\frac {\sin t}{t))$	${\frac {1-\cos t}{t))$
karakterisztikus függvény a szegmensen [ a , b ] $\chi _{[a,b]}(t)$	${{\frac {1}{\pi }}\ln \left\vert {\frac {ta}{tb}}\right\vert }$
Téglalap függvény (az előző speciális esete) $\sqcap(t)$	${1 \over \pi }\ln \left\vert {t+{1 \over 2} \over t-{1 \over 2}}\right\vert$
delta függvény $\delta (t)$	${1 \over \pi t}$

Geometriai érzék

Az egységkörön definiált -periodikus függvényeknél a Hilbert-transzformációnak van egy értelmezése a végtelen dimenziós homogén terek geometriájában . Ugyanis a kör orientáció-megtartó diffeomorfizmusainak csoportja hányadostere van a forgások (vagyis a kör orientáció-megtartó izometriái ) részcsoportjához képest. Kirillov -Juriev térnek hívják , és homogén összetett szerkezetű. A kapcsolódó tenzor a Hilbert-transzformáció. Valójában a Kirillov-Jur'ev tér érintőtere a kör vektormezőinek az állandó vektormezőkhöz viszonyított hányadosa. A kör érintőkötege triviális, így a vektormezők -periodikus függvényekkel azonosíthatók, ilyenkor az állandó vektormezők állandókká válnak. A kör függvényeinek konstansokban való hányadosán a Hilbert-transzformáció valóban összetett szerkezeti operátorként (vagyis négyzetes operátorként ) működik; saját altere egy sajátérték számára (amit a Hodge-elméletben altérnek neveznek ) a Hardy-tér – az egységlemezen lévő folytonos függvények határértékei, amelyek belsejében holomorfak (más szóval periódusos függvények, amelyek mindegyike a nem nulla Fourier-harmonikusok pozitív számokkal rendelkeznek). $2\pi$ $\mathrm {Diff} ^{+}(S^{1})$ $\mathrm {Diff} ^{+}(S^{1})/\mathrm {U} (1)$ $2\pi$ $-\mathrm {Id}$ ${\sqrt {-1}}$ $(1,0)$ $2\pi$

A Kirillov-Jur'ev tér egy köteget enged át egy másik végtelen dimenziós homogén téren , amely a diffeomorfizmus csoport tényezője a (lineáris-tört) lemeztranszformációk Möbius-transzformációjának határértékei tekintetében . Könnyen belátható, hogy ennek a kötegnek a rostjai homogén terek , amelyek biholomorfak az egységkorongokhoz képest. Ezt a csomagot A. G. Szergejev népszerűsítette . $\mathrm {Diff} ^{+}(S^{1})/\mathrm {M{\ddot {o}}b} (S^{1})$ $\mathrm {M{\ddot {o}}b} (S^{1})/\mathrm {U} (1)$

Dolgozhatsz fordítva is. Egy másik jól ismert példa a körkötegre, amelynek alapja természetes összetett szerkezetű, a Hopf-köteg . A gömb feletti kúp a komplex vektortérrel azonosítható, amelyből a nullát kidobtuk. Hasonlóképpen egy csoportot ki lehet terjeszteni egy csoporttal (egy ilyen kiterjesztés a kúp helyreállításának algebrai analógja) oly módon, hogy a kapott csoport egy végtelen dimenziós komplex Lie-csoport szerkezetével rendelkezzen. A Lie-algebrák szintjén ezt a kiterjesztést a Gelfand - Fuchs kociklus adja , amely a körre a függvények szerint van felírva . A megfelelő csoportot Virasora (néha Botta -Virasora) csoportnak hívják, és alapvető fontosságú a húrelméletben és a konformális térelmélet más ágaiban . $S^{2n+1}\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$ $\mathbb {C} ^{n+1}$ $\mathrm {Diff} ^{+}(S^{1})$ $\mathbb {R} _{>0}$ $\omega (f,g)=\int _{S^{1}}\left|{\begin{matrix}f'&g'\\f''&g''\end{mátrix}}\jobbra |dx$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Grigorjev A. A. Előadások a jelek elméletéről S. 13. Hozzáférés dátuma: 2017. június 21. Archiválva : 2014. július 3. (határozatlan)

Integrált transzformációk
Ábel átalakul Bessel átalakul Bushman átalakulás Gegenbauer átalakulás Hilbert átalakul Kontorovics-Lebegyev átalakulás Laplace transzformáció Meyer átalakul Mehler-Fock átalakulás Mellin átalakul Nerain transzformáció Radon átalakulás Stieltjes átalakul Fourier transzformáció Hankel transzformáció Hartley átalakul

David Hilbert hozzájárulása a tudományhoz
terek	Hilbert tér Hilbert előtti tér Gilbert tégla
axiomatika	Hilbert axiomatikus
Tételek	Hilbert tétel 90 Hilbert alaptétele Hilbert nulltétele Hilbert-Schmidt tétel
Üzemeltetők	Hilbert átalakul Hilbert-Schmidt operátor
Általános relativitáselmélet	Einstein-Hilbert egyenletek " Hilbert és a gravitációs téregyenletek "
Egyéb	Hilbert problémák Hilbert-görbe Hilbert mátrix Hilbert-Arnold probléma Hilbert sorozat és Hilbert polinom Paradox "Grand Hotel"