Kramers-Kronig kapcsolatok

A Kramers-Kronig relációk a felső félsíkon lévő bármely komplex függvényelemző valós és képzeletbeli részei között szervesen kapcsolódnak . A fizikában gyakran használják a fizikai rendszer válaszfüggvényének valós és képzeletbeli részei közötti kapcsolat leírására , mivel a válaszfüggvény analitikussága azt jelenti, hogy a rendszer eleget tesz az oksági elvnek , és fordítva [1] . Konkrétan a Kramers-Kronig relációk fejezik ki a klasszikus elektrodinamikában a permittivitás valós és imaginárius részei és a mátrixelem átmeneti valószínűségének amplitúdója közötti kapcsolatot .) két állapot között a kvantumtérelméletben . A matematikában a Kramers–Kronig relációt Hilbert-transzformációként ismerik .

Definíció

Egy komplex változó komplex függvényéhez, amely analitikus a felső félsíkban , és nullára hajlamos, mivel a Kramers-Kronig relációkat a következőképpen írjuk fel: $\chi (\omega )=\chi _{1}(\omega )+i\chi _{2}(\omega )$ $\omega,$ $\omega$ $|\omega |\jobbra \infty ,$

\chi _{1}(\omega )={1 \over \pi }vp\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}{\chi _{2}(\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '

és

\chi _{2}(\omega )=-{1 \over \pi }vp\int \limits _{{-\infty }}^({\infty }}{\chi _{1}(\omega ' ) \over \omega '-\omega }\,d\omega ',

ahol a szimbólumok azt jelentik, hogy az integrált a főérték értelmében vettük (Cauchy szerint) . Látható, hogy és nem függetlenek, ami azt jelenti, hogy a teljes függvény visszaállítható, ha csak a valós vagy képzeletbeli részét adjuk meg. $vp$ $\chi _{1}(\omega )$ $\chi _{2}(\omega )$

Kompaktabb formában:

\chi (\omega )={1 \over i\pi }vp\int \limits _{{-\infty }}^{\infty }{\chi (\omega ') \over \omega '-\omega } \,d\omega '.

Következtetés

Legyen egy komplex változó folytonos függvénye . Becsüljük meg a kontúrok integráljainak összegét egy kicsivel a valós tengely felett és egy kicsit alatta: $f(x)$ $x$

\lim _{\epsilon \to 0}\left[\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x)dx}{xi\epsilon }}+\int _{ -\infty }^{\infty }{\frac {f(x)dx}{x+i\epsilon }}\right]=\lim _{\epsilon \to 0}\left[\int _{-\ infty -i\epsilon }^{\infty -i\epsilon }{\frac {f(x'+i\epsilon )dx'}{x'}}+\int _{-\infty +i\epsilon }^ {\infty +i\epsilon }{\frac {f(x'-i\epsilon )dx'}{x'}}\right]=2v.p.\int _{-\infty }^{\infty } {\frac {f(x)}{x}}dx

Becsüljük meg az integrálok különbségét a kontúrok felett egy kicsit a valós tengely felett és egy kicsit alatta:

\lim _{\epsilon \to 0}\left[\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x)dx}{xi\epsilon }}-\int _{ -\infty }^{\infty }{\frac {f(x)dx}{x+i\epsilon }}\right]=\oint _{-\infty }^{\infty }{\frac {f( x)}{x}}dx=2\pi if(0)

( Cauchy integrál képlete ). Ezt a két egyenlőséget kombinálva azt találjuk

\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x)dx}{x\pm i\epsilon }}=vp\int _{-\infty }^{\infty } {\frac {f(x)}{x}}dx\mp i\pi f(0)

Ez a Sochocki-Plemelj tétel .

A polarizációt egy adott időpontban az elektromos mező értékei csak az előző időpontokban határozzák meg, ezért az argumentum negatív értékei esetén a polarizálhatóság nullával való egyenlősége lehetővé teszi, hogy írjuk: ${\megjelenítési stílus \chi (t)}$

\chi _{\omega }=\int _{0}^{\infty }e^{i\omega t}\chi (t)dt

komplex frekvencia esetén a függvénynek analitikusnak kell lennie a felső félsíkban, hogy teljesüljön az oksági elv . De ekkor a függvény , ahol a valós, a felső félsíkban is analitikus , és minden ebben a félsíkban zárt integrál nullával egyenlő: $\chi (\omega )$ $\chi (\omega ')/(\omega '-\omega )$ $\omega$ $\omega '$

\oint {\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '=0

Az integrált a valós tengely mentén írjuk fel a Sochocki-Plemei tétel segítségével:

0=\oint {\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '={\mathcal {P))\!\!\!\int \limits _{ -\infty }^{\infty }{\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '-i\pi \chi (\omega ).

akkor

\chi (\omega )={1 \over i\pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi ( \omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '.

Az összetetthez az egyenlet valós és képzeletbeli részét írjuk fel: $\chi (\omega )=\chi _{1}(\omega )+i\chi _{2}(\omega )$

\chi _{1}(\omega )={1 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{ \chi _{2}(\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '

és

\chi _{2}(\omega )=-{1 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty } {\chi _{1}(\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega ',

ahol - az integrált a főérték értelmében vettük. A Kramers-Kronig relációkat [2] [3] megkapjuk . ${\mathcal {P}}$

Kramers-Kronig kapcsolatok a fizikában

Klasszikus elektrodinamika [4] [5]

A Kramers–Kronig relációk fizikában való alkalmazásának fontos példája a diszperziós viszonyok klasszikus elektrodinamikában való kifejezése . Ebben az esetben ahol a permittivitás , ω a frekvencia . $\varepsilon (\omega )=\varepsilon ^{\prime }(\omega )+i\varepsilon ^{{\prime \prime }}(\omega )$ $\varepsilon$

\varepsilon ^{\prime }(\omega )=1+{\frac {1}{\pi }}vp\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\varepsilon ^{\prime \prime }(x)}{x-\omega }}dx

és

\varepsilon ^{{\prime \prime }}(\omega )=-{\frac {1}{\pi }}vp\int \limits _{{-\infty }}^{\infty }{\frac { \varepsilon ^{\prime }(x)-1}{x-\omega }}dx.

A permittivitás valós és képzetes része határozza meg egy adott közeg törésmutatóját és abszorpciós indexét (optikai állandóit). Így ezek a mutatók nem függetlenek egymástól, és ennek következtében elvileg lehetővé válik a másik spektrumának kiszámítása az egyik optikai állandó spektrumából anélkül, hogy az utóbbit közvetlenül mérnénk. Ez számos esetben lehetővé teszi az optikai állandók meghatározásához szükséges kísérleti úton nyert információ mennyiségének csökkentését, például a kondenzált közeg intenzív abszorpciós sávjainak tartományában. A Kramers-Kronig összefüggések megvalósíthatóságát kísérletileg többször is tesztelték különböző közegekre, különböző aggregációs állapotokban és különböző hőmérsékleteken (kristályok, folyadékok, oldatok) [6] [7] .

Kvantumtérelmélet

A kvantumtérelméletben a szórási folyamatok tanulmányozása során a rendszer összenergiájának, az átvitt impulzusnak stb. komplex függvényének tekintett átmeneti valószínűségek amplitúdói kielégítik a diszperziós összefüggéseket [3] . Ez nagyban megkönnyíti e jelenségek tanulmányozását.

Történelem

A Kramers-Kronig kapcsolatok 1926-1927 között jöttek létre. Ralph Kronig [8] és Hendrik Kramers [9] , és róluk nevezték el.

Jegyzetek

↑ John S. Toll, Causality and the Dispersion Relation: Logical Foundations , Physical Review, vol. 104. o. 1760-1770 (1956).
↑ Jackson. "Klasszikus elektrodinamika". Moszkva, Mir, 1965. (Angol: Jackson J. Klasszikus elektrodinamika. – New York: Wiley, 1998
↑ 1 2 Nishijima, 1965 , p. 153.
↑ Martin P. Összegzési szabályok Kramers – Kronig relációk és transzportegyütthatók töltött rendszerekben // Fizik. Fordulat. . - 1967. - T. 161 . - S. 143 .
↑ Agranovich V. M., Ginzburg V. L. Kristályoptika a térbeli diszperzió és az exciton elmélet megengedésével. - M. , 1979.
↑ Alperovics L. I., Bakhshiev N. G., Zabiyakin Yu. E., Libov V. S. Kramers-Kronig kapcsolatok folyadékok és oldatok molekuláris spektrumaihoz // Optika és spektroszkópia . - 1968. - T. 24 . - S. 60-63 .
↑ Zabiyakin Yu. E. A Kramers-Kronig diszperziós összefüggések ellenőrzése széles hőmérsékleti tartományban // Optika és spektroszkópia . - 1968. - T. 24 . - S. 828-829 .
↑ R. de L. Kronig, A röntgensugarak diszperziójának elméletéről, J. Opt. szoc. Am., vol. 12. o. 547-557 (1926).
↑ H.A. Kramers, La diffusion de la lumiere par les atomes, Atti Cong. Gyakornok. Fisica, (Transactions of Volta Centenary Congress) Como, vol. 2. o. 545-557 (1927).

Irodalom

Matthews J., Walker R. Matematikai módszerek a fizikában / Per. angolról. — M.: Atomizdat , 1972. — 392 p.
Barton G. Diszperziós módszerek a térelméletben / Per. angolról. - M., 1968.
Nishijima K. Alapvető részecskék. - M . : Mir, 1965. - 462 p.