A Cauchy-integrál fő értéke

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. május 30-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A Cauchy -integrál fő értéke a Riemann-integrál fogalmának általánosítása , amely lehetővé teszi néhány divergens nem megfelelő integrál kiszámítását . A Cauchy-integrál fő értékének gondolata az, hogy amikor az integrációs intervallumok mindkét oldalról „ugyanolyan sebességgel” közelítik meg a szinguláris pontot , a szingularitások (a bal és jobb oldali eltérő előjelek miatt) kiegyenlítik egymást, ill. ennek eredményeként egy véges határt kaphatunk, amelyet a Cauchy-integrál főértékének nevezünk. Ennek a koncepciónak fontos alkalmazásai vannak a komplex elemzésben ( Sochocki-Plemelja tétel ) [1] .

Így például az integrál a második típusú nem megfelelő integrál , nem létezik, de a Cauchy-integrál főértéke értelmében létezik. $\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{x}}$

A Cauchy-integrál főértékének meghatározása

Definíció ("∞" szinguláris ponthoz)

Definíció ("∞" szinguláris pontra). Legyen f (x) a (-∞, + ∞) és f ∈ R ([- A, A]) intervallumon minden A > 0 esetén, de az első típusú nem megfelelő integrál divergál. Ha van véges határ $\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx$

\lim _{A\rightarrow +\infty }\int _{-A}^{A}f(x)\,dx,

akkor ezt a határt a (-∞, + ∞) tartománybeli f függvény Cauchy-integráljának főértékének (vagy Cauchy értelmében a főértéknek) nevezzük, és a szimbólummal jelöljük

\mathrm {vp} \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx.

Ebben az esetben az f (x) függvényt integrálhatónak mondjuk a (-∞, + ∞) intervallumon Cauchy értelmében (vagy integrálhatónak a tartományban (-∞, + ∞) Cauchy értelmében).

Példa. Tekintsük a nem megfelelő integrált. Ez az integrál divergens, mert például az integrál divergens lesz, de ennek az integrálnak van egy fő értéke Cauchy értelmében: $\int _{-\infty }^{+\infty }x\,dx.$ $\int _{0}^{+\infty }x\,dx,$

\mathrm {vp} \int _{-\infty }^{+\infty }x\,dx=\lim _{A\rightarrow +\infty }\int _{-A}^{A}x \,dx=\lim _{A\rightarrow +\infty }{\frac {x^{2}}{2}}{\Bigr |}_{-A}^{A}=0.

Tétel

Ha f (x) páratlan ( -∞, + ∞) és f ∈ R ([- A, A]) minden A > 0 esetén, akkor f Cauchy integrálható (-∞, + ∞).
Ha f (x) páros be (-∞, + ∞) és f ∈ R ([- A, A]) minden A > 0 esetén, akkor az integrál konvergenciája ekvivalens az integrál konvergenciájával $\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx$ $\int _{0}^{+\infty }f(x)\,dx.$

Definíció (egy véges szinguláris ponthoz)

Definíció (véges szinguláris pontra). Az f : [a, b] → R függvény teljesítse a feltételeket:

létezik δ > 0, így f ∈ R ([a, c - ε]) és f ∈ R ([c + ε, b]) minden ε ∈ (0, δ) esetén
A divergens a második típusú nem megfelelő integrál $\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$

Ha van véges határ

\lim _{\varepsilon \rightarrow +0}\left(\int _{a}^{c-\varepsilon }f(x)\,dx+\int _{c+\varepsilon }^{b}f (x)\,dx\jobbra),

akkor ezt a határértéket a Cauchy-integrál főértékének (vagy a Cauchy értelmében vett főértéknek) nevezzük az f függvényhez az [a, b] intervallumon , és a szimbólummal jelöljük

\mathrm {vp} \int _{a}^{b}f(x)\,dx.

Ezenkívül az f (x) függvényről azt mondjuk , hogy Cauchy integrálható [a , b ] -re (vagy integrálható az [a, b] szegmensre Cauchy értelmében).

Példa. Tekintsünk egy második típusú nem megfelelő integrált (lásd az ábrát) Divergál, mivel például az integrál divergál Ebben az esetben a főérték Cauchy szerinti értelmezésében ez az integrál létezik és egyenlő nullával: $\int _{-2}^{2}{\frac {dx}{x}}$ $\int _{-2}^{0}{\frac {dx}{x)).$

{\begin{aligned}\mathrm {vp} \int _{-2}^{2}{\frac {dx}{x}}&=\lim _{\varepsilon \rightarrow +0}\left (\int _{-2}^{-\varepsilon }{\frac {dx}{x}}+\int _{\varepsilon }^{2}{\frac {dx}{x}}\right)= \\&=\lim _{\varepsilon \rightarrow +0}\left(\ln |x|{\Bigr |}_{-2}^{-\varepsilon }+\ln |x|{\Bigr |} _{\varepsilon }^{2}\right)=\\&=\lim _{\varepsilon \rightarrow +0}{\big (}\ln |-\varepsilon |-\ln |\varepszilon |{\big )}=\\&=0.\end{igazított}}

Több szinguláris pont esete az integrációs intervallumon

Példa. Vegyünk egy nem megfelelő integrált (lásd az ábrát). Az f (x) = 2 x / (x²-1) integrandus szinguláris pontjai a -1, 1 és ∞ pontok. Ez az integrál divergál, ezért divergál például az integráltól $\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx$

{\begin{aligned}\int _{2}^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx&=\lim _{A\to +\ infty }\int _{2}^{A}{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx=\\&=\lim _{A\to +\infty }\ln | x^{2}-1|{\Bigr |}_{x=2}^{A}=\\&=\lim _{A\to +\infty }{\big (}\ln |A^{ 2}-1|-\ln 3{\big )}=\\&=+\infty .\end{igazított))

Nyilvánvaló, hogy f ∈ R ([1 / ε, −1-ε]) ∩ R ([1 + ε, 1-ε]) ∩ R ([1 + ε, 1 / ε]) minden ε ∈ (0 , 1) (mert ez minden intervallumra korlátos). Vizsgáljuk meg az f függvény integrálhatóságát Cauchy-féle értelemben:

{\begin{aligned}\mathrm {vp} \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx&=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int _{-1/\varepsilon }^{-1-\varepsilon }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx+\ int _{-1+\varepszilon }^{1-\varepszilon }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx+\int _{1+\varepszilon }^{1/\varepszilon }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx\right)=\\&=\lim _{\varepsilon \to +0}{\Big (}\ln |x^{ 2}-1|{\Bigr |}_{-1/\varepsilon }^{-1-\varepsilon }+\ln |x^{2}-1|{\Bigr |}_{-1+\varepszilon }^{1-\varepsilon }+\ln |x^{2}-1|{\Bigr |}_{1+\varepsilon }^{1/\varepsilon }{\Big )}=\\&=0 .\end{igazított}}

Ezért az f függvény Cauchy-val integrálható a (-∞, + ∞) intervallumon.

Jegyzetek

↑ Pavlov V.P. Az integrál fő értéke // Fizikai enciklopédia : [5 kötetben] / Ch. szerk. A. M. Prohorov . - M . : Szovjet Encyclopedia , 1988. - T. 1: Aharonov - Bohm-effektus - Hosszú sorok. — 707 p. — 100.000 példány.

Források

Dorogovtsev A. Ya. Matematikai elemzés . - Kijev, Felsőiskola, 1985.