Függőlegesség

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. május 9-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

Merőlegesség (a lat. perpendicularis szóból - szó szerint : vízszintes) [1] - bináris kapcsolat különböző objektumok ( vektorok , vonalak , alterek stb.) között.

A merőlegességnek van egy általánosan elfogadott szimbóluma: ⊥, Pierre Erigon francia matematikus javasolta 1634 -ben . Például a és a vonalak merőlegessége így van írva . $m$ $n$ $m\perp n$

A repülőn

Merőleges vonalak a síkban

Egy síkban lévő két egyenest merőlegesnek nevezzük, ha metszésükkor 4 derékszöget alkotnak .

A vonalon kívüli ponton keresztül húzott egyenesre merőleges egyenesről azt mondják, hogy van egy merőleges, amely -ről -re esett . Ha a pont az egyenesen fekszik , akkor azt mondják, hogy van egy merőleges a visszaállított -tól -ig (az elavult kifejezés restaurált [2] ). $m$ $\ell$ $P$ $\ell$ $m$ $P$ $\ell$ $P$ $\ell$ $m$ $P$ $\ell$

Koordinátákban

Egy analitikus kifejezésben lineáris függvényekkel megadott egyenesek

y=a\cdot x+b

és

y=k\cdot x+m

merőlegesek lesznek, ha a következő feltétel teljesül a lejtőiken

a\cdot k=-1.

Egy merőleges szerkesztése

1. lépés: Iránytűvel rajzoljon egy félkört a P pont közepén , így kapja meg az A és B pontot.

2. lépés: A sugár megváltoztatása nélkül készítsünk két félkört , amelyek középpontja az A és B pontban van , és amelyek áthaladnak a P ponton. A P ponton kívül van még egy másik metszéspontja ezeknek a félköröknek, nevezzük Q .

3. lépés: Csatlakoztassa a P és Q pontokat . PQ az AB egyenesre merőleges .

Az egyenesre merőleges alappontjának koordinátái

Adják meg az egyenest a pontok és . A pontból merőleges ereszkedik le az egyenesre . Ekkor a merőleges alapját a következőképpen találhatjuk meg. $A(x_a,y_a)$ $B(x_b,y_b)$ $P(x_p,y_p)$ $O(x_o,y_o)$

Ha (függőleges), akkor és . Ha (vízszintes), akkor és . $x_a = x_b$ $x_o = x_a$ $y_o = y_p$ $y_a = y_b$ $x_o = x_p$ $y_o = y_a$

Minden más esetben:

x_o = \frac{x_a\cdot(y_b-y_a)^2 +x_p\cdot(x_b-x_a)^2 + (x_b-x_a)\cdot(y_b-y_a)\cdot(y_p-y_a)}{(y_b -y_a)^2+(x_b-x_a)^2}

;

y_o = \frac{(x_b-x_a)\cdot(x_p-x_o)}{(y_b-y_a)}+y_p

3D térben

Merőleges vonalak

A térben két egyenes merőleges egymásra, ha párhuzamosak másik két, ugyanabban a síkban lévő, egymásra merőleges egyenessel. Két, egy síkban fekvő egyenest merőlegesnek (vagy egymásra merőlegesnek) nevezünk, ha négy derékszöget alkotnak.

Egy egyenes merőlegessége egy síkra

Definíció : Egy egyenest akkor nevezünk merőlegesnek egy síkra, ha merőleges az ebben a síkban fekvő összes egyenesre.

Jele : Ha egy egyenes merőleges egy sík két metsző egyenesére, akkor merőleges erre a síkra.

A két párhuzamos egyenes közül az egyikre merőleges sík a másikra is merőleges. A tér bármely pontján áthalad egy adott síkra merőleges egyenes, ráadásul csak egy.

Merőleges síkok

Két síkot merőlegesnek mondunk, ha a köztük lévő kétszög 90°.

Ha egy sík egy másik síkra merőleges egyenesen megy át, akkor ezek a síkok merőlegesek.
Ha két merőleges sík egyikéhez tartozó pontból merőlegest húzunk a másik síkra, akkor ez a merőleges teljesen az első síkban van.
Ha két merőleges sík közül az egyikben merőlegest rajzolunk a metszésvonalukra, akkor ez a merőleges merőleges lesz a második síkra.
Két egymást metsző síkra merőleges sík merőleges a metszésvonalukra [3] .

Többdimenziós terekben

Síkok merőlegessége 4 dimenziós térben

A négydimenziós térben lévő síkok merőlegességének két jelentése van: a síkok lehetnek 3 dimenziós értelemben merőlegesek, ha egy egyenesben metszik egymást (és ezért ugyanabban a hipersíkban fekszenek ), és a köztük lévő kétszög 90°.

A síkok 4 dimenziós értelemben merőlegesek is lehetnek, ha egy pontban metszik egymást (és ezért nem ugyanabban a hipersíkban fekszenek), és ezeken a síkon a metszéspontjukon keresztül (mindegyik egyenes a saját síkjában) húzott bármely 2 egyenes merőleges.

A 4-dimenziós térben pontosan 2 egymásra 4-dimenziós értelemben merőleges sík rajzolható át egy adott ponton (tehát a 4-dimenziós euklideszi tér két sík derékszögű szorzataként ábrázolható ). Ha a kétféle merőlegességet kombináljuk, akkor ezen a ponton keresztül 6 egymásra merőleges (a fent említett két érték bármelyikében merőleges) sík rajzolható.

Hat egymásra merőleges sík létezése a következő példával magyarázható. Legyen adott az x yzt derékszögű koordinátarendszer . Minden koordinátaegyenes párhoz van egy sík, amely tartalmazza ezt a két egyenest. Az ilyen párok száma : xy , xz , xt , yz , yt , zt , és 6 síknak felelnek meg. Ezen síkok közül az azonos nevű tengelyt tartalmazó síkok 3 dimenziós értelemben merőlegesek, és egy egyenesben metszik egymást (például xy és xz , yz és zt ), illetve azok, amelyek nem tartalmazzák ugyanennek a tengelynek a tengelyét. A név négydimenziós értelemben merőleges, és pontban metszi egymást (például xy és zt , yz és xt ). $\tbinom{4}{2}=6$

Egy egyenes és egy hipersík merőlegessége

Legyen adott egy n-dimenziós euklideszi tér (n>2) és a hozzá tartozó vektortér , és a térhez tartozik az l egyenes a vezetővektorterrel és a hipersík a vezetővektorterrel (ahol , ) . $\mathbb {R} ^{n}$ $W^n$ $L^1$ $\Pi_{k}$ $L^{k}$ $L_1\W^n részhalmaz$ $L^k \W^n részhalmaz,\ k <n$ $\mathbb {R} ^{n}$

Az l egyenest a hipersíkra merőlegesnek nevezzük, ha az altér merőleges az altérre , azaz. $\Pi_{k}$ $L_{1}$ $L^{k}$ $(\forall \vec a \in L_1)\ (\forall \vec b \in L_k)\ \vec a \vec b=0$

Változatok és általánosítások

Az inverzió elméletében bevezetik: egy kört vagy egy egyenest, amely merőleges a körre . $\Gamma$
A körök és az inverzió elméletében két, derékszögben metsző kört merőlegesnek ( merőlegesnek ) mondunk . A körök akkor tekinthetők merőlegesnek , ha egymással derékszöget zárnak be. Általában a görbék közötti szög a metszéspontjukban megrajzolt érintőik közötti szög.
Az inverzióelméletben egy egyenes merőleges egy körre , ha átmegy a kör középpontján. $\Gamma$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Idegen szavak szótára. - M .: " Orosz nyelv ", 1989. - 624 p. ISBN 5-200-00408-8
↑ A. P. Kiselev . Elemi geometria / szerkesztette N. A. Glagolev . – 1938.
↑ Alexandrov A.D. , Werner A.L., Ryzhik V.I. Sztereometria. Geometria a térben . - Visaginas: Alfa, 1998. - 46. o . — 576 p. - (Diákkönyvtár). — ISBN 9986582539 .