A sorozatok konvergenciájának szükséges feltétele

Egy sorozat konvergenciájának szükséges feltétele ( Egy sorozat konvergenciájának szükséges kritériuma ):

Ahhoz, hogy a sorozat konvergáljon , a sorozatnak végtelenül kicsinek kell lennie . $\sum a_{k}$ $(a_{k})$

Bizonyítás

Konvergáljon az eredeti sorozat (a részösszegek sorozatának véges határa van). Feltétel szerint a részösszegek sorozatainak és közös véges határa van , de , de azért, mert ez megegyezik a végtelen kicsinységgel . $(s_{k})$ $(s_{k+1})$ $s$ $|a_{k+1}|=|\,s_{k+1}-\,s_{k}|$ $|a_{k+1}|\rightarrow 0$ $(a_{k})$

Megjegyzés

Ez a tulajdonság csak szükséges, de nem elégséges , vagyis abból, hogy ebből nem következik, hogy a sorozatok konvergálnak. $(a_{k})\jobbra 0$

Így a felharmonikus sorozat divergál, bár a sorozatok konvergenciájához szükséges feltétel teljesül. $1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+...+{\frac {1}{n}}+...$

Irodalom

Bogdanov Yu. S. - Előadások a matematikai elemzésről - 2. rész - Minszk: BSU Kiadó - 1978.
Fikhtengol'ts G. M. A differenciál- és integrálszámítás menete. - Szerk. 6. - M. : Nauka, 1966. - T. 2. - 800 p.

Sorozatok konvergenciájának jelei
Minden sorhoz	Szükséges állapot Cauchy-kritérium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Előjel-pozitív sorozatokhoz	Fő kritérium Összehasonlító jel Kummer jel Gauss jel Cauchy radikális jele Integrált funkció D'Alembert jele hatalom jele logaritmikus jel Raabe jele Bertrand jele Jamet jele Schlömilch jele Ermakov jele Lobacsevszkij jele teleszkópos jel Sapogov jele
Váltakozó sorozatokhoz	Leibniz jel
Az űrlap soraihoz $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Ábel jel Dedekind jele Dubois-Reymond jel Dirichlet jel
Funkcionális sorozatokhoz	Weierstrass jel
Fourier sorozathoz	Dini jel De la Vallée Poussin jele Jordan jel Jung jele Salem jele Lebesgue jel Lebesgue-Gergen jel Martsinkevics jele