Konstruktív módszerek a valós szám meghatározására

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. augusztus 22-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A valós szám definíciójának konstruktív megközelítésével a valós számok a racionális számok alapján épülnek fel , amelyeket adottnak tekintünk. Mindhárom alábbi módszerben a racionális számokat veszik alapul, és új objektumokat hoznak létre, amelyeket irracionális számoknak neveznek . A racionális számok halmazának kitöltése eredményeként valós számok halmazát kapjuk.

Cantor elmélete az alapvető sorozatokról

A valós számok meghatározásának alább leírt megközelítését G. Kantor javasolta egy 1872-ben megjelent cikkében [1] . Hasonló gondolatokat fogalmazott meg E. Heine és S. Mere .

A Cauchy-féle konvergenciakritérium és annak használata Cantor által

Cantor elméletének kiindulópontja a következő gondolat volt [2] . Bármely valós szám megadható racionális számok sorozatával

a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},\ldots

növekvő pontossággal reprezentálja ennek a valós számnak a közelítését, vagyis ehhez a számhoz konvergál .

Értsük most a valós számot racionális számok konvergens sorozata által meghatározott objektumként . $\alpha$ $a_{1},a_{2},\ldots$

Itt azonban egy ördögi kör leselkedik . A konvergens sorozat definíciójában egy valós szám szerepel, ami a határa - ez a fogalom, amelyet konvergens sorozatokkal szeretnénk definiálni:

$\{a_{n}\}$ konvergál létezik , olyan, hogy $\Hosszú bal jobb nyíl$ $\alpha \in \mathbb{R}$ $\lim _{{n\to \infty }}a_{n}=\alpha$

Annak érdekében, hogy ne kerüljön ördögi körbe, szükség van valamilyen jelre, amely lehetővé teszi egy sorozat konvergenciájának feltételének kifejezését a tagjaiban, vagyis anélkül, hogy a sorozat határának jelentéséről beszélnénk. .

Kántor idejében már találtak ilyen kritériumot. Általános formában O. Cauchy francia matematikus állapította meg [3] . A Cauchy-kritérium szerint egy sorozat akkor és csak akkor konvergál $a_{1},a_{2},\ldots$

\forall \varepsilon >0\;\exists N(\varepsilon )\;\forall n>N(\varepsilon )\;\forall m>0\;|a_{{n+m}}-a_{n}| <\varepsilon

Képletesen szólva, egy sorozat konvergenciájának feltétele a Cauchy-kritériumban, hogy tagjai egy bizonyos számtól kezdve tetszőlegesen közel fekszenek egymáshoz.

Természetesen Cauchy nem tudott szigorúan alátámasztani ezt a kritériumot a valós szám elméletének hiánya miatt.

Kantor bizonyos értelemben mindent a feje tetejére állított. Felhívta a figyelmet arra, hogy ez a jel önmagában is jellemzi egy konvergens sorozat belső tulajdonságait : úgy fogalmazható meg és igazolható, hogy nem beszélünk magáról a valós számról, ami ennek a sorozatnak a határa. Ezért ez a funkció felhasználható a sorozatok azon osztályának kiemelésére, amelyek alapján a valós számok meghatározhatók .

Így a fő lépés, amelyet Cantor megtesz a valós szám elméletének megalkotása során, az, hogy a racionális számok bármely sorozatát, amely kielégíti a Cauchy-feltételt, valamilyen (racionális vagy irracionális) valós szám meghatározásának tekinti. $a_{1},a_{2},\ldots$

Amikor általánosított numerikus mennyiségről beszélek, ez elsősorban abban az esetben fordul elő, ha racionális számok végtelen sorozatát javasoljuk.

a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},\ldots

valamilyen törvény által adott, és az a tulajdonsága, hogy a különbség végtelenül kicsi lesz , akármekkora pozitív egész szám , vagy más szóval, hogy egy tetszőlegesen választott (pozitív racionális) egész számhoz létezik olyan, hogy , és bármely pozitív egész szám. $a_{{n+m}}-a_{n}$ $n$ $m$ $\varepsilon$ $n$ $|a_{{n+m}}-a_{n}|<\varepszilon$ $m$ G. Kantor [1]

A modern terminológiában a Cauchy-feltételt kielégítő sorozatot Cauchy-szekvenciának vagy alapszekvenciának nevezik .

A valós számok elméletének felépítése Cantor szerint

Két alapvető sorozat , és ugyanazt a valós számot definiálhatja. Ez a feltételek mellett történik $\{a_{n}\}$ $\{b_{n}\}$

\forall \varepsilon >0\;\exists N(\varepsilon )\;\forall n>N(\varepsilon )\;|a_{n}-b_{n}|<\varepsilon

Így a racionális számok összes alapsorozatának halmazán egy ekvivalencia-reláció jön létre, és az általános elvnek megfelelően az összes alapvető sorozatot ekvivalenciaosztályokra osztják . Ennek a partíciónak az a jelentése, hogy az azonos osztályból származó sorozatok ugyanazt a valós számot határozzák meg, míg a különböző osztályokból származó sorozatok különbözőeket. Így egy az egyhez megfelelés van a valós számok és a racionális számok alapvető sorozatainak osztályai között.

Most megfogalmazhatjuk Cantor valós számelméletének fő definícióját.

Meghatározás. A valós szám a racionális számok alapvető sorozatainak ekvivalenciaosztálya.

A racionális számok alapsorozata által meghatározott valós számot (ekvivalenciaosztályt) jelöli . $\{a_{n}\}$ $[a_{n}]$

A valós számokkal végzett aritmetikai műveletek a következők. Ha két valós szám és adott , amelyet alapvető sorozatok határoznak meg és , Így $\alpha$ $\beta$ $\{a_{n}\}$ $\{b_{n}\}$

$\alpha =[a_{n}]$ és $\beta =[b_{n}]$

akkor az összeg a sorozat által meghatározott valós szám , vagyis az ezt a sorozatot tartalmazó ekvivalenciaosztály: $\alpha$ $\beta$ $\{a_{n}+b_{n}\}$

\alpha +\beta {\overset {{\text{def}}}{=}}[a_{n}+b_{n}]

Könnyű ellenőrizni, hogy ez a definíció helyes-e, vagyis nem függ az osztályból és az osztályból kiválasztott specifikus sorozatok megválasztásától . $\{a_{n}\}$ $\alpha$ $\{b_{n}\}$ $\beta$

A valós számok különbségét, szorzatát és hányadosát hasonlóan definiáljuk.

Egy valós szám definíció szerint nagyobb egy számnál , vagyis ha $\alpha =[a_{n}]$ $\beta =[b_{n}]$ $\alpha >\beta$

\exists \varepsilon >0\;\exists N\;\forall n>N\;a_{n}\geqslant b_{n}+\varepsilon

Ez a meghatározás nem függ az osztályból és az osztályból származó sorozatok kiválasztásától . $\{a_{n}\}$ $\alpha$ $\{b_{n}\}$ $\beta$

A racionális számok rendszere egy további megállapodás révén kerül be a valós számok rendszerébe, amely szerint a sorozat

a,a,\ldots a,\ldots

amelynek minden tagja egyenlő ugyanazzal a racionális számmal , magát ezt a számot határozza meg, így . Más szavakkal, minden stacionárius sorozatot tartalmazó osztály egy számmal van azonosítva . Így a konstruált valós számok halmaza a racionális számok halmazának kiterjesztése. $a$ $[a]{\overset {{\text{def}}}{=}}a$ $[a]$ $a,a,\ldots a,\ldots$ $a$

Ezzel befejeződik a valós számok halmazának felépítése. Továbbá a bevezetett definíciók alapján igazolhatóak a valós számok ismert tulajdonságai.

A valós számok halmazának teljessége

A definícióból következik, hogy a racionális számok minden alapsorozata valamilyen valós számhoz konvergál. Ez az elv a valós szám definíciójának alapja. Neki köszönhetően a racionális számok halmaza új elemekkel - irracionális számokkal - a racionális számok alapvető sorozatainak határaival bővült, amelyeknek a racionális számok régi halmazában nem volt határ.

Felmerül a természetes kérdés, hogy lehetséges-e ismét végrehajtani egy hasonló feltöltési eljárást , már a megszerkesztett valós számok halmazára: a valós számokból alapvető sorozatokat képezni, és a valós számok halmazát feltölteni azoknak a határértékeivel, amelyeknek nem volt. előtti határt.

Kiderült, hogy ezt nem lehet megtenni. A valós számok minden alapvető sorozatának van határa a valós számok halmazában. Más szóval, a valós számok halmaza tartalmazza elemeinek összes alapvető sorozatának határait. A valós számok halmazának ezt a tulajdonságát teljességnek nevezzük . És maga a valós számok bármely alapvető sorozatának konvergenciájára vonatkozó kijelentés a Cauchy-féle konvergenciakritérium fő tartalma , amely Cantor elméletének központi tétele.

A Cantor által az irracionális számok "létrehozására" használt racionális számkészlet kiegészítésének gondolatát később F. Hausdorff használta a híres metrikus térkitöltési tétel bizonyításakor .

A végtelen tizedesjegyek elmélete

A végtelen tizedes törtek elmélete K. Weierstrassig nyúlik vissza . 1863 körül kidolgozta a valós számok elméletét, amelyet 1872-ben tartott előadásainak jegyzeteiből publikált [4] . Weierstrass elméletének eredeti változata azonban némileg eltér a matematikai elemzés modern tankönyveiben bemutatott végtelen tizedes törtek elméletétől (lásd alább a Történelmi kommentárt ).

Racionális számok és tizedesjegyek

A Cantor-féle elmélethez hasonlóan feltételezzük, hogy a racionális számok halmaza adott . Ismeretes, hogy bármely racionális szám felbontható tizedes törtre , amit a következő formában írunk fel: $\mathbb {Q}$ $p/q\in {\mathbb {Q}}$

p/q\sim \pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots

Ha a bontási folyamat véges számú lépés után leáll, a tizedes tört véges lesz , ellenkező esetben pedig végtelen lesz .

Bármely tizedes tört, legyen véges vagy végtelen, az alak formális sorozatának tekinthető

\pm \sum _{{k}}a_{k}\cdot 10^{{-k}}

ahol az index vagy a természetes sorozat kezdeti szegmensén, vagy a teljes természetes sorozaton fut keresztül . Megmutatható, hogy a racionális szám tizedes törtre való kiterjesztésével kapott sorozat mindig konvergál, és összege megegyezik az adott racionális számmal. $k$ $0,1,\ldots ,n$ $0,1,2,\lpont$ $p/q$

A további bemutatás szempontjából fontos az a tény, hogy ha egy racionális szám felbontásakor végtelen tizedes törtet kapunk, akkor ez a tört mindig periodikus lesz .

A racionális számok és a tizedes törtek között tehát megfeleltetés van, amelyben minden racionális szám egyetlen tizedes törtnek felel meg, de egyes törteknél (nevezetesen a végtelen nem periódusosoknál) nincs megfelelő racionális szám. Természetes azt feltételezni, hogy ezek a törtek megfelelnek bizonyos hipotetikus számoknak, amelyek nem racionálisak. Ha figyelembe vesszük ezeket a hipotetikus számokat, amelyeket irracionálisnak fogunk nevezni , úgy tűnik, hogy kitöltjük az összes tizedes tört összességében lévő hiányosságokat.

Így a valós szám elmélete alapján feltesszük azt a feltételezést (gondolatot), hogy bármely tizedes tört valamely racionális vagy irracionális valós szám kiterjesztése : $\alpha$

\alpha \sim \pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots

Ugyanakkor ezt a bővítést ugyanúgy értelmezzük, mint a racionális számok esetében, vagyis úgy tekintjük, hogy a valós szám egy sorozat összege $\alpha$

\pm \sum _{{k}}a_{k}\cdot 10^{{-k}}

A végtelen tizedes törtek elméletének felépítése

Meghatározás. A valós szám egy végtelen tizedes tört, vagyis az alak kifejezése

\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots

ahol van az egyik szimbólum vagy , amelyet számjelnek neveznek, egy nem negatív egész szám, egy tizedesjegyek sorozata (vagyis a numerikus halmaz elemei ). $\délután$ $+$ $-$ $a_{0}$ $a_{1},a_{2},\ldots a_{n},\ldots$ $\{0,1,\lpont 9\}$

Ugyanakkor definíció szerint úgy tekintjük, hogy a és a törtek ugyanazt a számot, valamint ugyanazt a számot jelentik az és alak törteit . Ennek az egyezménynek a jelentése nyilvánvaló, mivel az ezekhez a törtekhez tartozó racionális számok azonosak. [5] $+0,00\lpont$ $-0,00\lpont$ $\pm a_{0},a_{1}\ldots a_{n}999\lpont$ $\pm a_{0},a_{1}\ldots (a_{n}+1)000\ldots ,\;(a_{n}\neq 9)$

Természetes, hogy azonnal egyetértünk abban, hogy a periodikus végtelen tizedes törtek jelentik a nekik megfelelő racionális számokat. Más szavakkal, a periodikus törteket racionális számokkal azonosítjuk . Ezen konvenció értelmében a racionális számok halmaza az összes valós szám halmazának részhalmaza .

Az alábbiakban a végtelen tizedes törtek elméletének felépítésének vázlata látható.

Először is meg kell határozni a sorrendet az összes végtelen tizedes tört halmazán. Ez a számok számjegyeinek szekvenciális összehasonlítása alapján történik a legmagasabbtól a legalacsonyabbig. Például adott két nem negatív szám

{\begin{mátrix}\alpha &=+a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots \\\beta &=+b_{0},b_{1}b_{ 2}\ldots b_{n}\ldots \end{mátrix}}

Legyen és legyen az első nem egybeeső karakter a decimális jelölésben és . Akkor ha , akkor definíció szerint , és ha , akkor . Két nem negatív szám összehasonlítása alapján bármely két valós szám összehasonlíthatósága meghatározható. $a_n$ $b_n$ $\alpha$ $\beta$ $a_{n}<b_{n}$ $\alpha <\beta$ $a_{n}>b_{n}$ $\alpha >\beta$

Megmutatható, hogy a bevezetett összehasonlító reláció egy lineárisan rendezett halmaz szerkezetét határozza meg a végtelen tizedes törtek halmazán . Megmutatható az is, hogy a periodikus törtek esetében a megállapított sorrendi reláció egybeesik a racionális számokra már meglévő összehasonlítási relációval. $<$

A végtelen tizedes törtek halmazára vonatkozó sorrendi összefüggés bevezetése után bebizonyítjuk a pontos felső korlát tételét, amely alapvető a valós szám elméletének felépítéséhez . Ez a tétel azt a tényt fejezi ki, hogy a valós számok rendezett gyűjteménye Dedekind szerint a folytonosság (teljesség) tulajdonsággal rendelkezik.

Most a racionális számok részhalmazán már bevezetett aritmetikai műveleteket a folytonosság által kiterjesztjük a valós számok teljes halmazára .

Nevezetesen, legyen és két valós szám. Összegük egy valós szám , amely teljesíti a következő feltételt: $\alpha$ $\beta$ $\alpha +\beta$

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} \;(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \ leqslant b'')\Jobbra (a'+b'\leqslant \alpha +\beta \leqslant a''+b'')

Kimutatható, hogy létezik olyan valós szám, amely eleget tesz ennek a feltételnek, és egyedi.

A számok szorzását is hasonlóan definiáljuk . Két pozitív valós szám szorzatát és valós számnak nevezzük, amely teljesíti a következő feltételt: $\alpha$ $\beta$ $\alpha \cdot \beta$

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} \;(a'>0)\land (b'>0)\land (a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Jobbra (a'\cdot b'\leqslant \alpha \cdot \beta \leqslant a''\cdot b'')

Mint az összeadás esetében, létezik egy szám, amely megfelel ennek a feltételnek, és egyedi. Ezek után könnyen definiálható két valós szám tetszőleges előjelű szorzata.

Igazolható, hogy a valós számok halmazán bevezetett összeadás és szorzás műveletei egybeesnek a racionális számok összeadási és szorzási műveleteivel.

Ezzel befejeződik a végtelen tizedes törtek elméletének felépítése. Továbbá a bevezetett definíciók segítségével bizonyíthatóak a valós számok aritmetikai műveletekkel kapcsolatos ismert tulajdonságai és az összehasonlító összefüggés.

Végezetül megjegyezzük, hogy egy sorozat határértékének és a valós számok sorozatának összegének meghatározásával igazolhatjuk azt az állítást, amelyet a valós szám fogalmának bevezetésekor hirdettek meg. Nevezetesen: bármely valós szám a decimális kiterjesztésének sorozatának összege. Vagyis ha

\alpha \sim \pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots

akkor

$\alpha =\pm \sum _{{k=0}}^{{\infty }}a_{k}\cdot 10^{{-k}}$

Történelmi kommentár

Ahogy fentebb megjegyeztük, maga Weierstrass egy kicsit más konstrukciót tartott [4] [6] .

A valós számok fentebb bemutatott elmélete röviden az alak formális sorozatainak elméleteként definiálható

$\pm \sum _{{k=0}}^{{\infty }}a_{k}\cdot 10^{{-k}}$

ahol egy nem negatív egész szám és tizedesjegyek $a_{0}$ $a_{k},k=1,2,\ldots$

Weierstrass ezzel szemben általánosabb formájú formális sorozatokat tartott:

$\pm \sum _{{n=0}}^{{\infty }}a_{n}\cdot 1/n$

ahol tetszőleges nemnegatív egész számok vannak . $a_{n},n=1,2,\ldots$

Nyilvánvaló, hogy egy ilyen konstrukcióban egy valós szám végtelenül sokféleképpen ábrázolható. Ezen kívül világos, hogy nem minden ilyen sorozathoz rendelhető számérték. Például egy sor

$\sum _{{n=1}}^{{\infty }}1/n$

eltér.

Ezért Weierstrass egyrészt csak konvergens sorozatokat vesz figyelembe - az ilyen sorozatokat korlátos részösszegű sorozatokként határozza meg (lásd a nemnegatív tagokat tartalmazó sorozatok konvergenciájának kritériumát), másodszor pedig egy ekvivalencia-relációt vezet be ezen a halmazon. A valós szám ekvivalens konvergens sorozatok osztálya.

Természetesen kényelmesebb a valós számok tizedes törtekkel történő meghatározásának módszere, azaz nem minden aliquot törtben (vagyis a forma törtrészében ), hanem csak tíz hatványokban történő kiterjesztéssel , mivel ez biztosítja a tört egyediségét. valós számot ábrázolva sorozat formájában. Ha azonban visszatérünk az általános Weierstrass-módszerhez, akkor nyilvánvalóvá válik a hasonlat a Weierstrass-megközelítés és a Cantor-féle megközelítés között. Cantor a valós számot racionális számok konvergens sorozatainak ekvivalenciaosztályaként határozta meg, és a Cauchy-kritériumot használta egy sorozat konvergenciájának meghatározására. Weierstrass ugyanezt tette, csak a konvergens sorozatok helyett konvergens sorozatokat vett figyelembe, a sorozatok konvergenciájának Cauchy-kritériuma helyett pedig a sorozat konvergenciájának kritériumát használta nemnegatív tagokkal (egyébként az ekvivalens a monoton sorozat határára vonatkozó tétel Weierstrassról kapta a nevét). $1/n$ $1/10^{k}$

Szakaszelmélet a racionális számok tartományában

Dedekind elmélete a legegyszerűbb és történelmileg az első szigorú elmélet a valós számokról. Cantor és Weierstrass analitikus megközelítéseitől eltérően Dedekind elmélete geometriai megfontolásokon alapul; ezért a láthatósága.

Dedekind elméletének értéke abban rejlik, hogy a valós számok megalkotása mellett elsőként tárta fel a kontinuitás fogalmának matematikai lényegét - a matematikai elemzés alapját képező, évszázadok óta használt, bizonyítékokra hivatkozó fogalom. vagy geometriai jellegű megfontolások.

Dedekind 1858-ban felépített elméletét 1872-ben publikálták egy kis füzetben , „Continuity and Irrational Numbers” ( németül „Stigkeit und irrationale Zahlen” ) címmel. A mai napig ez a könyv az egyik legjobb a téma bemutatásának átláthatósága és hozzáférhetősége szempontjából. Az alábbiakban ebben a cikkben elsősorban magának Dedekindnek a gondolatmenetét fogjuk követni.

A kérdés kijelentése

A Dedekind által felvetett probléma megértéséhez általánosságban írjuk le a matematikai elemzés akkori állapotát.

A többnyire szigorú módszerekkel lebonyolított differenciálszámítás menetének bemutatásakor néhány állítás bizonyításához mégis a geometriai egyértelműséghez kellett folyamodni.

Például egy monoton sorozat határára vonatkozó tétel bizonyítására egy egyenes vonalat húztunk, amelyen pontokat jelöltünk, amelyek a sorozat tagjait reprezentálják . Továbbá a következő típusú kifejezések hangzottak el: „nyilvánvalóan” , van egy pont , amelyhez a pontok korlátlanul közelednek, vagy „kell” ilyen pont, mivel a számegyenest „folyamatosan pontok töltik ki” . Továbbá, mivel valamilyen racionális vagy irracionális szám megfelel az egyenes bármely pontjának, akkor a pontnak megfelelő számra : . $A_{n}$ $a_n$ $A$ $A_{n}$ $A$ $a$ $\lim a_{n}=a$

Gyakran mondják, hogy a differenciálszámítás folytonos mennyiségekkel foglalkozik, de ez a folytonosság sehol nincs megadva, és a differenciálszámítás legszigorúbb kifejtésében is a bizonyítások nem a folytonosságon nyugszanak, hanem többé-kevésbé tudatosan apellálnak arra, hogy geometriai ábrázolásokra vagy a geometriából eredő reprezentációkra, vagy végül olyan állításokra alapozzák a bizonyítást, amelyeket önmagában soha nem bizonyítottak tisztán aritmetikai eszközökkel.R. Dedekind: Folytonosság és irracionális számok

A tisztán aritmetikai (számokra vonatkozó) javaslat bizonyítása érdekében geometriai megfontolások bevonásának szükségessége bizonyos elégedetlenség érzését váltja ki, és „az aritmetika indokolásának hiányát” jelzi , vagyis a szigorú és teljes elmélet hiányát. szám. De még ha el is ismerjük a geometriai érvelés lehetőségét, felvetődik egy másik kérdés: magának az egyenesnek a pontjaihoz viszonyított folytonosságról . És mint kiderült, az egyenes folytonosságának fogalma itt híján van a logikai definíciónak.

Ezen elemzés alapján Dedekind a következő két feladatot tűzte ki:

1. Keresse meg az egyenes fő tulajdonságának logikus megfogalmazását, amelyet az "egyenesek folyamatos kitöltése" vizuális ábrázolásaink tartalmaznak. 2. Szerkesszünk meg egy szigorú, tisztán aritmetikai számelméletet úgy, hogy a számrendszer azon tulajdonságai, amelyek igazolására korábban vizuális geometriai ábrázolásokhoz folyamodtak, most a szám általános definíciójából következzenek

Racionális számok összehasonlítása egy egyenes pontjaival

A Dedekind a racionális számok azon halmazából indul ki, amelyek tulajdonságait ismertnek feltételezzük. Összehasonlítja a racionális számok rendszerét egy egyenes ponthalmazával, hogy feltárja az utóbbi tulajdonságait. $\mathbb {Q}$ ${\mathbb {L}}$

A racionális számok egy gyűjteményt alkotnak, amelyen adottak az összeadás és szorzás számtani műveletei, amelyek bizonyos tulajdonságokkal rendelkeznek. De a további bemutatás szempontjából rendkívül fontos, hogy a gyűjtemény lineárisan rendezett legyen : bármely két különböző szám esetében, és azt mondhatjuk, hogy az egyik kisebb, mint a másik. $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$ $a$ $b$

Az egyenes pontjainak halmaza is lineárisan rendezett halmaz. A két pont és itt közötti sorrendi viszony abban nyilvánul meg, hogy az egyik pont balra fekszik a másiktól . ${\mathbb {L}}$ $p$ $q$ $p$ $q$

A racionális számok és az egyenes pontjai közötti hasonlóság úgy alakítható ki, hogy megfeleltetést hozunk létre közöttük. Mint ismeretes, ehhez egy egyenes kiindulópontot választanak ki , egy bizonyos hosszegységet a szakaszok mérésére, valamint egy pozitív irányt . Mindegyikhez megépítheti a megfelelő hosszúságot, és a kezdőponttól jobbra vagy balra halasztva, attól függően, hogy a szám pozitív-e vagy sem, egy racionális számnak megfelelő pontot kapunk . $a\in {\mathbb {Q}}$ $a$ $p\in {\mathbb {L}}$ $a$

Így minden racionális szám hozzárendelhető egy bizonyos ponthoz . Ebben az esetben a különböző számok különböző pontoknak felelnek meg. Sőt, ha a szám kisebb, mint , akkor a megfelelő pont balra fog feküdni a megfelelő ponttól . Más szóval, a megállapított arány megőrzi a rendet. $a\in {\mathbb {Q}}$ $p\in {\mathbb {L}}$ $a$ $b$ $p$ $a$ $q$ $b$

Egyenes vonal folytonossága

Ugyanakkor kiderül, hogy az egyenesen végtelenül sok olyan pont van, amely nem felel meg egyetlen racionális számnak sem. Ez az összemérhetetlen szegmensek létezéséből következik , amit a régiek is ismertek (például az átló és a négyzet oldalának összemérhetetlensége, vagyis az irracionalitás ). ${\mathbb {L}}$ ${\sqrt {2}}$

Képletesen szólva, az egyenes sűrűbben van kitöltve pontokkal, mint a racionális számok halmaza számokkal. Azt látjuk, hogy a racionális számok halmazában vannak olyan üregek , amelyek az egyenes azon pontjainak felelnek meg, amelyekhez nem volt megfelelő racionális szám, míg az egyenesről azt mondjuk, hogy "folyamatosan meg van töltve pontokkal" . ${\mathbb {L}}$ $\mathbb {Q}$

A racionális számok tartományának korábbi összehasonlítása az egyenessel a hibák (Lückenhaftigkeit), a hiányosságok vagy a folytonossági hiányosságok felfedezéséhez vezetett, míg az egyeneshez a teljességet, a hiányosságok hiányát, a folytonosságot tulajdonítjuk.R. Dedekind: Folytonosság és irracionális számok

Pontosan mi ez a folytonosság? Hogyan fejezhető ki az egyenesnek ez a tulajdonsága matematikailag ?

Dedekind a következő észrevételt teszi. Ha van az egyenesnek egy bizonyos pontja, akkor az egyenes minden pontja két osztályba sorolható: a bal oldalon találhatók és a jobb oldalon találhatók ; maga a pont tetszőlegesen hozzárendelhető akár az első, akár a második osztályhoz. Az egyenes pontjainál azonban az ellenkező elv érvényesül: $p$ $p$ $p$ $p$

Ha egy egyenes pontjait két osztályra osztjuk úgy, hogy az első osztály minden pontja a második osztály minden pontjától balra esik, akkor csak egy pont van, amely az egyenes két osztályra osztását eredményezi, ez a vonal két részre bontása.R. Dedekind: Folytonosság és irracionális számok

Geometriailag ez a tétel nyilvánvalónak tűnik, de nem tudjuk bizonyítani. Dedekind rámutat, hogy a valóságban ez az elv nem más, mint egy posztulátum, amely kifejezi az egyenes folytonossági tulajdonságának lényegét. Elfogadásával egy egyenesnek tulajdonítjuk azt a tulajdonságot, amelyet folytonosságnak nevezünk.

Az egyenes ezen tulajdonságának elfogadása nem más, mint egy axióma, amelynek folytonosságát egyedül mi ismerjük fel egyenesnek, gondolatban a folytonosságot egyenesbe fektetve.R. Dedekind: Folytonosság és irracionális számok

Magyarázzuk meg a Dedekind-elv tartalmát és geometriai értelmezését. Képzelje el, hogy a vonal minden pontja két színben van színezve - zöld és piros, így minden zöld pont minden piros ponttól balra van.

Geometriailag nyilvánvaló , hogy a vonalon kell lennie egy ilyen pontnak, ahol a színek érintkeznek. Ez a pont az, ami „két osztályra osztja az egyenest”: minden zöld pont tőle balra, a piros pont pedig jobbra fekszik. Ez a Dedekind elve.

Ugyanakkor magának a „színek csomópontjának” is bizonyos színűnek kell lennie, mivel feltétel szerint a vonal minden pontja kivétel nélkül festett. Ennek a pontnak vagy zöldnek kell lennie, ebben az esetben az utolsó zöld pontnak, vagy pirosnak kell lennie, mivel ez az első piros pont. Amint jól látható, ez a két lehetőség kizárja egymást: az első esetben nincs első piros pont - a kereszteződéshez tetszőlegesen közel vannak piros pontok, de az első nincs köztük, a második esetben , hasonló okok miatt nincs utolsó zöld pont.

Most figyeljünk arra, hogy milyen elméletileg megtörténhet logikai lehetőségeket zártunk ki, a geometriai tisztaságra apellálva. Könnyen belátható, hogy csak kettő van: egyrészt megtörténhet, hogy az utolsó zöld és az első piros pont egyszerre létezik; másodszor előfordulhat, hogy nincs se az utolsó zöld, se az első piros pont.

Az első helyzet állítólag egy ugrás . Ilyen kép egy olyan egyenes esetében lehetséges, amelyből a közbenső pontok teljes intervallumát kihagytuk.

A rés kifejezést a második helyzet leírására használják . Egy ilyen kép létrejöhet olyan egyenesre, amelyről egy egész szakaszt eltávolítottak, beleértve a végeit is - különösen, ha egyetlen pontot távolítottak el.

Így egy vonal folytonossága azt jelenti, hogy nincsenek benne ugrások vagy hézagok – röviden: nincsenek üregek.

Figyelemre méltó, hogy a folytonosság fenti definíciója minden rendezett elemhalmazra vonatkozik.

Dedekind folytonosság

Adjuk meg most a Dedekind folytonosság egy tetszőleges lineárisan rendezett halmazra alkalmazható pontos megfogalmazását.

Meghatározás. Legyen lineárisan rendezett halmaz. Az és rendezett halmazpárt szakasznak nevezzük ben , magukat a halmazokat pedig az adott szakasz alsó és felső osztályának nevezzük , ha a következő feltételek teljesülnek: ${\mathsf {L}}$ $A$ $A'$ ${\mathsf {L}}$ $A$ $A'$

1. Az osztályok nem üresek:

$A\neq \varnothing ,A'\neq \varnothing$

2. Minden elem legalább egy osztályhoz tartozik

{\mathsf {L}}

$A\cup A'={\mathsf {L}}$

3. Az alsó osztály minden eleme kisebb, mint a felső osztály bármely eleme :

$\forall a\in A,\forall a'\in A'\;(a<a')$

A szakaszt jelöljük . $A|A'$

Meghatározás. Egy lineárisan rendezett halmazt folytonosnak nevezünk (Dedekind szerint), ha bármilyen szakasza is van, vagy a szakasz alsó osztályában van a legnagyobb elem, a felsőben pedig nincs legkisebb; vagy a felső osztályban van a legkisebb elem, az alsóban pedig nincs a legnagyobb (az ilyen szakaszokat Dedekindnek hívják ). ${\mathsf {L}}$

Példaként tekintsük a racionális számok halmazát. Könnyen belátható, hogy nem lehetnek benne ugrások: ha az alsó osztály maximális eleme, a felső osztály minimum eleme, akkor a középen lévő szám nem tartozhat sem az alsó, sem a felső osztály, ami ellentmond egy szakasz meghatározásának. $a$ $b$ $(a+b)/2$ $a$ $b$

Ugyanakkor hiányosságok vannak a racionális számok halmazában - éppen azokon a helyeken, ahol az irracionális számoknak lennie kell. Vegyük például a halmazok által meghatározott szakaszt $A|A'$

$A=\{x\in \mathbb {Q} :x\leq 0\lor (x>0\land x^{2}<2)\},A'=\{x\in \mathbb { Q} :x>0\land x^{2}>2\}$

Könnyen belátható, hogy ez valóban egy szakasz, azonban az alsó osztályban nincs maximum elem, a felsőben pedig nincs minimum elem. Vagyis nálunk van egy szakadék.

Irracionális számok felépítése

Így a racionális számok halmaza az egyenestől eltérően nem folytonos: vannak benne hézagok. A fentiek fényében világossá válik, hogy egy olyan valós számhalmaz megalkotásához, amelynek elemei egy egyenes pontjaihoz kapcsolódnak, ki kell tölteni az összes üres helyet a racionális számok halmazában. számok.

A tér típusú racionalitások halmazának bármely szakaszához hozzáadunk a halmazhoz egy új elemet (egy irracionális számot) , amely definíció szerint nagyobb az alsó osztály bármely számánál, és kisebb, mint a felső osztály bármely számánál. . Így kitöltjük a szakaszosztályok közötti üres helyet. Azt mondjuk, hogy a vágás határozza meg az irracionális számot , vagy pedig azt, hogy az irracionális szám hozza létre a vágást . $A|A'$ $\mathbb {Q}$ $\alpha$ $a$ $a'$ $A|A'$ $\alpha$ $\alpha$ $A|A'$

Az összes lehetséges esetet kombinálva azt mondhatjuk, hogy a racionális számok területének bármely vágása meghatároz valamilyen racionális vagy irracionális számot, amelyet ez a vágás eredményez.

Meghatározás. Irracionális számnak nevezzük a racionális számok halmazának bármely szakaszát, amelynek alsó osztályában nincs legnagyobb elem, a felső osztályban pedig nincs legkisebb.

Meghatározás. A valós számok halmaza a racionális és irracionális számok halmazának uniója. A valós számok halmazának minden elemét valós számnak nevezzük .

A valós számok halmaza, amint jól látható, a bevezetett sorrendi összefüggés szerint lineárisan rendezett. A következő tény alapvető fontosságú.

Tétel. A valós számok halmaza Dedekind folytonos.

Ez a mondat nem következik automatikusan az irracionális számok definíciójából, amely pótolta a racionális számok halmazának hiányosságait. Bizonyítékot igényel.

Az összeadás és szorzás műveleteit a valós számok halmazán a folytonosság alapján vezetjük be (akárcsak a végtelen tizedes törtek elméletében). Ugyanis két valós szám összegét valós számnak nevezzük , amely teljesíti a következő feltételt: $\alpha$ $\beta$ $\gamma$

$\forall a,a',b,b'\;(a\leqslant \alpha \leqslant a')\land (b\leqslant \beta \leqslant b')\Rightarrow (a+b\leqslant \gamma \leqslant a'+b')$

A valós számok folytonosságából következik, hogy ilyen valós szám létezik és egyedi. Sőt, ha és racionális számok, akkor ez a definíció egybeesik két racionális szám összegének szokásos definíciójával. Hasonló módon vezetjük be a szorzást, és bizonyítjuk a műveletek tulajdonságait és a sorrendi összefüggéseket. $\gamma$ $\alpha$ $\beta$

Jegyzetek

↑ 1 2 Kantor G. Halmazelméleti munkák / szerk. A. N. Kolmogorov, F. A. Medvegyev, A. P. Juskevics,. - M. : NAUKA, 1985. - S. 9-10. - (A tudomány klasszikusai).
↑ Arnold I. V. Elméleti aritmetika. - S. 277.
↑ Valójában Cauchy felállított egy kritériumot egy sorozat konvergenciájára, amely szintén az ő nevét viseli, de e két kritérium mindegyikéből könnyen következik egy másik.
↑ 1 2 Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Utak és labirintusok. Esszék a matematika történetéről. — S. 287-289.
↑ Néha, annak érdekében, hogy a valós számok halmaza és a végtelen tizedes törtek halmaza közötti megfelelés egy az egyhez legyen, nem az összes, hanem csak megengedett végtelen tizedes törtnek tekintik, így értve mindazokat, amelyek nem rendelkeznek egy kilencesből álló periódus, amely között a tört nem szerepel $-0,00\lpont$
↑ Rybnikov K. A. A matematika története. - T. 2. - S. 197.

Irodalom

Hivatkozások

Arnold V. I. Elméleti aritmetika. - M .: UCPHEDGIZ, 1938.

Bourbaki N. Esszék a matematika történetéről / ford. franciából I. G. Bashmakova, szerk. K. A. Rybnikova. - M . : Külföldi Irodalmi Kiadó, 1963.

Hilbert D. A geometria alapjai = Grundlagen der Geometrie / per. az I. S. Gradshtein 7. német kiadásából, szerk. P. K. Rasevszkij. - M. - L .: Állami Műszaki és Elméleti Irodalmi Kiadó, 1948.

Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Utak és labirintusok. Esszék a matematika történetéről. — Transz. franciából - M . : MIR, 1986. - 432 p.

Dedekind R. Folytonosság és irracionális számok = Stetigkeit und irrationale Zahlen. — 4. javított kiadás. - Odessza: Mathesis, 1923. - 44 p.

Zorich V. A. Matematikai elemzés. I. rész - 4. kiadás, Rev. - M . : MTSNMO, 2002. - XVI + 664 p. — ISBN 5-94057-056-9 .

Iljin V. A., Poznak E. G. A matematikai analízis alapjai: 2 óra alatt I. rész - 7. kiadás - M. : FIZMATLIT, 2005. - 648 p. - ISBN 5-9221-0536-1 .

A matematika története az ókortól a 19. század elejéig. Három kötetben / szerk. Juskevics. - M. : NAUKA, 1970. - T. 1.

Kantor G. Halmazelméleti munkák / szerk. A. N. Kolmogorov, F. A. Medvegyev, A. P. Juskevics,. - M . : TUDOMÁNY, 1985. - (A tudomány klasszikusai).

Kudrjavcev L. D. Matematikai elemzés tanfolyam. - 5. kiadás - M . : "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 p. - ISBN 5-7107-4119-1 .

Reed K. Gilbert / ford. angolról. I. V. Dolgacsev, szerk. R. V. Gamkrelidze. - M .: NAUKA, 1977.

Rybnikov K. A. A matematika története. - M . : Moszkvai Egyetem Kiadója, 1963. - T. 2.

Ter-Krikorov A. M., Shabunin M. I. A matematikai elemzés tanfolyama. - 3. kiadás, javítva .. - M . : FIZMATLIT, 2001. - 672 p. — ISBN 5-9221-0008-4 .

Fikhtengol'ts G.M. A matematikai elemzés alapjai. - 7. kiadás - M. : FIZMATLIT, 2002. - T. 1. - 416 p. — ISBN 5-9221-0196-X .

Javasolt olvasmány

Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Utak és labirintusok. Esszék a matematika történetéről.
A matematika története az ókortól a 19. század elejéig. Három kötetben / szerk. Juskevics. - T. 1.
Arnold V. I. Elméleti aritmetika.
Dedekind R. Folytonosság és irracionális számok = Stetigkeit und irrationale Zahlen. — 44 s.
Fikhtengol'ts G.M. A matematikai elemzés alapjai.
Ter-Krikorov A. M., Shabunin M. I. A matematikai elemzés tanfolyama.
Iljin V. A., Poznak E. G. A matematikai elemzés alapjai: 2 órában I. rész.

Numerikus rendszerek
Megszámlálható készletek	Természetes számok ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Egész számok ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Racionális ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebrai ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Időszakok Kiszámítható Számtan
Valós számok és kiterjesztéseik	Igazi ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Quaterniók ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-számok (oktávok, oktonok) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alternionok Dupla Hiperkomplex Szuperreális Hiperanyag szürreális
Numerikus bővítő eszközök	Cayley-Dixon eljárás Frobenius tétel Hurwitz-tétel
Egyéb számrendszerek	tőszámnevek Sorszámok (transzfinit, sorszámok) p-adic Természetfeletti számok intervallum számok
Lásd még	dupla számok Irracionális számok transzcendentális számok számsugár Biquaternion