Fredholm integrál operátor

A Fredholm integrál operátor az űrlap teljesen folytonos lineáris integrál operátora

(Af)(x)=\int _{G}K(x,t)f(t)\,dt,

az egyik függvényteret leképezi a másikra . Itt van egy régió az euklideszi térben , egy derékszögű négyzeten definiált függvény , amelyet az integrál operátor magjának neveznek [1] . Az operátor teljes folytonossága érdekében további korlátozások vonatkoznak a kernelre . Leggyakrabban a folytonos [2] , a -kernel [3] [4] , valamint a poláris kernelek [2] [5] kerülnek számításba . A Fredholm integrál egyenlet megoldásához a Fredholm integrál operátort és tulajdonságait használjuk . $G$ $\mathbb {R} ^{n}$ $K(x,t)$ $G\times G$ $A$ $K(x, y)$ $L_{2}$

Tulajdonságok

Linearitás

A Fredholm integrál operátor lineáris , azaz . $A(\alpha f+\beta g)=\alpha Af+\beta Ag$

Folytonosság

Egy integrál operátor folyamatos [6] kernellel , leképez a (és következésképpen a -ra és -ra ), és korlátos (folyamatos), és ${\bar {G}}\times {\bar {G}}$ $K(x, y)$ $L_2(G)$ $C(\bar G)$ $C(\bar G)$ $C(\bar G)$ $L_2(G)$ $L_2(G)$

\|Af\|_{C}\leq M{\sqrt {V}}\|f\|_{L_{2}},\quad f\in L_{2}(G),

\|Af\|_{C}\leq MV\|f\|_{C},\quad f\in C({\bar {G))),

\|Af\|_{L_{2}}\leq MV\|f\|_{L_{2}},\quad f\in L_{2}(G),

ahol

M=\max \limits _{x\in {\bar {G)),\,y\in {\bar {G))}|K(x,y)|,\quad V=\int _{G}dy.

[7] .

Integrált operátor -kernellel: $L_{2}$

\int _{G}\int _{G}|K(x,y)|^{2}dx\,dy\leq N^{2}<\infty

lefordítva , folyamatos , és megfelel a becslésnek: $L_2(G)$ $L_2(G)$

\|Af\|_{L_{2}}\leq N\|f\|_{L_{2}}.

[1] [8]

Folytonossági feltételek vonatkoznak az integrál operátorokra tól -ig . [9] $L_{p}$ ${\displaystyle L_{q))$

Eléggé kontinuitás

Egy folytonos kernellel rendelkező integráloperátor teljesen folytonos -tól -ig , azaz bármely olyan halmazt vesz fel, amely egy olyan halmazba van behatárolva , amely a [10] -ben prekompakt . A teljesen folytonos operátorok annyiban figyelemre méltóak, hogy a Fredholm-alternatíva érvényes rájuk . Egy folytonos kernellel rendelkező integrál operátor a véges dimenziós operátorok sorozatának határa degenerált kernelekkel. Hasonló állítások igazak a -kernellel rendelkező integrál operátorra is. [tizenegy] $K(x, y)$ $L_2(G)$ $C(\bar G)$ $L_2(G)$ $C(\bar G)$ $L_{2}$

Vannak gyengébb elégséges feltételek is egy integrál operátor teljes folytonosságához (tömörségéhez) -tól -ig . [12] $L_{p}$ ${\displaystyle L_{q))$

Adjoint operátor

A Hilbert térben lévő -kernellel rendelkező operátor adjungált operátorának alakja van $A$ $L_{2}$ $L_2(G)$

(A^{*}f)(x)=\int _{G}{\overline {K(y,x)))f(y)\,dy.

Ha , akkor a Fredholm integrál operátor önadjungált [ 1] [11] $K(x,y)={\overline {K(y,x)))$ $A$

Inverz operátor

Megfelelően kis értékek esetén az operátor (ahol az identitás operátor ) inverz alakú , ahol a Fredholm integrál operátor kernellel , a kernel rezolvenciájával [13] . $|\lambda|$ $I-\lambda A$ $én$ $I+\lambda R$ $R$ $R(x, y, \lambda)$ $K(x, y)$

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 3 Khvedelidze, 1979 .
↑ 1 2 Vladimirov, 1981 , IV. fejezet.
↑ Tricomi, 1960 .
↑ Kolmogorov, Fomin, 1976 , IX. fejezet.
↑ Manzsirov, Polianin, 2000 .
↑ - területlezárás _ $\bár G$ $G$
↑ Vladimirov, 1981 , p. 272.
↑ Tricomi, 1960 , 1.6.
↑ Manzsirov, Polyanin, 2000 , 9.3-1.
↑ Vladimirov, 1981 , 19. §.
↑ 1 2 Kolmogorov, Fomin, 1976 , IX. fejezet, 2. §.
↑ Manzsirov, Polyanin, 2000 , 9.3-2.
↑ Vladimirov, 1981 , 17. §.

Irodalom

Khvedelidze B. V. . Integrál operátor // Matematikai enciklopédia : [5 kötetben] / Ch. szerk. I. M. Vinogradov . - M . : Szovjet Enciklopédia, 1979. - T. 2: D - Koo. - 1104 stb. : ill. — 150.000 példány.
Vladimirov V.S. A matematikai fizika egyenletei. 4. kiadás - M . : Nauka, Ch. szerk. Fiz.-Matek. irodalom, 1981. - 512 p.
Tricomi F. Integrálegyenletek. Per. angolból .. - M . : Izd-vo inostr. irodalom, 1960.
Manzsirov A. V., Polyanin A. D.. Integrálegyenletek kézikönyve: Megoldási módszerek. - M . : Factorial Press, 2000. - 384 p. - ISBN 5-88688-046-1 .
Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. . A függvényelmélet és a funkcionális elemzés elemei. — Tudomány, Ch. szerk. Fiz.-Matek. liter. - M. , 1976.