Diédercsoport

A diédercsoport ( dihedral group ) egy szabályos sokszög szimmetriacsoportja , amely magában foglalja a forgásokat és az axiális szimmetriákat is [1] . A diédercsoportok a véges csoportok legegyszerűbb példái, és fontos szerepet játszanak a csoportelméletben , a geometriában és a kémiában . Jól ismert és meglehetősen triviálisan igazolt, hogy a definíciós tartományban két involúcióból alkotott, véges számú elemű csoport diédercsoport.

Jelölés

Két fő módja van az -oldalú sokszögekhez tartozó diédercsoport felírásának. A geometriában egy csoportot írnak fel , míg az általános algebrában ugyanazt a csoportot jelölik , ahol az index a csoport elemeinek száma. Létezik Coxeter jelölés is , amelyben a sorrend tengelyirányú szimmetriáját )-ként, a sorrend forgását pedig -ként jelöljük . Egy másik bejegyzés az orbifold jelölés , amelyben az axiális szimmetria jelölése, a forgatás pedig . $n$ $\mathrm {D} _{n}$ $\mathrm {D} _{2n}$ $2n$ $[n]$ $n$ $[n]^{+}$ $*nn$ $n$

Ebben a cikkben (vagy néha ) a szabályos -gon szimmetriáira utal . $\mathrm {D} _{n}$ $\mathrm {Dih} _{n}$ $n$

Definíció

Elemek

A szabályos -gonnak különböző szimmetriái vannak: forgások és tengelyirányú visszaverődések , amelyek egy diédercsoportot alkotnak . Ha páratlan, minden szimmetriatengely átmegy az egyik oldal felezőpontján és a szemközti csúcson. Ha páros, akkor vannak szimmetriatengelyek, amelyek az ellentétes oldalak felezőpontjait kötik össze, és tengelyek, amelyek az ellentétes csúcsokat kötik össze. Mindenesetre a szimmetriacsoportban vannak szimmetriatengelyek és elemek. Az egyik, majd a másik tengely körüli tükrözés a tengelyek közötti szög kétszeresének megfelelő elforgatást eredményez. Az alábbi képeken látható az elem hatása a Stop útjelző táblára : $n$ $2n$ $n$ $n$ $\mathrm {D} _{n}$ $n$ $n$ $n/2$ $n/2$ $n$ $2n$ $\mathrm {D} _{8}$

Az első sor nyolc elforgatást, a második pedig nyolc tükrözést mutat.

Csoportstruktúra

Mint minden más geometriai objektum esetében, egy szabályos sokszög két szimmetriájának összetétele ismét szimmetria lesz. Így egy szabályos sokszög szimmetriái véges csoportot alkotnak .

Cayley táblázata egy egyenlő oldalú háromszög szimmetriacsoportjába tartozó kompozíciók eredményeit mutatja . jelöli az azonosság transzformációt, és az óramutató járásával ellentétes irányú forgatást , illetve fokokkal , , , és a jobb oldali ábrán látható tengelyek körüli tükröződéseket jelöli. ${\displaystyle \mathrm {D} _{3))$ $\mathrm {R} _{0}$ $\mathrm {R} _{1}$ $\mathrm {R} _{2}$ $120$ $240$ $\mathrm {S} _{0}$ $\mathrm {S} _{1}$ $\mathrm {S} _{2}$

	$\mathrm {R} _{0}$	$\mathrm {R} _{1}$	$\mathrm {R} _{2}$	$\mathrm {S} _{0}$	$\mathrm {S} _{1}$	$\mathrm {S} _{2}$
$\mathrm {R} _{0}$	$\mathrm {R} _{0}$	$\mathrm {R} _{1}$	$\mathrm {R} _{2}$	$\mathrm {S} _{0}$	$\mathrm {S} _{1}$	$\mathrm {S} _{2}$
$\mathrm {R} _{1}$	$\mathrm {R} _{1}$	$\mathrm {R} _{2}$	$\mathrm {R} _{0}$	$\mathrm {S} _{1}$	$\mathrm {S} _{2}$	$\mathrm {S} _{0}$
$\mathrm {R} _{2}$	$\mathrm {R} _{2}$	$\mathrm {R} _{0}$	$\mathrm {R} _{1}$	$\mathrm {S} _{2}$	$\mathrm {S} _{0}$	$\mathrm {S} _{1}$
$\mathrm {S} _{0}$	$\mathrm {S} _{0}$	$\mathrm {S} _{2}$	$\mathrm {S} _{1}$	$\mathrm {R} _{0}$	$\mathrm {R} _{2}$	$\mathrm {R} _{1}$
$\mathrm {S} _{1}$	$\mathrm {S} _{1}$	$\mathrm {S} _{0}$	$\mathrm {S} _{2}$	$\mathrm {R} _{1}$	$\mathrm {R} _{0}$	$\mathrm {R} _{2}$
$\mathrm {S} _{2}$	$\mathrm {S} _{2}$	$\mathrm {S} _{1}$	$\mathrm {S} _{0}$	$\mathrm {R} _{2}$	$\mathrm {R} _{1}$	$\mathrm {R} _{0}$

Például, mivel az egymást követő tükrözéseket alkalmazza , és egy elforgatást ad . Vegye figyelembe, hogy a kompozíció nem kommutatív művelet . ${\displaystyle \mathrm {S} _{2}\mathrm {S} _{1}=\mathrm {R} _{1))$ $\mathrm {S} _{1}$ $\mathrm {S} _{2}$ $120^{\circ }$

Általános esetben a csoport elemeket tartalmaz , és mint műveletnek összetétele van, amelyet a következő képletek adnak meg: $\mathrm {D} _{n}$ ${\displaystyle \mathrm {R} _{0},\dots \mathrm {R} _{n-1))$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{0},\dots \mathrm {S} _{n-1))$

{\displaystyle \mathrm {R} _{i}\mathrm {R} _{j}=\mathrm {R} _{i+j))

{\displaystyle \mathrm {S} _{i}\mathrm {R} _{j}=\mathrm {S} _{ij))

{\displaystyle \mathrm {R} _{i}\mathrm {S} _{j}=\mathrm {S} _{i+j))

{\displaystyle \mathrm {S} _{i}\mathrm {S} _{j}=\mathrm {R} _{ij))

Az indexek összeadását és kivonását minden esetben modulo maradékokkal kell elvégezni . $n$

Mátrix ábrázolás

Ha egy szabályos sokszög középpontját az origóba helyezzük, akkor a diédercsoport elemei a sík lineáris leképezéseivé válnak . Ez lehetővé teszi, hogy az elemeket mátrixok csoportjaként ábrázoljuk , és a mátrixszorzást az összeállítási műveletként. Egy ilyen ábrázolás egy csoport -dimenziós reprezentációjának példája . $\mathrm {D} _{n}$ $2$

Vegyük példaként a csoport elemeit . Ezeket a következő mátrixokkal ábrázolhatjuk : ${\displaystyle \mathrm {D} _{4))$ $nyolc$

{\begin{mátrix}R_{0}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&R_{1}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},&R_{2}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}-1&0\\ [0.2em]0&-1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&R_{3}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}} {\bigr )},\\[1em]S_{0}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix)){\bigr )},&S_ {1}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},&S_{2}={\bigl (}{\begin{smallmatrix }-1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&S_{3}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]-1&0\ end{smallmatrix}}{\bigr )}.\end{mátrix}}

Az elemek mátrixai általában a következő formájúak: $\mathrm {D} _{n}$

{\begin{aligned}R_{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n))&-\sin {\frac {2\pi k}{ n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}\ \ {\text{i} }\\S_{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n}}&\sin {\frac {2\pi k}{n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&-\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}

Itt az óramutató járásával ellentétes irányú forgatási mátrix a szög szerint, és az abszcissza tengellyel szöget bezáró tengely körüli visszaverődés . ${\displaystyle \mathrm {R} _{k))$ ${\frac {2\pi k}{n))$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{k))$ ${\frac {\pi k}{n))$

Kis diédercsoportok

Mert megkapjuk . Ezt a jelölést ritkán használják, kivéve a sorozat más csoportjainak megjelölésére, mivel a csoport egyenértékű a -val . $n=1$ $\mathrm {Dih} _{1}$ $Z_{2}$

Mert megkapjuk - a négyszeres Klein-csoportot . $n=2$ $\mathrm {Dih} _{2}$

Mindkét eset kivétel a sorozatban:

Ők abeliek , míg mindenki más számára a csoport nem abeli. $n$ $\mathrm {Dih} _{n}$
Ezek nem a szimmetrikus csoport alcsoportjai , mert ezekre . $\mathrm {S} _{n}$ $2n>n!$ $n$

A diédercsoportok ciklusgráfja egy hosszúságú és egy hosszúságú ciklusból áll . Az alábbi ciklusgrafikon sötét csúcsai az identitástranszformációt, a fehér csúcsok a csoport többi elemét mutatják. A ciklus a fennmaradó elemek egymást követő fokozataiból áll. $n$ $n$ $2$


Dih 1	Dih 2	Dih 3	Dih 4	Dih 5	Dih 6	Dih 7

A diédercsoport mint szimmetriacsoport 2D-ben és egy forgáscsoport 3D-ben

Példa a Dih n absztrakt csoportra és a grafikus ábrázolás gyakori módjára az origót nem mozdító síkiometriák D n csoportja. Ezek a csoportok a síkban lévő diszkrét pontcsoportok két sorozatának egyikét alkotják . D n az origó körüli, 360°/ n -el osztható szöggel történő n elforgatásból , valamint a koordináták középpontján átmenő n tengely körüli visszaverődésből és a többi tengelyhez bezárt, 180°/ n -nel osztható szögből áll . Ezek a pontok egy n oldalú szabályos sokszög szimmetriacsoportját jelentik ( n ≥ 3 esetén).

A D n diédercsoportot egy n -rendű r forgatás és egy 2-es rendű s visszaverődés hozza létre úgy, hogy

{\displaystyle srs=r^{-1))

Geometriai szempontból: egy forgás tükörképe úgy néz ki, mint egy fordított forgás.

Komplex számok tekintetében : szorzás és konjugáció. $e^{{2\pi i \over n}}$

Mátrixok tekintetében: adott

r_{1}={\begin{bmatrix}\cos {2\pi \over n}&-\sin {2\pi \over n}\\[8pt]\sin {2\pi \over n}&\ cos {2\pi \over n}\end{bmatrix}}\qquad s_{0}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}

és definiáló és számára felírhatjuk a D n as képződésének szabályait $r_{j}=r_{1}^{j}$ $s_{j}=r_{j}\,s_{0}$ $j\in \{1,\ldots ,n-1\}$

r_{j}\,r_{k}=r_{{(j+k){\text{ mod }}n}}

r_{j}\,s_{k}=s_{{(j+k){\text{ mod }}n}}

s_{j}\,r_{k}=s_{{(jk){\text{ mod }}n}}

s_{j}\,s_{k}=r_{{(jk){\text{ mod }}n}}.

(Hasonlítsa össze a Forgatási mátrixot .)

A D 2 diédercsoport r 180 fokkal történő elforgatásával és s X tengely körüli szimmetriájával jön létre . A D 2 elemei az { e , r , s , rs } alakban ábrázolhatók , ahol e az azonosság transzformáció és rs az 'Y tengely körüli szimmetria .

D 2 izomorf a Klein-négyes csoporttal .

n>2 esetén az egyenes körüli forgatás és tükrözés műveletei nem kommutatívak, és D n nem Abel-féle. Például a D 4 -ben a 90 fokos elforgatás, majd a megfordítás egészen más eredményt ad, mint a megfordítás, majd az elforgatás.

Így a síkbeli szimmetriaproblémák nyilvánvaló alkalmazásai mellett ezek a csoportok a nem-abeli csoportok legegyszerűbb példáiként szolgálnak, és gyakran az Abel-csoportokra korlátozódó tételek ellenpéldáiként használják őket.

D n 2 n eleme felírható e , r , r 2 , …, r n −1 , s , rs , r 2 s , …, r n −1 s alakban . A felsorolt első n elem elforgatás, a maradék n a tengelyekről való tükröződés (mindegyiknek 2-es sorrendje van). Két elforgatás vagy két visszaverődés eredménye egy elforgatás Egy elforgatás és egy visszaverődés eredménye visszaverődés lesz.

Így megállapítottuk, hogy D n egy O(2) alcsoport .

A D n jelölést azonban az SO(3) olyan alcsoportjaira használják, amelyek szintén Dih n típusú csoportok: egy háromdimenziós térbe ágyazott sokszög szimmetriacsoportja (ha n ≥ 3). Az ilyen alakzatok degenerált szilárd testekként is felfoghatók (innen ered a diéder ( dihedron') elnevezés is).

Példák kétdimenziós diéderek szimmetriájára

2D D 6 - (elutasított szimbólum) Dávid vörös csillaga
2D D 24 - Ashoka Chakra - szimbólum India zászlóján .

Egyenértékű definíciók

A következő meghatározások egyenértékűek: $\mathrm {Dih} _{n}$

Egy olyan gráf automorfizmuscsoportja, amely csak egy csúcsú ciklusból áll (ha ). $n$ $n\geqslant 3$
Csoport kilátással

D_{n}=\langle r,s\mid r^{n}=1,s^{2}=1,srs=r^{-1}\rangle

vagy

D_{n}=\langle x,y\mid x^{n}=y^{2}=(xy)^{2}=1\rangle .

A második ábrázolásból az következik, hogy a Coxeter-csoportok osztályába tartozik .

\mathrm {Dih} _{n}

Tulajdonságok

A -val rendelkező diédercsoportok tulajdonságai a paritástól függenek . Például egy csoport középpontja csak a páratlan azonosságából, a páros esetén pedig két elemből áll, nevezetesen az azonosságból és a . Páratlan számok esetén az absztrakt csoport izomorf a közvetlen és szorzattal . $\mathrm {Dih} _{n}$ $n\geqslant 3$ $n$ $\mathrm {Dih} _{n}$ $n$ $r^{n/2}$ $n$ $\mathrm {Dih} _{2n}$ $\mathrm {Dih} _{n}$ $\mathrm {Z} _{2}$

Ha oszt , akkor az űrlap alcsoportjai és egy alcsoportja van . Így a ( ) csoport részcsoportjainak teljes száma egyenlő -val , ahol a természetes osztók száma és a természetes osztóinak összege . $m$ $n$ $\mathrm {Dih} _{n}$ $n/m$ $\mathrm {Dih} _{m}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{m))$ $\mathrm {Dih} _{n}$ $n\geqslant 1$ $\mathrm {d} (n)+\mathrm {\sigma } (n)$ $\mathrm {d} (n)$ $n$ $\mathrm {\sigma} (n)$ $n$

Reflexiós osztályok konjugálása

Minden tükröződés páronként konjugált páratlan esetén , de két konjugáltsági osztályba sorolható a páros esetén . A szabályos -gonok izomorfizmusát tekintve: a páratlanok esetében bármilyen visszaverődést kapunk a másiktól egy elforgatással, míg a párosaknál a visszaverődéseknek csak a felét kaphatjuk meg elforgatással. Geometriai szempontból a páratlan szögben minden szimmetriatengely átmegy az egyik csúcson és a szemközti oldal felezőpontján, a páros szögben pedig két tengelyhalmaz van, mindegyik halmaz megfelel a konjugáltsági osztályának. - a csúcsokon átmenő tengelyek és az oldalak felezőpontjain átmenő tengelyek. $n$ $n$ $n$ $n$ $n$

Algebrailag ezek a Sylow-tétel konjugált elemeinek képviselői : páratlan esetén minden reflexió az azonos elemmel együtt a sorrend egy részcsoportját képezi , amely Sylow 2-alcsoport ( a két osztó maximális hatványa ), míg páros esetén, ezek a -edik rendű alcsoportok nem Sylow , mivel (a kettő legnagyobb hatványa) osztja a csoport sorrendjét. $n$ $2$ $2=2^{1}$ $2n=2(2k+1)$ $n$ $2$ $négy$

Az egyenletes esetében van ehelyett egy külső automorfizmus , amely felcseréli a kétféle tükröződést. $n$

Automorfizmus csoportok

A Dih n csoport automorfizmusa izomorf az Aff(Z/nZ) affin csoporttal , és sorrendje , ahol az Euler-függvény egyenlő az n -nél kisebb természetes számok számával, és relatív prímszámmal. $=\{ax+b\mid(a,n)=1\}$ $n\phi(n),$ $\phi$

Ez felfogható egy reflexiós generátor és elemi elforgatások (forgások -on , k koprím esetén n -nel ) fogalmaival. Hogy melyik automorfizmus belső és melyik külső, az n paritásától függ . $k(2\pi /n)$

Páratlan n esetén a diédercsoportnak nincs középpontja, így bármely elem nem triviális belső automorfizmust határoz meg. Páros n esetén a 180°-os elforgatás (a koordináták középpontjáról való tükrözés) a középpont nem triviális eleme.
Így páratlan n esetén a belső automorfizmuscsoport 2 n, páros n esetén pedig n.
Páratlan n esetén minden reflexió konjugált, páros esetén két osztályba sorolhatók (azok, amelyek átmennek két csúcson, és azok, amelyek átmennek az oldalak felezőpontjain), és ez a két osztály egy külső automorfizmushoz kapcsolódik, amely forgatásként ábrázolva (a minimális elforgatás szögének fele). $\pi /n$
A forgatások normál alcsoportot adnak. A reflexiós ragozás megfordítja a forgás előjelét (irányát), de egyébként változatlan marad. A szögeket k -val szorzó automorfizmus (koprím n -nel ) külső, hacsak nem $k=\pm1.$

Példák csoportos automorfizmusokra

A Dih 9 -nek 18 belső automorfizmusa van . 2D izometria csoportként a D 9 20°-os intervallumokban tükröződik. 18 belső automorfizmus biztosítja a visszaverődések 20°-os többszörösének elforgatását és a visszaverődést. Izometriacsoportként ezek mind automorfizmusok. Ezen kívül 36 külső automorfizmus létezik , például a forgásszöget 2-vel megszorozva.

Általánosítások

A diédercsoportokra számos fontos általánosítás létezik:

A végtelen diédercsoport olyan végtelen csoport , amelynek algebrai szerkezete hasonló a véges diédercsoportokéhoz. Ezt egész számok szimmetriacsoportjának tekinthetjük .
Az O (2) ortogonális csoport , azaz a körszimmetria csoport tulajdonságai hasonlóak a véges diédercsoportokéhoz
Az általánosított diédercsoportok családjába tartoznak a fenti kiterjesztések, valamint sok más.
A kváziédercsoportok véges csoportok családja, amelyek tulajdonságai hasonlóak a véges diédercsoportokéhoz.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Dummit, David S.; Foote, Richard M. Absztrakt algebra (határozatlan) . — 3. - John Wiley & Sons , 2004. - ISBN 0-471-43334-9 .

Linkek

Shawn Dudzik, Wolfram demonstrációs projekt , a 2n. rendű Dihedral Group n .
Dihedral csoport a Grouppropsnál
Miller W., Szimmetriacsoportok és alkalmazásaik. Akadémiai Kiadó, 1972.
Patterns of Symmetry = Patterns of Symmetry / Szerk. M. Seneschal, J. Fleck. — M .: Mir, 1980. — 271 p.
Aminov L. K. Szimmetriaelmélet (előadási jegyzetek és problémák). - M .: Számítógépes kutatás Mn-t, 2002. - 192 p.
Weil G. Szimmetria = Szimmetria. — M .: Nauka, 1968. — 152 p.
Wigner E. Etudes on Symmetry = Symmetries and Reflections: Scientific Essays. — M .: Mir, 1971. — 320 p.
Golod P. I., Klimyk A. U. A szimmetriaelmélet matematikai alapjai = Mathematical basics of the theory of symmetry. - Izhevsk: RHD, 2001. - 528 p.
Poklonsky N. A. Pontszimmetria csoportok: Proc. Juttatás – Minszk: BGU, 2003. – ISBN 985-445-965-9
Smirnov E. Yu. Reflexiós csoportok és szabályos poliéderek. — M.: MTsNMO, 2009. — 48 p. — ISBN 978-5-94057-525-2
Flurry R. Szimmetriai csoportok: elmélet és kémiai alkalmazások. — M .: Mir, 1983. — 400 p.