Osztás (matematika)

Osztály

Kijelölés	betoldás jele kéziratokon
Szemben	szorzás
Médiafájlok a Wikimedia Commons oldalon

Az osztás ( az osztás művelete ) a szorzás inverze . Az osztást kettőspont , obelus , perjel vagy törtként írjuk le . $:$ $\div$ $/$

Természetes számoknál az osztás azt jelenti, hogy megtaláljuk, melyik számot (hányadost) kell annyiszor (osztó) felvenni, hogy megkapjuk az adott (osztalékot).

Más szóval, ez az osztó osztalékból való kivonásának maximális lehetséges számú ismétlődése; vagy az osztalékból annyiszor levonható legnagyobb értéket találni, ahányszor az osztó jelzi.

Vegyük például a következővel való osztást : $tizennégy$ $3$

Hányszor szerepel benne ? $3$ $tizennégy$

A -ból való kivonás műveletét megismételve azt találjuk, hogy négyszer van benne , és még mindig "marad" egy szám . $3$ $tizennégy$ $3$ $tizennégy$ $2$

Ebben az esetben a számot oszthatónak nevezzük , a szám az osztó , a szám a (nem teljes) hányados , a szám pedig a maradék (az osztásból) . $tizennégy$ $3$ $négy$ $2$

A számok teljes hányadosát , hányadosát vagy arányát olyan számnak nevezzük , amely . Abban az esetben, ha és , ezek teljes hányadosa felírható törtként vagy tizedes törtként . $a$ $b$ $c$ $a=b\cdot c$ $a=14$ $b=3$ ${\frac {14}{3}}$ $4, (6)$

A teljes és a nem teljes részszámok akkor és csak akkor esnek egybe, ha egyenlően osztható ( osztható ) -vel . Egy adott számpár megfelelő tulajdonságát oszthatóságnak nevezzük . $a$ $b$ $a$ $b$

Formák és terminológia

Az osztást az "osztásjelek " egyikével írják az argumentumok közé, ezt a jelölési formát infix jelölésnek nevezik . Ebben az összefüggésben az osztásjel egy bináris operátor . Az osztásjelnek nincs külön neve, például az összeadás jele, amelyet „plusznak” neveznek. $\div ,~/,~:$

Úgy tűnik, hogy a legrégebbi használt karakter a perjel (/). Először William Oughtred angol matematikus használta Clavis Mathematicae című művében 1631-ben.
Leibniz német matematikus a kettőspont jelét preferálta (:), ezt a szimbólumot használta az 1684-es Acta eruditorum című művében . Leibniz előtt ezt a jelet az angol Johnson használta 1633-ban könyvében, de törtjelként, nem pedig osztásként. szűkebb értelemben.
Johann Rahn az obelus (÷) jelet osztásjelként vezette be, 1659-ben megjelent Teutsche Algebrájában. Rahn jelét gyakran "angol osztásjelként" is emlegetik.

Az orosz nyelvű matematikai tankönyvekben főleg a kettőspontot (:) használják. A perjel (/) a számítógépes jelöléseknél használatos. Az eredményt a " " egyenlőségjellel írjuk , például: $=$

a:b=c

;

6:3=2

("hat osztva hárommal egyenlő kettő");

65:5=13

("hatvanöt osztva öttel egyenlő tizenhárom").

Tulajdonságok

A numerikus halmazokon végzett osztási műveletnek a következő főbb tulajdonságai vannak: $\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$

A felosztás nem módosítható (nem kommutatív) - az argumentumok helyének változásától a hányados változik:

a:b\neq b:a;

Az osztás nem asszociatív - ha három vagy több szám felosztása egymás után történik, a műveletek sorrendje fontos, az eredmény megváltozik:

{\megjelenítési stílus (a:b):c\neq a:(b:c);}

Az osztás helyes disztribúció, ez az ugyanazon halmazon meghatározott két bináris művelet konzisztencia tulajdonsága, más néven disztributív törvény [1] :

Eloszlás :

{\megjelenítési stílus (a+b):x=(a:x)+(b:x),~x\neq 0;}

Az osztás tekintetében a halmaz jobb oldalán egyetlen semleges elem található (szám ), eggyel osztás (vagy semleges elem) az eredetivel megegyező számot ad: $A$ $egy$

Semleges elem a jobb oldalon:

x:1=x;

Az osztás tekintetében csak egy reciprok elem van a halmazban, amelyet úgy kapunk, hogy egyet elosztunk egy számmal, és így az eredetivel fordított számot kapunk: $A$

Fordított elem :

1:x={\frac {1}{x}}=x^{-1},~x\neq 0;

Ami az osztást illeti, a halmaz bal oldalán egyetlen nulla elem található - ha egy számot elosztunk bármely számmal, akkor nullát kapunk: $A$ $0$

Nulla elem a bal oldalon:

0:x=0,\quad \exists 0\in A,~x\neq 0;

A közönséges aritmetika szabályai szerint a nullával való osztás (nulla elem) nincs meghatározva; $0$

Osztás nullával :

x:0=\infty ,\quad \exists 0\in A,~x\neq 0;

Az ellenkező elemmel való osztás mínusz egyet ad:

x:(-x)=-1,\quad \exists !-x\in A,~x\neq 0.

Az osztás eredménye nem mindig biztos természetes számok és egész számok halmazai esetén , ahhoz, hogy az osztás eredményeként természetes vagy egész számot kapjunk, az osztónak az osztó többszörösének kell lennie. Lehetetlen tört eredményt kapni ezeken a számokon belül. Ebben az esetben a maradékkal való osztásról beszélünk . Vagyis az osztás ezeken a halmazokon egy részleges bináris művelet . $\mathbb {N}$ $\mathbb {Z}$

A racionális , valós és komplex számok halmazain ( mezõkben ) definiált osztási mûvelet ugyanahhoz a halmazhoz tartozó (privát) számot ad, ezért a halmazok az osztási mûvelethez képest zártak (a 0 pontban van egy a második fajta folytonossági hiánya – ezért a racionális, valós és komplex számok gyűrűi nyitottak az osztás tekintetében). ${\mathbb {Q}}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {Q_{-0}} ,\mathbb {R_{-0}} ,\mathbb {C_{-0}}$

A matematikai kifejezésekben az osztási művelet elsőbbséget élvez az összeadási és kivonási műveletekkel szemben, vagyis előttük kerül végrehajtásra.

Felosztás végrehajtása

Az osztás egy kivonási hiperoperátor , és szekvenciális kivonásra redukálódik. :

$a:b=\operátornév {hiper-2} (a,b)=\operátornév {hiper} (a,-2,b)=a^{(-2)}b=c.$

$a{^{(-2)}}b=a:b=a\underbrace {-bb-\dots -b} _{c}.$

ahol: egyszer végrehajtott kivonási műveletek sorozata . $-bb-\dots -b$ $c$

A két szám osztásának gyakorlati megoldása során le kell redukálni azt egyszerűbb műveletek sorozatára: kivonás , összehasonlítás , átvitel stb. Erre különféle osztási módszereket fejlesztettek ki, például számokra, törtekre , vektorok stb. Az orosz nyelvű matematika tankönyvekben az algoritmust jelenleg oszloposztásban használják . Ebben az esetben a felosztást eljárásnak kell tekinteni (szemben a művelettel).

Az osztó-, osztó-, hányados-, maradék- és közbenső számítások beírási helyeit illusztráló diagram oszlopos osztás esetén:

A fenti diagramból látható, hogy a kívánt hányados (vagy maradékkal osztva nem teljes hányados) az osztó alá, a vízszintes vonal alá kerül. A közbenső számításokat az osztalék alatt végezzük, és előre gondoskodnia kell az oldalon lévő hely rendelkezésre állásáról. Ebben az esetben a szabályt kell követni: minél nagyobb a karakterszám különbség az osztó és az osztó bejegyzéseiben, annál több hely szükséges.

Hozzávetőleges algoritmus a természetes számok oszloppal való osztására

Amint látható, az eljárás meglehetősen bonyolult, viszonylag sok lépésből áll, és nagy számok felosztása esetén ez sokáig tarthat. Ez az eljárás természetes és egész (előjelhez kötött) számok felosztására alkalmazható. Más számokhoz bonyolultabb algoritmusokat használnak.

A számokkal végzett aritmetikai műveleteket bármely pozíciós számrendszerben ugyanazok a szabályok szerint hajtják végre, mint a decimális rendszerben , mivel mindegyik a megfelelő polinomokon végzett műveletek szabályain alapul [2] . Ebben az esetben a számrendszer adott alapjának megfelelő kivonási táblázatot kell használni. $P$

Példa természetes számok osztására bináris , decimális és hexadecimális számrendszerekben:

110010│ 101 │ 0 – 0 50800│ 25 │ 0 – 0 CD530│ A8 │ 0 – 0 101 │1010 │ -101 – 1 50 │ │ 5 -20 -20 -5 -2032 — 3 1F8 │ -1F8 — 3 101 80 │ -100 — 4 5D3 │ -2A0 — 4 101 75 │ ... — ... 540 │ -348 — 5 00 50 930 │ -930 │ -905 498-7 0.0.0.│ -540 - 8 │ -5E8 - 9 │ -690 - A │ -738 - B │ -7E0 - C │ -888 - D │ -930 - E

Számok osztása

Természetes számok

Használjuk a természetes számok definícióját véges halmazok ekvivalencia osztályaiként . Jelöljük zárójelek segítségével bijekciókkal generált véges halmazok ekvivalencia osztályait: . Ekkor az „osztás” matematikai műveletet a következőképpen definiáljuk: $\mathbb {N}$ $C,A,B,R$ ${\megjelenítési stílus [C], [A], [B], [R]}$

$\quad [C]=[A]:[B]=[\jobbra nyíl (A/B)]\quad \&\quad [R]$ - egyenlő részekre osztás (a partíció egyes részhalmazaiban lévő elemek számának megtalálása), privát számok és a partíció egyes részhalmazainak elemszámának meghívása; $a$ $b$
$\quad [C]=[A]:[B]=[A/(\jobbra nyíl B)]\quad \&\quad [R]$ - tartalom szerinti osztás (a partíció részhalmazainak számának megkeresése), privát számok és a partíció részhalmazainak száma (száma) meghívásra kerül; $a$ $b$

ahol: egy véges halmaz felosztása egyenlő számú páronkénti diszjunkt részhalmazokra úgy, hogy: $A/B$

$B_{\alpha }=B_{\beta },$ $\quad \bigcup \limits _{\alpha \in C}B_{\alpha }+R=A,$ $\quad \bigcap _{\alpha ,\beta \in C}(B_{\alpha },B_{\beta },R)=\{\emptyset \},$ minden olyan együtthatóra $\alpha ,\beta \in C$ $\alpha \not =\beta ;$

$R$ a maradék (a fennmaradó elemek halmaza) , $\{\emptyset \}\leqslant R<B$

$\jobb nyíl$ — null művelet "elem kiválasztása".

Abban az esetben, ha egy természetes szám nem osztható egy másikkal maradék nélkül, akkor maradékkal való osztásról beszélünk . A maradékra a következő korlátozás vonatkozik (hogy az helyesen, azaz egyedileg legyen meghatározva): , , $0\leqslant r<|b|$ $a=b\cdot c+r$

ahol: - osztalék, - osztó, - hányados, - maradék. $a$ $b$ $c$ $r$

Ez az osztályokon végzett művelet helyesen kerül bevezetésre, vagyis nem függ az osztályelemek megválasztásától, és egybeesik az induktív definícióval.

Az "osztás" aritmetikai művelet parciális a természetes számok halmazára , (a természetes számok félegyesítésére ). $\mathbb {N}$

A természetes számok felosztása és a véges halmazok osztályokra osztása közötti kapcsolat lehetővé teszi az osztási művelet megválasztásának igazolását például a következő típusú problémák megoldása során:

„12 ceruzát egyenlően osztottak 3 dobozba. Hány ceruza van egy dobozban? A feladat egy 12 elemből álló halmazt vesz figyelembe. Ez a halmaz 3 egyenlő részhalmazra oszlik. Minden ilyen részhalmazban tudni kell az elemek számát. Ezt osztva lehet megtalálni - 12 karát. : 3 db. A kifejezés értékének kiszámítása után megkapjuk a választ a probléma kérdésére - minden dobozban 4 ceruza található.
„12 ceruzát kell dobozokba rendezni, mindegyikbe 3 ceruzát. Hány dobozra lesz szükséged? A feladat egy 12 elemből álló halmazt vesz figyelembe, amely részhalmazokra van felosztva, amelyek mindegyikének 3 eleme van, meg kell találni az ilyen részhalmazok számát. Megtalálható elosztással - 12 karát. : 3 ct. A kifejezés értékének kiszámítása után megkapjuk a választ a probléma kérdésére - 4 dobozra van szükség.

A természetes számok felosztásához a számok helyzetjelölési rendszerében az osztási algoritmust egy oszlop használja.

Egész osztás

A tetszőleges egész számok felosztása nem különbözik jelentősen a természetes számok osztásától - elég felosztani a moduljaikat és figyelembe venni az előjelszabályt .

Az egész számok maradékkal való felosztása azonban nincs egyértelműen meghatározva. Egy esetben (és maradék nélkül is) a modulokat veszik először figyelembe, és ennek eredményeként a maradék ugyanazt az előjelet kapja, mint az osztó vagy az osztalék (például maradékkal (-1)); egy másik esetben a maradék fogalmát közvetlenül általánosítják, és a korlátozásokat a természetes számokból kölcsönzik: $-7/(-3)=2$

-7\equiv 2{\pmod 3}

A kétértelműség kiküszöbölésére megállapodást fogadnak el: a felosztás többi része mindig nem negatív.

Racionális számok osztása

Az egész számok halmazának az osztás műveletével történő lezárása a racionális számok halmazára való kiterjesztéséhez vezet. Ez oda vezet, hogy egy egész szám egy másikkal való osztásának eredménye mindig racionális szám . Sőt, a kapott számok (racionális) már teljes mértékben támogatják az osztási műveletet (arra nézve zártak).

A közönséges törtek osztásának szabálya: ${\frac {a}{b)):{\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot d}{b\cdot c}}={\frac {ad}{bc}}$

Valós számok osztása

A valós számok halmaza egy folytonos rendezett mező , amelyet jelöl . A valós számok halmaza nem megszámlálható, hatványát a kontinuum hatványának nevezzük . A végtelen tizedes törtekkel ábrázolt valós számokkal végzett aritmetikai műveleteket a racionális számokra vonatkozó megfelelő műveletek folyamatos folytatásaként [3] definiáljuk . $\mathbb {R}$

Adott két valós szám, amelyek végtelen tizedesjegyekkel ábrázolhatók :

\alpha =\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots =\{a_{n}\},

\beta =\pm b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots =\{b_{n}\},

A racionális számok alapvető sorozatai határozzák meg (amely kielégíti a Cauchy-feltételt ), és a következőképpen jelöljük: és , akkor a privát számukat a részsorozatok által meghatározott számnak és a : $\alpha =[a_{n}]$ $\beta =[b_{n}]$ $\gamma =[c_{n}]$ $\{a_{n}\}$ $\{b_{n}\}$

\gamma =\alpha :\beta {\overset {\text{def}}{=}}[a_{n}]:[b_{n}]=[a_{n}/b_{n}]

valós szám , teljesíti a következő feltételt: $\gamma =\alpha :\beta$

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} ;~~~~(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Jobbra (a':b'\leqslant \alpha /\beta \leqslant a'':b'')\Rightarrow (a':b'\leqslant \gamma \leqslant a'' :b'').

Így két valós szám hányadosa egy olyan valós szám , amely egyrészt a forma összes adata, másrészt a forma összes adata között található [ 4] . A Dedekind szakasz lehetővé teszi az osztás eredményének egyedi meghatározását. $\alpha$ $\beta$ $\gamma$ $a':b'$ $a'':b''$

A gyakorlatban ahhoz, hogy két és számot el lehessen osztani , a szükséges pontossággal helyettesíteni kell őket közelítő racionális számokkal és . A privát számok hozzávetőleges értékéhez vegye a megadott racionális számok privát értékét . Ugyanakkor nem mindegy, hogy a felvett racionális számok melyik oldalról (hiány vagy többlet alapján) közelítenek és . Az osztás az osztás szerint oszlopalgoritmussal történik. $\alpha$ $\beta$ $a$ $b$ $\alpha :\beta$ $a:b$ $\alpha$ $\beta$

Egy részleges közelítő szám abszolút hibája: , egy szám abszolút hibáját a szám utolsó számjegyének a felével vesszük. $\Delta \left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {|b|\cdot \Delta a+|a|\cdot \Delta b}{b^{2}} }$

A hányados relatív hibája egyenlő az argumentumok relatív hibáinak összegével: . A kapott eredményt felkerekítjük az első helyes számjegyre, a közelítő szám jelentős számjegye akkor helyes, ha a szám abszolút hibája nem haladja meg az ehhez a számjegyhez tartozó számjegyegység felét. $\delta \left({\frac {a}{b))\right)=\delta a+\delta b$

Példa osztásra 3. tizedesjegyig: $\gamma =\pi :e$

Ezeket a számokat 4. tizedesjegyre kerekítjük (a számítások pontosságának javítása érdekében) ;
Kapunk: ; $\pi \kb. 3.1416,\ e\kb. 2.7183$
Oszloppal osztunk :; $\gamma =\pi :e\kb 3,1416:2,7183\kb 1,1557$
3. tizedesjegyig felfelé kerekítve: . $\gamma \körülbelül 1,156$

Menetrend

A valós számpárok halmazán az osztási függvény tartománya grafikusan egy hiperbolikus paraboloid formájú - egy másodrendű felület [5] . $\mathbb {R} ^{2}$ $c=a:b~$

Mivel , akkor ezeknél a halmazoknál az osztásfüggvény tartománya ehhez a felülethez fog tartozni. $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R}$

Komplex számok osztása

Az aritmetikai műveleteket tartalmazó komplex számok halmaza egy mező , és általában a szimbólummal jelöljük . $\mathbb {C}$

Algebrai forma

Két komplex szám hányadosa az algebrai jelölésben egy komplex szám, amely egyenlő:

z=c+fi={\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {a+di}{b+ei}}={\frac {ab+de}{ b^{2}+e^{2}}}+{\frac {db-ae}{b^{2}+e^{2}}}i,

ahol: — komplex számok, , — imaginárius egység ; . $z,z_{1},z_{2}$ $a,b,c,d,e,f\in \mathbb {R}$ $én$ $z_{2}\neq 0,~~~b+ei\neq 0$

A gyakorlatban a komplex számok hányadosát úgy kapjuk meg, hogy az osztót és az osztót megszorozzuk az osztó komplex konjugáltjával :

$z=c+fi={\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {a+di}{b+ei}}={\frac {(a+di) (b-ei)}{(b+ei)(b-ei)}}={\frac {ab+de}{b^{2}+e^{2}}}+{\frac {db-ae }{b^{2}+e^{2}}}i,$ $~~z_{2}\neq 0,~~~b+ei\neq 0;$

az osztóból valós szám lesz, és két komplex számot megszorozunk a számlálóban, majd a kapott törtet tagokra osztjuk. Az eredmény mindenki számára meghatározott $b+ei\neq 0=0+0i$

Trigonometrikus forma

Ahhoz, hogy két komplex számot eloszthasson trigonometrikus jelöléssel, el kell osztania az osztó modulusát az osztó modulusával, és ki kell vonnia az osztó argumentumot az osztó argumentumból:

$z=c+fi={\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {a+di}{b+ei}}={\frac {r_{1}( \cos \varphi _{1}+i\sin \varphi _{1})}{r_{2}(\cos \varphi _{2}+i\sin \varphi _{2})))={\ frac {r_{1}}{r_{2}}}(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2} ),$

ahol: - komplex szám modulusa és argumentuma ; . ${\displaystyle r_{n}=|z_{n}|=|x+yi|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}};~~~\varphi _{n}=\ operátornév {Arg} (z_{n})=\operátornév {arctg} {\biggl (}{\frac {x}{y}}{\biggr )))$ $z_{2}\neq 0,~~~r_{2}\neq 0$

Vagyis két komplex szám hányadosának modulusa egyenlő a modulok hányadosával, az argumentum pedig az osztó és az osztó argumentuma közötti különbség.

Az exponenciális (exponenciális) forma

Ha exponenciálisan összetett számot osztunk egy komplex számmal , akkor a számnak megfelelő vektort szöggel elforgatjuk , és hosszát egy tényezővel változtatjuk. Az exponenciális formájú privát komplex számokra az egyenlőség igaz: $z_{1}=a+di=r_{1}e^{i\varphi _{1}}$ $z_{2}=b+ei=r_{2}e^{i\varphi _{2}}$ $z_{1}$ $\operatorname {Arg} (z_{2})$ $|z_{2}|$

$z=c+fi={\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {a+di}{b+ei}}={\frac {r_{1}e ^{i\varphi _{1}}}{r_{2}e^{i\varphi _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}e^{i (\varphi _{1}-\varphi _{2})};$

ahol: - e szám ; . $e=2{,}718281828\dots$ $z_{2}\neq 0,~~~r_{2}\neq 0$

Exponenciális jelölés

Az exponenciális jelölésben a számokat így írjuk , ahol a mantissza , a szám jellemzője , a számrendszer alapja , . Két exponenciális formában írt szám felosztásához el kell választani a mantisszát és a jellemzőket: ${\displaystyle a=\pm x\cdot P^{\pm n))$ $x$ $P^{n}$ $P$ $n\in \mathbb{Z }$ $(a\cdot P^{n}):(b\cdot P^{k})=(a:b)\cdot (P^{n}:P^{k})={\frac { a}{b}}\cdot P^{nk}.$

Például:

(6{,}34\cdot 10^{4}):~(2{,}16\cdot 10^{-2})=(6{,}34:~2{,}16)\ cdot (10^{4}:10^{-2})\kb. 2{,}935\cdot 10^{(4-(-2))}\kb. 2{,}94\cdot 10^{4+ 2}\kb 2{,}94\cdot 10^{6}.

Fizikai mennyiségek felosztása

A fizikai mennyiség mértékegységének konkrét neve ( dimenziója ) van: hosszra (L) - méter (m), időre (T) - másodperc (s), tömegre (M) - gramm (g) stb. tovább. Ezért egy adott mennyiség mérésének eredménye nem csupán egy szám, hanem egy szám a névvel [6] . A név egy független objektum, amely egyformán részt vesz az osztási műveletben. Fizikai mennyiségek osztási művelete során maguk a numerikus összetevők és a neveik is felosztásra kerülnek.

A dimenziós fizikai mennyiségek mellett léteznek dimenzió nélküli (mennyiségi) mennyiségek, amelyek formálisan a numerikus tengely elemei , vagyis olyan számok, amelyek nem kötődnek bizonyos fizikai jelenségekhez (darabokkal, időkkel stb. mérve). A fizikai mennyiségeket reprezentáló számok dimenzió nélküli mennyiséggel való osztásakor az osztható szám nagysága megváltozik, és megtartja a mértékegységet. Például, ha veszel 15 szöget és 3 dobozba teszed, akkor a felosztás eredményeként minden dobozba 5 szöget kapunk:

15~{\text{gw):3=5~{\text{gw)).

A heterogén fizikai mennyiségek felosztását úgy kell tekinteni, mint egy új fizikai mennyiség megtalálását, amely alapvetően különbözik az általunk felosztott mennyiségektől. Ha fizikailag lehetséges ilyen hányadost létrehozni, például munka, sebesség vagy más mennyiségek keresésekor, akkor ez a mennyiség a kezdetiektől eltérő halmazt alkot. Ebben az esetben ezeknek a mennyiségeknek az összetételéhez új elnevezést (új kifejezést ) rendelünk, például: sűrűség , gyorsulás , teljesítmény , stb. [7] .

Például, ha a hosszt elosztja egy fizikai folyamatnak megfelelő idővel , akkor ugyanannak a fizikai folyamatnak megfelelő megnevezett számot (fizikai mennyiséget) kapunk, amelyet "sebességnek" neveznek, és "méter per másodpercben" mérik: $L=8~{\text{m}}~$ $T=2~{\text{s)),~$ $V=4~{\text{m/s)).$

V=L:T=8~{\text{m}}:2~{\text{s}}=4~~{\text{(m : s)))=4~{\text{ Kisasszony}}.

A fizikai folyamatok matematikai leírásánál fontos szerepet játszik a homogenitás fogalma, amely például azt jelenti, hogy „1 kg liszt” és „1 kg réz” különböző halmazokhoz tartozik {liszt} és {réz}. , illetve nem választhatók el közvetlenül. Ezenkívül a homogenitás fogalma azt sugallja, hogy az osztható mennyiségek egy fizikai folyamathoz tartoznak. Elfogadhatatlan például a ló sebességét a kutya idejével osztani.

Osztás az algebrában

A legegyszerűbb aritmetikai esetekkel ellentétben tetszőleges halmazokon és struktúrákon az osztás nemcsak definiálatlan lehet, hanem sokféle eredmény is lehet.

Általában az algebrában az osztást az azonosság és az inverz elemek fogalmán keresztül vezetik be. Ha az identitáselemet egyedileg vezetjük be (általában axiomatikusan vagy definíció szerint), akkor az inverz elem gyakran lehet bal ( ) vagy jobb ( ) is. Ez a két inverz elem létezhet külön-külön, egyenlő vagy nem egyenlő egymással. $x^{{-1}}*x=e$ $x*x^{{-1}}=e$

Például a mátrixok arányát az inverz mátrixon keresztül határozzuk meg, míg négyzetes mátrixoknál is lehet:

B^{{-1}}\cdot A\neq A\cdot B^{{-1}}

A tenzorok aránya általában nincs meghatározva.

Polinomok felosztása

Általánosságban elmondható, hogy megismétli a természetes számok osztásának gondolatait, mivel a természetes szám nem más, mint egy polinom értéke, amelyben az együtthatók számjegyek, és a számrendszer alapja változó helyett:

5334_{8}=5\cdot 8^{3}+3\cdot 8^{2}+3\cdot 8^{1}+4\cdot 8^{0}=\left.(5x^{3} +3x^{2}+3x+4)\jobbra|_{{x=8}}

Ezért a következőket hasonlóan definiáljuk: hányados, osztó, osztalék és maradék (azzal a különbséggel, hogy a korlátozás a maradék mértékére vonatkozik). Ezért az oszloppal való osztás polinomok osztásánál is alkalmazható .

A különbség abban rejlik, hogy a polinomok osztásakor a fő hangsúly az osztó és az osztó fokán van, nem pedig az együtthatókon. Ezért általában azt feltételezik, hogy a hányados és az osztó (és így a maradék) egy állandó tényezőig definiálva van.

Osztás nullával

A számhalmazok meghatározása szerint a 0 -val való osztás nincs meghatározva. A nullától eltérő szám nullával való osztásának hányadosa nem létezik, mivel ebben az esetben egyetlen szám sem felelhet meg a hányados definíciójának [8] . Ennek a helyzetnek a meghatározásához feltételezzük, hogy a művelet eredményét "végtelenül nagynak" vagy "a végtelennel egyenlőnek " kell tekinteni (pozitív vagy negatív, az operandusok előjelétől függően). Geometriai szempontból a számegyenes affin kiterjesztését hajtjuk végre . Vagyis a valós számok szokásos sorozatát "tömörítjük", így ennek a sorozatnak a határaival lehet operálni. Két absztrakt , végtelenül nagy mennyiséget vezetünk be (feltételes) határként . Az általános topológia szempontjából a számegyenes kétpontos tömörítése két idealizált pont (ellentétes előjelű végtelen) hozzáadásával történik. Ír: $\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ $+\infty ,-\infty$

a:0=\pm \infty

, ahol

a\neq 0.

Ha a valós számok halmazának projektív kiterjesztését készítjük egy idealizált pont bevezetésével , amely a valós egyenes mindkét végét összeköti, akkor az általános topológia szempontjából a valós egyenes egypontos tömörítését hajtjuk végre előjel nélküli végtelen hozzáadásával. Egészítsük ki az így kapott számhalmazt egy új elemmel , ennek eredményeként azt kapjuk , hogy ennek alapján egy algebrai struktúra épül fel , melynek neve " Wheel " (Wheel) [9] . A kifejezést a valós egyenes és a 0/0 pont projektív kiterjesztésének topológiai képével való hasonlóság miatt vettük fel. Az elvégzett változtatások ezt az algebrai rendszert mind az összeadási művelettel (nulla semleges elemmel), mind a szorzási művelettel (egységgel semleges elemmel) monoiddá változtatják . Ez az algebra egy olyan típusa, ahol az osztás mindig definiálva van. Különösen a nullával való osztásnak van értelme. $\infty ~$ $\perp =0/0$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\perp }^{\infty }=\mathbb {R} \cup \{\infty ,\perp \))$ ${\mathfrak {W}}=\langle \mathbb {R} _{\perp }^{\infty },0,1,+,\cdot ,/\rangle ~$

Vannak más algebrai rendszerek is, amelyek nullával osztanak. Például "közönséges rétek" (közönséges rétek) [10] . Kicsit egyszerűbbek, mivel nem bővítik a teret új elemek bevezetésével. A célt a kerekekhez hasonlóan az összeadás és szorzás műveleteinek átalakításával, valamint a bináris osztás elutasításával érjük el.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Tehát ezeket a tulajdonságokat nevezik az elemi osztályok tankönyveiben
↑ Számrendszerek, 2006 , p. 3.
↑ Mivel a valós számok halmazán már bevezettük a lineáris sorrendű relációt, meg tudjuk határozni a valós sor topológiáját: nyitott halmazokként felvesszük a forma intervallumainak összes lehetséges unióját. $\{x:\alpha <x<\beta \}$
↑ Iljin, 1985 , p. 46.
↑ Az egyenlet könnyen redukálható változók változtatásával egy hiperbolikus paraboloid egyenletére . $z={\frac {x}{y))$ ${\frac {z^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=2x$
↑ Volinskaya N. I. Integrált fizika és matematika óra, Fizikai mennyiségek és mértékegységeik mérése, 7. iskola, Brest . brestschool7.iatp.by. Letöltve: 2016. április 18. Az eredetiből archiválva : 2016. augusztus 7.. (határozatlan)
↑ Makarov Vlagyimir Petrovics. A fizikai mennyiségek "dimenziójáról" . lithology.ru, Lithology.RF. Letöltve: 2016. április 18. Az eredetiből archiválva : 2016. május 6.. (határozatlan)
↑ M. Ya. Vygodsky Az elemi matematika kézikönyve.
↑ Jesper Carlstrom. Wheels-On Division by Zero. - Stockholm: Matematika Tanszék Stockholmi Egyetem, 2001. - 48 p.
↑ Jan A. Bergstra és Alban Ponse. Osztás nullával Common Meadowsban . - Hollandia: Section Theory of Computer Science Informatics Institute, Faculty of Science University of Amsterdam, 2014. - 16 p. Archiválva : 2018. március 26. a Wayback Machine -nál

Irodalom

Iljin V.A. stb. Matematikai elemzés. Kezdő tanfolyam. (neopr.) . - Moszkvai Állami Egyetem, 1985. - T. 1. - 662 p.
Számrendszerek . - Vologda: GOU SPO "Vologdai Mérnöki Főiskola", 2006. - S. 3. - 16 p.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy norvég Brockhaus és Efron Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4150319-3 J9U : 987007557947605171 LCCN : sh85038610 NDL : 00575006 NKC : ph896353