Holonómia

A holonómia a görbület és a monodrómia tulajdonságait ötvöző köteg egyik kapcsolódási invariánsa egy sima sokaságon , és fontos mind a geometriában, mind a természettudomány geometrizált területein, mint például a relativitáselmélet és a húrelmélet . Általában vektorkötegben lévő kapcsolatok holonómiájáról beszélünk , bár ugyanúgy van értelme egy főkötegben lévő kapcsolat holonómiájáról vagy akár egy lokálisan triviális topológiai kötegben lévő Ehresmann-kapcsolat holonómiájáról beszélni.

Emlékezzünk vissza, hogy a vektorkötegben lévő kapcsolat egy olyan operátor, amely minden útvonalhoz egy fordítási transzformációt rendel . Azonban a topológiában gyakran előforduló helyzettől eltérően a párhuzamos fordítási transzformáció megváltozik, ha magát az útvonalat megváltoztatjuk, még akkor is, ha a végei változatlanok (nem csak egy nagyon speciális, bár nagyon fontos esetben függ az útvonal kis változásaitól lapos csatlakozások ). A holonómia annak mértéke, hogy a párhuzamos fordítás mennyire függhet az útvonal kis perturbációitól. Ugyanis egy összetett út, amely a változása mentén haladt egy-egy pontból, majd vissza, egy pontból önmagába zárt útként fogható fel. Az összes rétegtranszformáció halmaza, amelyet zárt utak mentén végzett fordításokkal kapunk, kezdve és végződéssel , egy pontban egy csoportot alkot, amelyet holonómiacsoportnak neveznek , és jelöli . Ha csak a párhuzamos fordításokat vesszük figyelembe azon utak mentén, amelyek egy pontig összehúzhatók, akkor a normál alcsoportját kapjuk , amelyet lokális csoportnak vagy korlátozott holonómiának nevezünk, és jelöléssel jelöljük . A különböző pontokon lévő holonómiacsoportok azonosíthatók, ha ezeket a pontokat egy útvonallal összekötjük, de ez az azonosítás általában az útvonal megválasztásától függ. Azonban ezek a csoportok mindegyike izomorf, ami lehetővé teszi, hogy a pontválasztástól függetlenül egyszerűen beszéljünk a holonómiacsoportról és a helyi holonómiacsoportról . A holonómiacsoport egy pontban a felépítésénél fogva rendelkezik egy természetes térbeli reprezentációval , amelyet holonómiareprezentációnak neveznek . $E\to X$ $\gamma \colon [0;1]\to X$ ${\displaystyle p_{\gamma }\colon E_{\gamma (0)}\to E_{\gamma (1)))$ $\gamma (0)$ $\gamma (1)$ $\gamma$ $\gamma$ $\gamma (0)=x$ ${\displaystyle E_{x))$ $x$ $x$ $\operatorname {Hol} _{x}(\nabla )$ $\operatorname {Hol} _{x}^{0}(\nabla )$ $\operatorname {Hol} (\nabla )$ $\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )$ $x$ ${\displaystyle E_{x))$

Lapos kapcsolat esetén a lokális holonómiacsoport értelemszerűen triviális, a holonómiacsoport pedig ennek a lapos kapcsolatnak a monodrómiacsoportja. Általános esetben egy nem lapos kapcsolat monodrómiáját holonómiával, hányadoscsoportként határozzuk meg . $\operatorname {Hol} (\nabla )/\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )$

A legegyszerűbb példa: egy gömbháromszög szögeinek összege

Tekintsük a kétdimenziós gömb érintővektorainak esetét. A kapcsolódás ( Levi-Civita ) ebben az esetben alapvetően meghatározható. Ugyanis bármely darabonként sima pálya tetszőlegesen jól közelíthető egy olyan szaggatott vonallal, amelynek kapcsolatai geodéziaiak (azaz kis nagykörök ívei). Határozzuk meg a párhuzamos transzlációt a geodetikus mentén azzal a feltétellel, hogy az érintővektor átvált a vektorba , miközben a szögek és a tájolás az érintősíkban megmarad. ${\displaystyle p_{\gamma }\colon T_{\gamma (0)}S^{2}\to T_{\gamma (1)}S^{2))$ ${\displaystyle \gamma \colon [0;1]\ to S^{2))$ ${\displaystyle {\frac {\partial \gamma }{\partial t))(0)\in T_{\gamma (0)}S^{2))$ ${\displaystyle {\frac {\partial \gamma }{\partial t))(1)\in T_{\gamma (1)}S^{2))$

Az ábra azt a folyamatot mutatja, amikor egy érintővektort mozgatunk egy geodetikusan pontról pontra , pontról pontra és pontról pontra . Figyeljük meg, hogy egy oldal mentén haladva az átvitt vektor és az erre az oldalra eső érintővektor által alkotott szög nem változik, és a csúcsnál hozzáadódik az ezen a csúcson lévő külső szög értéke. Így a szög összesen -val halmozódik fel , ahol gömbhibát jelöl ( egy gömbháromszög szögeinek összegének eltérése -tól ), és mivel a határ érintővektora is gördül -el , a bezárt érintővektor kumulatív eltérése eredeti érintővektora . Mint ismeretes, a gömbhiba arányos a háromszög területével, így a holonómiacsoport ebben az esetben egyszerűen az összes lehetséges szögön átívelő forgáscsoport lesz. $A$ $N$ $N$ $B$ $B$ $A$ ${\displaystyle \pi -\alpha _{i))$ $3\pi -(\alpha +\beta +\gamma )=2\pi -\delta$ $\delta$ $\pi$ $2\pi$ $\delta$

Ez a hatás a való életben is megfigyelhető, például amikor a giroszkópok eltérnek a helyzetüktől , miután elhaladtak egy olyan útvonalon, amely a Föld felszínének kellően nagy területét foglalja magában. A holonómia jelenségének további többé-kevésbé klasszikus megnyilvánulásai a Berry-fázis és az Aharonov-Bohm-effektus .

Holonómia és görbület

Magasabb dimenzió esetén természetesen a holonómia pálya menti transzformációja nem írható le egyetlen számmal, mert a -dimenziós tér ortogonális elforgatásai együtthatókat igényelnek az egyedi hozzárendelésükhöz. Ennek ellenére továbbra is csoportot alkotnak. A Levi-Civita kapcsolat (vagy általában egy metrikus kapcsolat) esetén egy orientálható elosztón ez egy alcsoport , általában az egész. Riemann holonómiacsoportnak hívják . $n$ $n(n-1)/2$ $G=\mathrm {SO} (n)$

Ha az utat egy pontra szűkítjük, akkor a holonómia transzformáció az azonos transzformációra hajlik . Ha egy végtelenül kicsi oldalú paralelogrammára törekszünk , akkor a holonómiatranszformáció olyan transzformációra hajlamos, amely végtelenül közel áll az azonossághoz. De definíció szerint, ha , ahol elhanyagolható (vagy formálisan szólva egy nilpotens gyűrű felett ), akkor hol van a csoport Lie algebrája . Ebben az esetben ezt az algebrát holonómia-algebrának nevezik , és jelölése . Másrészt a "párhuzamos bezárás egy végtelenül kicsi paralelogramma köré" operátor, amely megmutatja, hogy a párhuzamos átviteli operátorok meddig nem ingáznak két vektor mentén, egyszerűen görbület . $\gamma$ $x$ ${\displaystyle p_{\gamma ))$ $\mathrm {Id} _{E_{x}}$ $\gamma$ $u,v\in T_{x}$ $\mathrm {Id} _{E_{x}}+\varepsilon \Theta _{u,v}$ $\mathrm {Id} _{E_{x}}+\varepsilon \Theta _{u,v}\in G$ $\varepsilon$ $\mathbb {R} [\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2})$ $\Theta _{u,v}\in {\mathfrak {g))$ $\mathfrak{g}$ $G$ ${\mathfrak {hol}}(\nabla )$ ${\displaystyle \Theta _{u,v))$

Tétel ( Ambrose , Singer ): A holonómia-algebrát a görbületi tenzor értékei generálják az összes lehetséges érintővektorpáron.

A holonómia elve

Ha van egy vektorköteg kapcsolással , és a pontban meghatározott tenzor , akkor megpróbálhatjuk párhuzamos fordítással kiterjeszteni a sokaság összes többi pontjára a -ból származó kapcsolat segítségével . Az eredményül kapott tenzormező automatikusan párhuzamos lesz a kapcsolattal . Ahhoz azonban, hogy ez a művelet helyes legyen, függetlennek kell lennie az útválasztástól; más szóval, akármilyen zárt útról indulunk is önmagunkba, a párhuzamos transzfernek ezen keresztül vissza kell térnie önmagába. Ez azt jelenti, hogy a holonómiacsoport tenzorábrázolásában van egy invariáns vektor. $E\to X$ $\nabla$ ${\displaystyle \eta _{x}\in E_{x}^{\otimes k}\otimes (E_{x}^{*})^{\otimes l))$ $x$ $\nabla$ $x$ $\nabla$ $x$ $\eta _{x}$ $\eta _{x}$

Holonómiaelv : a konnektivitással párhuzamos tenzormezők egytől egyig megfelelnek a holonómiareprezentáció tenzorhatványának invariánsainak $\nabla$ $\nabla$

Vegyük például az egységes mátrixok alcsoportját . Ennek a csoportnak van egy invariáns tenzora -ben , nevezetesen az in -nel való szorzás operátora ( ez egy 90°-os elforgatás). Ezért, ha egy -dimenziós Riemann-sokaságnak Riemann-féle holonómiacsoportja van -ben , akkor 90°-os elforgatási mezőt (vagyis érintőköteg endomorfizmust a tulajdonsággal ) enged meg, ami szinte összetett szerkezetként fogható fel . Sőt, mivel a Levi-Civita kapcsolat torziómentes , a Newlander-Nirenberg tételből az következik, hogy ez a struktúra integrálható, azaz a lokális holomorf térképeket engedi be ben . Hasonlóképpen a csoportreprezentációnak is van egy fix vektora, a Hermitiánus pontszorzat ferdeségszimmetrikus része . Így egy -dimenziós Riemann-féle sokaságon, amelynek holonómiája benne van , a Levi-Civita kapcsolathoz képest nincs sehol degenerált 2-forma párhuzamos (amely a fent leírt metrikával és operátorral fejezhető ki a szabványos képlettel Hermitikus terek A csavarodás nélküli kapcsolattal párhuzamos differenciálformák zártak, így egy ilyen sokaság szimplektikus.A három konzisztens szerkezetű sokaságot - egy Riemann-féle metrika, egy szimplektikus forma és egy összetett szerkezet - Kähleri-nek nevezik. A Kähleri-féle sokaság meghatározásának legrövidebb módja, ha azt mondjuk, hogy ez egy Riemann- dimenziós sokaság, egy Riemann-csoport, amelynek holonómiája benne van . Minden geometriai szerkezetet ebből kapunk a holonómia elve alapján. $\mathrm {U} (n)\subset \mathrm {SO} (2n)$ $\mathbb {R} ^{2n}\otimes (\mathbb {R} ^{2n})^{*}$ ${\sqrt {-1}}$ $\mathbb {C} ^{n}\simeq \mathbb {R} ^{2n}$ $\mathbb{R} ^{{2n}}$ $2n$ $\mathrm {U} (n)$ $én$ $I^{2}=-\mathrm {Id} _{TX}$ $\mathbb{C} ^{n}$ $\Lambda ^{2}(\mathbb {R} ^{2n})^{*}$ $\mathrm {U} (n)\subset \mathrm {SO} (2n)$ $n$ $\mathrm {U} (n)$ $\omega$ $g$ $én$ $\omega (x,y)=g(x,Iy)$ $d\omega =0$ $2n$ $\mathrm {U} (n)$

A holonómia elvének van egy másik fontos alkalmazása is. Nevezetesen tegyük fel, hogy a Riemann-holonómia reprezentációja redukálható . Ekkor az érintőtér megfelelő felosztása kiterjeszthető az összes többi pontra. Két egymásra merőleges alköteget kapunk . Sőt, mivel ezek az alkötegek torziómentes kapcsolattal vannak megőrizve, integrált lapokat engednek be, azaz lokálisan az elosztó egy merőleges közvetlen szorzatra bomlik. A tóruszon két, egymásra merőleges, mindenütt sűrű foliáció világossá teszi, hogy globálisan általában nincs ilyen bomlás; azonban a következő $T_{x}=T'_{x}\oplus T''_{x}$ $T',T''\Subset T$

Tétel ( J. de Ram ). Egy egyszerűen összekapcsolt sokaságon redukálható Riemann-féle holonómia-reprezentációval párhuzamos foliációk határozzák meg a dekompozíciót ortogonális derékszögű szorzatra.

Berge asztala

A de Rham-féle dekompozíciós tétel értelmében egy kompakt, egyszerűen összekötött sokaság bármely metrikáját kombinálják a metrikákból a Riemann-holonómia irreducibilis reprezentációjával, így ezek érdekesek a geometriák számára.

A homogén terekre vonatkozó invariáns metrikák sokféle holonómiacsoport szervezését teszik lehetővé. Az ilyen metrikák leírása nem triviális probléma a Lie algebrák elméletében. Ha azonban olyan geometriai kérdésekre vagyunk kíváncsiak, amelyek nem redukálhatók algebrára, akkor fontos számunkra, hogy egy nem homogén metrikára legyen $G/H$

Simons Alternative . Egy Lie-csoport a maga ortogonális reprezentációjával létrejöhet Riemann-holonómia-csoportként és Riemann-holonómia-reprezentációként olyan metrikára, amely nem lokálisan szimmetrikus , mindaddig, amíg ez a csoport tranzitív módon hat egységnyi hosszúságú vektorokra.

Így egy nemszimmetrikus metrika Riemann-féle holonómiacsoportja tranzitívan hat a gömbre. Az ilyen csoportok teljes mértékben besoroltak. Nem mindegyik valósítható meg nem szimmetrikus metrika holonómiacsoportjaként: például egy holonómiájú metrika , amint azt D. V. Alekseevskii mutatja , kovariánsan állandó görbületi tenzorral kell rendelkeznie, és egy ilyen tulajdonságú metrika lokálisan szimmetrikus a Cartan-Ambrose-Hicks tétel . A csoport egyáltalán nem keletkezhet holonómiacsoportként. A fennmaradó csoportokat egy táblázat foglalja össze, amelyet először M. Berger írt le : $\mathrm {Spin} (9)\subset \mathrm {SO} (16)$ $T\cdot \mathrm {Sp} (n)\subset \mathrm {SO} (4n)$

$\mathrm {Hol}$	$\homályos$	geometria	jegyzetek
${\mathrm {SO}}(n)$	$n$	általános Riemann-féle sokaság
$\mathrm {U} (n)$	$2n$	Kähler elosztó	Riemann, szimplektikus, összetett
${\mathrm {SU}}(n)$	$2n$	Calabi-Yau elosztó	ricci-lapos , kähler
$\mathrm {Sp} (1)\mathrm {Sp} (n)$	$4n$	kvaternió-Kähleri sokaság	Einsteini , de nem Kähleri
$\mathrm {Sp} (n)$	$4n$	hyperkähler elosztó	Ricci-lapos, Kählerian (három különböző összetett szerkezethez)
${\displaystyle \mathrm {G} _{2))$	7	${\displaystyle \mathrm {G} _{2))$ -elosztó	ricci-lapos
$\mathrm {Spin} (7)$	nyolc	Spin(7)-elosztó	ricci-lapos

Az utolsó oszlopban felsorolt információk a holonómiaelvből és a megfelelő holonómiareprezentációk egyes tenzorhatványai invariánsainak eltűnéséből is következnek. Ebből a táblázatból nem lehet kizárni a kvaternió-Kähler sokaságokat abban a szellemben, ahogy Alekszejevszkij kizárta a -változatokat (amelyek Berger táblázatának korai változatában szerepeltek); hipotetikusan azonban mindegyik lokálisan szimmetrikus. Minden más esetben vannak példák nem lokálisan szimmetrikus metrikákra. $\mathrm {Spin} (9)$

Kapcsolatok holonómiája és a nem holonóm kapcsolatokkal rendelkező rendszerek közötti kapcsolat

A geometriában a "holonómia" szót először Eli Cartan használta 1926-ban, amikor a szimmetrikus tereket osztályozta. Maga a szó azonban jóval régebbi, és eredeti jelentésében a mai napig fennmaradt a „ nemholonóm mechanika ” kifejezésben. Poinsot vezette be olyan mechanikai rendszerek leírására, amelyekben a mennyiségek deriváltjainak egyenletei redukálhatók maguknak a mennyiségeknek az egyenleteire - vagy a mechanikát geometriára redukálva érintősíkok fázistérbeli eloszlásaira, amelyekre a függvények szintfelületei meghatározhatók. azt találta, hogy azonos mérettel rendelkeznek. Az ilyen eloszlásokat most integrálhatónak nevezzük (mind az egész szám gyök, mind a ὅλος „egész”). Ennek megfelelően a nemholonom rendszerek azok, amelyekben a megengedett vektormezők mentén haladva végül olyan irányba lehet elmozdulni, amely nem teljesíti a pillanatnyi mennyiségváltozások egyenletét. A nullától eltérő görbületű (és ennélfogva holonómiás) kapcsolatok pontosan ilyen eloszlást határoznak meg azon kötegek teljes terében, amelyekben adottak: az elosztón egy zárt út a teljes térben vízszintes pályára emelkedik, amely ponttól indul és pontban végződik . Pontosan ez a transzverzális irány eltolódása, amikor a holonómiacsoport nem triviális; ha triviális (vagyis a rendszer holonom), akkor az összes lehetséges út emelkedése határozza meg az integrál alsokaság feletti teljes térben minden kezdeti értéknél; ezek az alsokaságok (pontosabban azok a függvények, amelyek síkfelületei) a mechanikában megfelelnek a holonomikus rendszerekre vonatkozó megmaradási törvényeknek. $\gamma$ $v\in E_{x}$ $p_{\gamma }(v)\in E_{x}$

Érdekes módon, ahogyan történetileg a „monodrómia” kifejezés egy olyan helyzetre utalt, amelyben az általunk ma monodrómiacsoportnak nevezett csoport eltűnt (és etimológiailag helyesebb lenne az allodrómia szót használni ), a „holonómia” kifejezés eredetileg olyan helyzetet jelentett, amelyben a holonómia triviális. Ez azonban általános igazságtalanság a matematikában: például az Euler-karakterisztika mindig egyenlő volt kettővel, és nem jellemez semmit; mint topológiai invariáns, joggal nevezhetjük Lhuillier karakterisztikának .

Linkek

Vektor kötegek, 8. előadás: holonómia csoport , Misha Verbitsky , 2013. november 18.
Golwala, S. (2007), Lecture Notes on Classical Mechanics for Physics 106ab , < http://www.astro.caltech.edu/~golwala/ph106ab/ph106ab_notes.pdf >