Geodéziai

Geodéziai (szintén geodéziai vonal ) - egy bizonyos típusú görbe , az " egyenes vonal " fogalmának általánosítása ívelt terekre.

A geodéziai vonal konkrét meghatározása a tér típusától függ. Például egy euklideszi háromdimenziós térbe ágyazott kétdimenziós felületen a geodéziai vonalak olyan vonalak, amelyeknek kellően kicsi ívei a legrövidebb út végeik között ezen a felületen. Síkon ezek egyenesek, körhengeren csavarvonalak , egyenes vonalú generátorok és körök , nagykörök gömbívei .

A geodéziai vonalakat aktívan használják a relativisztikus fizikában . Tehát egy teszttest az általános relativitáselméletben a téridő geodéziai vonala mentén mozog . Lényegében az összes Lagrange-rendszer időbeli fejlődése egy geodetikus mozgásnak tekinthető egy speciális térben. A szelvénymezők egész elmélete ábrázolható így .

Differenciálgeometria

Elosztók affin csatlakozással

Az affin kapcsolatú elosztókban a geodetikus egy olyan görbe , amely kielégíti az egyenletet $\nabla$ $\gamma (t)$

\nabla _{\pont {\gamma }}{\pont {\gamma }}=0.

Koordináta formában ez az egyenlet Christoffel-szimbólumokkal átírható :

{\frac {d^{2}x^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{~\mu \nu }^{\lambda }{\frac {dx^{ \mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}=0,

hol vannak a görbe koordinátái. $x^{\mu }(t)$

Más szóval, egy görbe akkor geodéziai, ha egy párhuzamosan átvitt vektor, amely a kiindulási pontban érintette a görbét, mindenütt érintő marad.

Riemann és pszeudo-Riemann sokaság

Riemann és pszeudo-riemann terekben a geodéziát az energiaintegrál kritikus görbéjeként definiálják :

E(\gamma )=\int \limits _{\gamma }g{\big (}\gamma (t),{\pont {\gamma }}(t){\big )}\,dt,

itt van egy térbeli görbe, a metrika . (A fizikában ezt az integrált általában cselekvési integrálnak nevezik .) $\gamma (t)$ $g$

Ez a feltétel egyenértékű:

\nabla _{{{\pont \gamma }}}{\pont \gamma }=0

a teljes görbe mentén, ahol a Levi-Civita kapcsolatot jelöli . $\nabla$

Metrikus geometria

A metrikus terekben a geodetikus egy lokálisan legrövidebb út , egységes paraméterezéssel (gyakran természetes paraméterrel ).

A Gauss-lemma szerint a Riemann-féle sokaságok esetében ez a definíció ugyanazt a görbeosztályt határozza meg, mint a fenti differenciálgeometriai definíció.

Használata a fizikában

A geodéziai vonalakat aktívan használják a relativisztikus fizikában. Például egy szabadon eső töltetlen próbatest pályája az általános relativitáselméletben és általában a gravitációs metrikus elméletekben a legnagyobb megfelelő idő geodéziai vonala , vagyis a testtel együtt mozgó órák által mért idő.

Gyakran előfordul, hogy egy fizikai elmélet, amelynek van cselekvése vagy hamiltoni formában van kifejezve, úgy fogalmazható meg, mint a geodetikus megtalálás problémája valamilyen Riemann- vagy pszeudo-Riemann-féle sokaságon.

Lásd még

Irodalom

Grave D. A. Geodéziai vonal // Brockhaus és Efron enciklopédikus szótára : 86 kötetben (82 kötet és további 4 kötet). - Szentpétervár. , 1890-1907.
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Modern geometria. - Bármilyen kiadás.
Mishchenko A. S., Fomenko A. T. . Differenciálgeometria és topológia tantárgy. - Bármilyen kiadás.
Posztnyikov M. M. . Geodézia variációs elmélete. - Bármilyen kiadás.
A. V. Csernavszkij . Differenciálgeometria, 2 tantárgy .