Gilbraith hipotézise

Gilbraith sejtése egy számelméleti hipotézis , miszerint ha veszünk egy prímszámsorozatot, és iteratív módon alkalmazzuk rá a differenciaoperátort , akkor az egyes lépésekben kapott sorozatok mindig 1-gyel fognak kezdődni. A sejtés azután vált hírnevet 1958-ban publikálta Norman Gilbraith [1] . François Prot azonban már 1878-ban közzétette ugyanennek a sejtésnek a feltételezett bizonyítékát, amely, mint kiderült, téves volt [1] .

A hipotézis eredete

Tekintsünk prímszámok sorozatát

{\megjelenítési stílus 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,\pontok }

Számítsuk ki az egyes szomszédos tagpárok közötti különbségek abszolút értékét , és írjuk ki a kapott sorozatot:

{\megjelenítési stílus 1,2,2,4,2,4,2,4,6,2,\pontok }

Folytatva ezt a műveletet minden egyes kapott új sorozatra, a következőket kapjuk:

{\megjelenítési stílus 1,0,2,2,2,2,2,2,4,\pontok }

{\megjelenítési stílus 1,2,0,0,0,0,0,2,\pontok }

{\megjelenítési stílus 1,2,0,0,0,0,2,\pontok }

{\megjelenítési stílus 1,2,0,0,0,2,\pontok }

{\megjelenítési stílus 1,2,0,0,2,\pontok }

Látjuk, hogy minden sorozat első eleme . $egy$

Hipotézis

Könnyebb megfogalmazni a Gilbraith-sejtést, ha bevezetünk néhány jelölést az előző rész sorozataira. jelölje a prímszámok rendezett sorozatát , és határozza meg a sorozat tagjait : $\{p_{n}\}$ $p_{n}$ $\{d_{n}\}$

{\displaystyle d_{n}=p_{n+1}-p_{n))

ahol n természetes. Azt is figyelembe vesszük, hogy minden természetes esetén a sorozatot a képlettel határozzuk meg $\{d_{n}\}=\{d_{n}^{1}\}$ $k>1$ $\{d_{n}^{k}\}$

d_{n}^{k}=|d_{n+1}^{k-1}-d_{n}^{k-1}|

(itt - ez nem diploma, hanem felső index) $k$

A Gilbraith-sejtés kimondja, hogy a sorozat minden tagja egyenlő -vel . ${\displaystyle a_{k}=d_{1}^{k))$ $egy$

Ellenőrzés és bizonyítási kísérletek

2011-ig nem volt megfelelő publikált bizonyíték a sejtésre. Ahogy a bevezetőben említettük, Prot állításra, de később kiderült, hogy téves Andrew Odlyzhko 1993-ban ellenőrizte, hogy ez mindenkinek 1 [2] , de a sejtés továbbra is nyitott probléma. Ahelyett, hogy a táblázat összes sorát kiszámolta volna, Odlyzhko 635 sort számolt ki, és azt találta, hogy a 635. sor 1-től kezdődik, és tovább egészen a -edik elemig csak a 0 és a 2 számokból áll. Ebből következik, hogy az összes következő sor egytől kezdődik. ${\displaystyle d_{1}^{k))$ $k\leqslant n=3{,}4\cdot 10^{11}$ $n$ $n$ $n$

Sorozatok prímszámokhoz 150-ig

Az alábbi táblázatban a nullák zölddel, az egyesek pirossal, a kettesek kékkel, a többi szám pedig szürkével vannak kiemelve. A hipotézis lényege, hogy a szürke terület soha nem éri el az egyesek piros oszlopát.

2	3	5	7	tizenegy	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	53	59	61	67	71	73	79	83	89	97	101	103	107	109	113	127	131	137	139	149
egy	2	2	négy	2	négy	2	négy	6	2	6	négy	2	négy	6	6	2	6	négy	2	6	négy	6	nyolc	négy	2	négy	2	négy	tizennégy	négy	6	2	tíz
egy	0	2	2	2	2	2	2	négy	négy	2	2	2	2	0	négy	négy	2	2	négy	2	2	2	négy	2	2	2	2	tíz	tíz	2	négy	nyolc
egy	2	0	0	0	0	0	2	0	2	0	0	0	2	négy	0	2	0	2	2	0	0	2	2	0	0	0	nyolc	0	nyolc	2	négy
egy	2	0	0	0	0	2	2	2	2	0	0	2	2	négy	2	2	2	0	2	0	2	0	2	0	0	nyolc	nyolc	nyolc	6	2
egy	2	0	0	0	2	0	0	0	2	0	2	0	2	2	0	0	2	2	2	2	2	2	2	0	nyolc	0	0	2	négy
egy	2	0	0	2	2	0	0	2	2	2	2	2	0	2	0	2	0	0	0	0	0	0	2	nyolc	nyolc	0	2	2
egy	2	0	2	0	2	0	2	0	0	0	0	2	2	2	2	2	0	0	0	0	0	2	6	0	nyolc	2	0
egy	2	2	2	2	2	2	2	0	0	0	2	0	0	0	0	2	0	0	0	0	2	négy	6	nyolc	6	2
egy	0	0	0	0	0	0	2	0	0	2	2	0	0	0	2	2	0	0	0	2	2	2	2	2	négy
egy	0	0	0	0	0	2	2	0	2	0	2	0	0	2	0	2	0	0	2	0	0	0	0	2
egy	0	0	0	0	2	0	2	2	2	2	2	0	2	2	2	2	0	2	2	0	0	0	2
egy	0	0	0	2	2	2	0	0	0	0	2	2	0	0	0	2	2	0	2	0	0	2
egy	0	0	2	0	0	2	0	0	0	2	0	2	0	0	2	0	2	2	2	0	2
egy	0	2	2	0	2	2	0	0	2	2	2	2	0	2	2	2	0	0	2	2
egy	2	0	2	2	0	2	0	2	0	0	0	2	2	0	0	2	0	2	0
egy	2	2	0	2	2	2	2	2	0	0	2	0	2	0	2	2	2	2
egy	0	2	2	0	0	0	0	2	0	2	2	2	2	2	0	0	0
egy	2	0	2	0	0	0	2	2	2	0	0	0	0	2	0	0
egy	2	2	2	0	0	2	0	0	2	0	0	0	2	2	0
egy	0	0	2	0	2	2	0	2	2	0	0	2	0	2
egy	0	2	2	2	0	2	2	0	2	0	2	2	2
egy	2	0	0	2	2	0	2	2	2	2	0	0
egy	2	0	2	0	2	2	0	0	0	2	0
egy	2	2	2	2	0	2	0	0	2	2
egy	0	0	0	2	2	2	0	2	0
egy	0	0	2	0	0	2	2	2
egy	0	2	2	0	2	0	0
egy	2	0	2	2	2	0
egy	2	2	0	0	2
egy	0	2	0	2
egy	2	2	2
egy	0	0
egy	0
egy

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 Caldwell, Chris, The Prime Glossary: Gilbreath's conjecture , < http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=GilbreathsConjecture > Archiválva 2012. március 24-én a Wayback Machine -nél .
↑ Odlyzko, AM (1993), Az egymást követő prímszámok különbségeinek iterált abszolút értékei , Mathematics of Computation 61. kötet: 373–380 , < http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/doc/arch/ gilbreath.conj.ps > Archiválva : 2011. szeptember 27. a Wayback Machine -nál .

Irodalom

V. Serpinsky . Mit tudunk és mit nem tudunk a prímszámokról. - L., FizMatLit, 1963.

Linkek

Weisstein, Eric W. Gilbraith Sejtés a Wolfram MathWorldnél .

Hipotézisek prímszámokról _
Hipotézisek	Hardy – Littlewood Ago - Jugi Andritsy Artina Bateman-Horn hipotézis Brocard Bunyakovszkij Kínai hipotézis Kramer Dixon Elliot-Halberstam Firuzbekht Gilbraith Grimm Landau problémák Goldbach Legendre Ikerszámok Legendre állandó Lemoine Mersenne Opperman Polignac Poyi Redmond – Sunya Hipotézis H Waringa