Valós 2 × 2 mátrixok

A 2 × 2 valós mátrixok asszociatív algebráját jelöli . A két p és q in mátrixnak mátrixösszeadással meghatározott összege van . A p q mátrixok szorzatát a sorok és a tényezők oszlopának skaláris szorzata képezi a mátrixszorzás műveletével . Mert $M(2,\mathbb {R} )$ $M(2,\mathbb {R} )$ $p+q$

q={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix)),

hagyja

\quad q^{*}={\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}.

Ekkor hol van a 2 × 2 azonosságmátrix. A valós számot a q mátrix determinánsának nevezzük . Ha , q nem szinguláris mátrix , mely esetben $qq^{*}=q^{*}q=(ad-bc)E$ $E$ $ad-bc$ $ad-bc\neq 0$

q^{-1}=q^{*}\,/\,(ad-bc).

Az összes ilyen invertálható mátrix halmaza alkotja a teljes lineáris csoportot . Az absztrakt algebra szempontjából az összeadás és szorzás műveletei egy gyűrűt alkotnak , és annak egységcsoportját alkotják . egy négydimenziós vektortér , ezért ez az algebra asszociatívnak tekinthető . Izomorf (mint egy gyűrű) a koquaterniókhoz , de más szerkezetű. $GL(2,\mathbb {R} )$ $M(2,\mathbb {R} )$ $GL(2,\mathbb {R} )$ $M(2,\mathbb {R} )$

2 × 2 valós mátrix egy az egyhez megfelelésben van egy kétdimenziós téglalap alakú koordinátarendszer lineáris leképezésével a szabály szerint

{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{ pmatrix}}={\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}}.

Szerkezet

Belsőleg az E azonosságmátrix valós számokkal való szorzása tekinthető valós egyenesnek . Ez az igazi vonal az a hely, ahol az összes kommutatív algyűrű találkozik: $M(2,\mathbb {R} )$

Hadd hol . Ezután egy kommutatív részgyűrű és , ahol az unió minden m -en keresztül történik úgy, hogy . ${\displaystyle P_{m}=\{xE+ym:x,y\in \mathbb {R} \))$ ${\displaystyle m^{2}\in \{-E,0,E\))$ ${\displaystyle P_{m))$ ${\displaystyle M(2,\mathbb {R} )=\pohár P_{m))$ ${\displaystyle m^{2}\in \{-E,0,E\))$

Az ilyen m mátrixok azonosításához először négyzetre emelünk egy általános alakú mátrixot:

{\begin{pmatrix}aa+bc&ab+bd\\ac+cd&bc+dd\end{pmatrix}}

Ha a + d = 0, ez a mátrix átlóssá válik . Ekkor d = − a -t feltételezünk, amikor kommutatív részgyűrűket alkotó m mátrixokat keresünk. Ha , akkor megkapjuk egy hiperbolikus paraboloid egyenletét a paraméterek terén . Egy ilyen m mátrix képzeletbeli egységként működik . Ebben az esetben az algyűrű izomorf a (közönséges) komplex számok mezőjével . $mm=-E$ $bc=-1-aa$ $(ABC)$ ${\displaystyle P_{m))$

Ha , az m mátrix involúciós mátrix . Ekkor az egyenlet egy hiperbolikus paraboloidot is ad. Ha a mátrix idempotens , akkor P m - ben kell lennie , ebben az esetben a P m részgyűrű izomorf a kettősek gyűrűjével . $mm=+E$ $bc=+1-aa$

Nilpotens mátrix esetén mm = 0 akkor kapunk, ha a b vagy c értékek közül csak az egyik nem egyenlő nullával, és a P m kommutatív részgyűrű a kettős számok síkjának másolata .

Ha bázismódosítással transzformáljuk , ez a struktúra osztott kvaterniós struktúrává változik, ahol E és -E négyzetgyökeinek halmazai ugyanolyan alakúak, mint a hiperboloidok . $M(2,\mathbb {R} )$

Területmegőrző térképezés

Az első leképezés leképezi az egyik differenciálvektort a másikra:

{\begin{pmatrix}du\\dv\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p&r\\q&s\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}dx\\dy\end{pmatrix }}={\begin{pmatrix}p\,dx+r\,dy\\q\,dx+s\,dy\end{pmatrix}}.

A területeket a sűrűséggel mérik , ez egy 2-es differenciálforma , amely külső algebrát használ . Az átszámított sűrűség az $dx\wedge dy$

{\begin{aligned}du\wedge dv&{}=0+ps\ dx\wedge dy+qr\ dy\wedge dx+0\\&{}=(ps-qr)\ dx\wedge dy= (\det g)\ dx\wedge dy.\end{aligned}}

Ekkor a területmegtartó leképezések egy csoport , egy speciális lineáris csoport . A fenti struktúrát figyelembe véve minden ilyen g egy P m kommutatív részgyűrűben van, amely egyfajta komplex sík, amely megfelel az m négyzetnek . Mivel , három lehetőség van: $SL(2,\mathbb {R} )$ ${\displaystyle =\{g\in M(2,\mathbb {R} ):det(g)=1\))$ $gg^{*}=E$

$mm=-E$ és g az euklideszi forgási körön fekszik
$mm=E$ és g az összehúzódási leképezési hiperbolán fekszik
$mm=0$ és g az eltolási térképek vonalán fekszik

A síkbeli affin leképezésekről tárgyalva Rafael Artzi Linear Geometry (1965) című könyvében hasonló felosztást végzett a síkbeli lineáris leképezés eseteiről .

Függvények 2×2 valós mátrixokon

Az algebra kommutatív részgyűrűi határozzák meg a függvényelméletet. A három alsíktípusnak saját algebrai struktúrája van, amelyek meghatározzák az algebrai kifejezések jelentését. A "négyzetgyök" és a "logfüggvény" függvényekre vonatkozó konvenciók segítenek szemléltetni azokat a korlátokat, amelyek a fent leírt Pm alsíkok egyes típusainak tulajdonságaiból következnek. A P m részgyűrű egységcsoportjának identitáskomponensének fogalma az egységcsoport elemeinek poláris dekompozíciójához vezet : $M(2,\mathbb {R} )$

Ha , akkor . $mm=-E$ $z=\rho \exp({\theta }m)$
Ha , akkor vagy . $mm=0$ $z=\rho \exp(sm)$ $z=-\rho \exp(sm)$
Ha , akkor , vagy vagy vagy . $mm=E$ $z=\rho \exp(am)$ $z=-\rho \exp(am)$ $z=m\rho \exp(am)$ $z=-m\rho \exp(am)$

Az első esetben . Kettős számok esetén . Végül a felosztott komplex számok esetében az egyesek csoportjában négy komponens található. Az egységkomponenst a ρ és változó paraméterezi . $\exp(\theta m)=\cos(\theta )+m\sin(\theta )$ $\exp(sm)=1+sm$ $\exp(am)=\mathrm {ch} \,a+m\mathrm {sh} \,a$

Márpedig a P m alsíktól függetlenül , de a függvény argumentumait az egyesek csoportjának azonosságkomponenséből kell venni . A kettős számok szerkezete esetén a sík fele elvész. Dupla számokból álló szerkezet esetén a sík háromnegyedét ki kell zárni. ${\sqrt {\rho \exp(am)}}={\sqrt {\rho }}\exp(am/2)$

Hasonlóképpen, ha az m 2 × 2 mátrixhoz tartozó sík egységcsoportjának azonossági komponensének eleme , akkor a logaritmikus függvény értéke . A logaritmikus függvény definíciós tartományára ugyanazok a megszorítások vonatkoznak, mint a fentebb leírt "négyzetgyök" függvényre - P m felét vagy háromnegyedét ki kell zárni azokban az esetekben, amikor mm = 0 vagy . $\rho \exp(am)$ $\log \rho+am$ $mm=E$

A szerkezet elméletének további leírása a " Komplex függvények " cikkben, az osztott komplex számok szerkezetére pedig a Motor változó cikkben található . $\mathbb {C}$

2×2 valós mátrixok komplex számként

Bármely 2 × 2 valós mátrix értelmezhető a háromféle (általánosított [1] ) komplex szám egyikeként – standard komplex számok , kettős számok és osztott komplex számok . A fentiekben a 2 × 2 mátrixok algebrája ugyanazt a valós tengelyt megosztó komplex síkok uniójaként strukturált. Ezeket a síkokat P m kommutatív részgyűrűiként ábrázoljuk . Meghatározhatjuk, hogy egy adott 2 × 2 -es mátrix melyik komplex síkhoz tartozik, és osztályozhatjuk, hogy egy adott sík milyen komplex számokat reprezentál.

Vegyünk egy 2 × 2 mátrixot

z={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}.

A z mátrixot tartalmazó P m komplex síkot keresünk .

Ahogy fentebb megjegyeztük, a z mátrix négyzete átlós, ha a + d = 0. A z mátrixot az együtthatós E azonosságmátrix és az a + d = 0 hipersíkon lévő mátrix összegeként kell kifejezni. mindezeket az altereket megkapjuk $\R^4$

z=xI+n,\quad x={\frac {a+d}{2)),\quad n=z-xI.

Továbbá,

n^{2}=pi

, hol .

p={\frac {(ad)^{2}}{4}}+bc

Ekkor z a komplex számok három típusának egyikéhez tartozik:

Ha p < 0, akkor ez egy közönséges komplex szám :

Hadd . Akkor .

q=1/{\sqrt {-p)),\quad m=qn

m^{2}=-I,\quad z=xI+m{\sqrt {-p))

Ha p = 0, akkor ez egy kettős szám :

z=xI+n

Ha p > 0, akkor z kettős :

Hadd . Akkor .

q=1/{\sqrt {p)),\quad m=qn

m^{2}=+I,\quad z=xI+m{\sqrt {p))

Hasonlóképpen 2 × 2 is kifejezhető polárkoordinátákkal , feltéve, hogy az egyesek csoportjának két összefüggő komponense van a kettős számok síkján és négy összetevője a kettős számok síkján.

Jegyzetek

↑ Harkin, Harkin, 2004 , p. 118–29.

Irodalom

Rafael Artzy. 2-6. fejezet A síkbeli affin csoport alcsoportjai a valós mező felett // Lineáris geometria . - Addison-Wesley , 1965. - S. 94 .
Helmut Karzel, Gunter Kist. Kinematikai algebrák és geometriáik // Gyűrűk és geometria / R. Kaya, P. Plaumann, K. Strambach szerkesztők. - D. Reidel , 1985. - S. 437-509 (449-50). — ISBN 90-277-2112-2 .
Svetlana Katok. Fukszián csoportok. - University of Chicago Press , 1992. - S. 113ff. — ISBN 0-226-42582-7 .
Garret Sobczyk. 2. fejezet: Összetett és hiperbolikus számok // Új alapok a matematikában: A szám geometriai fogalma. - Birkhäuser, 2012. - ISBN 978-0-8176-8384-9 .
Anthony A. Harkin, Joseph B. Harkin. Általánosított összetett számok geometriája // Matematikai folyóirat . - 2004. - T. 77 , sz. 2 .