Algebra Clifford

A Clifford algebra az asszociatív egységalgebra egy speciális fajtája valamilyen kommutatív gyűrűn ( egy vektortér vagy általánosabban egy szabad -modul), amelynek néhány művelete ["szorzás"] egybeesik a -n megadott bilineáris alakkal . $Cl(E, Q(,))$ $K$ $E$ $K$ $E$ $K$

A konstrukció jelentése az E ⊕ K tér asszociatív kiterjesztése és a rajta végrehajtott szorzás úgy, hogy az utóbbi négyzete egybeesik az adott Q másodfokú alakkal. Először Clifford vette figyelembe . A Clifford-algebrák általánosítanak komplex számokat , parakomplex számokat és kettős számokat , valamint bikomplex számokat , kvaterniókat stb.: családjuk kimerítően lefedi az összes asszociatív hiperkomplex számot .

Formális definíció

Legyen egy kommutatív gyűrű identitással, legyen szabad K - modul , és legyen másodfokú alak a -n . A másodfokú alak (vagy pár ) Clifford-algebrája egy tenzoralgebra , -modul egy kétoldali ideál által alkotott hányados algebrája , amelyet a forma elemei generálnak. $K$ $E$ $K$ $E$ $K$ $(E, Q)$ $Cl(E, Q)$ $T(E)$ $K$ $E$

x\otimes xQ(x)1,~~x\in E

A -ból származó elemeket (vektorokat) , amelyek 1. rangú tenzorok , szintén elemeinek tekintjük , és a megfelelő leképezés a modulok monomorfizmusa (beágyazása): $E$ $Cl(Q)$

E \hookrightarrow Cl(Q)

Kommentár

Ha vannak valós vagy komplex számok mezői , akkor - lineáris tér , és az ilyen térben rejlő skaláris szorzatot használjuk minőségként . $K$ $E$ $Q(,)$

Példák valós és összetett algebrákra

Tulajdonságok

A Clifford-algebrák fő azonossága: ha a K gyűrű karakterisztikája nem egyenlő kettővel , akkor bármely : $x, y \-ben E$ $xy+yx=2\left\langle x,y\right\rangle$

ahol a Q másodfokú alaknak megfelelő szimmetrikus bilineáris forma :

\left\langle ,\right\rangle

\left\langle x,y\right\rangle := \frac{1}{2}\left( Q(x+y)-Q(x)-Q(y) \right)

kifejezést

antikommutátornak és . _

[x,y]:=xy+yx

x

y

A nulla másodfokú alak esetében az algebra megegyezik a -modul külső algebrájával . $K$ $Cl(E,Q)$ $\lambda(E)$ $K$ $E$
Legyen a -module valamilyen alapja , majd az űrlap elemei $e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}$ $K$ $E$ $1, e_{j_1}e_{j_2}\dots e_{j_k}\ (j_1<\pontok<j_k,$ minden k esetében 1-től n -ig ) vagy egyébként: ahol a -modul alapja . Különösen egy ingyenes -rangmodul (dimenzió) $e_1^{\sigma_1}e_2^{\sigma_2}\dots e_n^{\sigma_n}$ $\sigma_j = 0,1$ $K$ $Cl(Q)$ $Cl(Q)$ $K$ $2^{n}$
- Ha ezen kívül ortogonálisak -algebraként , generátorokkal és definiáló relációkkal , ( ) és . $e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}$ $K$ $Cl(Q)$ $K$ $1,e_1,e_2,\pontok,e_n$ $e_i e_j + e_j e_i = 0$ $i\not=j$ $e_i^2= Q(e_i,e_i)$
A Clifford algebra Z 2 - osztályú . Konkrétan egy -ben lévő részmodul , amelyet páros számú elem szorzatai generálnak -ból , egy algebrát képez -ben , amelyet -vel jelölünk . $Cl(Q)$ $E$ $Cl(Q)$ $Cl^+(Q)$
Legyen mező, és a másodfokú forma nem degenerált $K$ $Q(,)$
- akkor még n esetén is az algebra egy központi egyszerű algebra a dimenzió felett , az algebra elválasztható, és a középpontja a 2 feletti dimenzióval rendelkezik . $Cl(Q)$ $K$ $2^{n}$ $Cl^+(Q)$ $K$
Ha algebrailag zárt , akkor $K$
- mert még n is
mátrixalgebra , a két mátrixalgebra szorzata, $Cl(Q)$ $Cl^+(Q)$
mert a páratlan n éppen ellenkezőleg, mátrix, és két mátrixalgebra szorzata. $Cl^+(Q)$ $Cl(Q)$

Clifford-algebrák mátrixábrázolásai

A Dirac-egyenlet fontos példa a CL_3,1(ℝ) reprezentációk alkalmazására , amelyeket először Ettore Majorana tanulmányozott .

Irodalom

H. Blaine Lawson, Marie-Louise Michelsohn. spingeometria. – 1989.
Lounesto, Pertti (2001), Clifford algebrák és spinorok , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-00551-7 ( archiválva 2016. április 4- én a Wayback Machine -nél )
Ian R. Porteous "Clifford algebrák és a klasszikus csoportok" Cambridge, CUP , 1995. ISBN=978-0-521-55177-9
R. Jagannathan (2010), " Az általánosított Clifford-algebrákról és fizikai alkalmazásaikról Archivált 2014. november 29-én a Wayback Machine -nél "