Mozgóátlag

A mozgóátlag , mozgóátlag ( eng. mozgóátlag , MA ) egy olyan függvénycsalád általános neve, amelynek értékei minden definíciós pontban megegyeznek az előző időszak eredeti függvényének valamely átlagértékével .

A mozgóátlagokat általában az idősoros adatokkal együtt használják a rövid távú ingadozások kiegyenlítésére és a főbb trendek vagy ciklusok kiemelésére [1] [2] .

Matematikailag a mozgóátlag a konvolúció egy fajtája .

Alkalmazás

A mozgó átlagokat használjuk:

Statisztikában és közgazdaságtanban, számsorok (elsősorban idősorok ) simítására . Például a GDP , a foglalkoztatási ráták vagy más makrogazdasági mutatók becsléséhez .
Mérnöki területen , jelfeldolgozásban, rendszerelemzésben . Lásd mozgóátlag (szűrő) .
A technikai elemzésben , önálló műszaki mutatóként vagy más eszközök részeként lásd a mozgóátlagot (mutató) .

Etimológia

Mivel a mozgóátlag számításakor a függvény értékét minden alkalommal újra számítjuk [2] , miközben a véges szignifikáns [3] korábbi értékek halmazát figyelembe véve a mozgóátlag „mozog” (mozog), mintha „csúszna” ” az idősor mentén.

A mozgóátlagok típusai

Általános eset

Általában a súlyozott mozgóátlagokat a [2] képlet segítségével számítják ki :

{\textit {WWMA}}_{t}=\sum _{{i=0}}^{{n-1}}w_{{ti}}\cdot p_{{ti}},

(WWMA 1) ahol a súlyozott mozgóátlag értéke a pontban ;

{\textit {WWMA}}_{t}

t

n

- az eredeti függvény értékeinek száma a mozgóátlag kiszámításához;

w_{{ti}}

az eredeti függvény th értékének normalizált súlya (súlyegyütthatója) ;

ti

p_{{ti}}

az eredeti függvény értéke az időpillanatban, az aktuális függvénytől időközönként távol.

én

A súlytényezők normalizálása azt jelenti, hogy [2] :

\sum _{{i=0}}^{{n-1}}w_{{ti}}=1.

A fenti képlet a súlyegyütthatók tetszőleges értékeivel átírható:

{\textit {WWMA}}_{t}={\frac {\sum _{{i=0}}^{{n-1}}W_{{ti}}\cdot p_{{ti}}}{ \sum _{{i=0}}^{{n-1}}W_{{ti}}}},

(WWMA2) ahol a súlyozott mozgóátlag értéke a pontban ;

{\textit {WWMA}}_{t}

t

n

- az eredeti függvény értékeinek száma a mozgóátlag kiszámításához;

W_{{ti}}

az eredeti függvény th értékének súlya (súlyegyütthatója) ;

ti

p_{{ti}}

az eredeti függvény értéke az időpillanatban, az aktuális függvénytől időközönként távol.

én

A (WWMA 1) és (WWMA 2) képletek súlyegyütthatói a következőképpen kapcsolódnak egymáshoz:

w_{{ti}}={\frac {W_{{ti}}}{\sum _{{i=0}}^{{n-1}}W_{{ti}}}}.

Gyakran vagy 1-et használnak súlyként (egy egyszerű mozgóátlaghoz - SMA ), vagy formális sorozatként, például aritmetikai sorozatként ( WMA ) vagy exponenciális függvényként ( EMA ). De a kapcsolódó idősorok értékei súlyozási tényezőként is működhetnek. Például a csereárak tranzakciós volumen ( VMA ) szerinti súlyozásához az eszköz tranzakciós árát kell értéknek tekinteni, és az aktuális mennyiséget : $p_{{ti}}$ $W_{{ti}}=V_{{ti}}$ $ti$

{\textit {VMA}}_{t}={\frac {\sum _{{i=0}}^{{n-1}}V_{{{ti}}\cdot p_{{ti}}}{ \sum _{{i=0}}^{{n-1}}V_{{ti}}}}.

Egyszerű mozgóátlag

Az egyszerű mozgóátlag vagy aritmetikai mozgóátlag ( angol egyszerű mozgóátlag , angol SMA ) numerikusan egyenlő az eredeti függvény értékeinek számtani átlagával egy meghatározott időszakra [1] , és a következő képlettel számítják ki: [2 ] :

{\textit {SMA}}_{t}={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}p_{ti}=

={\frac {p_{t}+p_{t-1}+\cdots +p_{ti}+\cdots +p_{t-n+2}+p_{t-n+1}}{ n}},

ahol az egyszerű mozgóátlag értéke a pontban ;

{\textit {SMA}}_{t}

t

n

- az eredeti függvény értékeinek száma a mozgóátlag kiszámításához (simítási intervallum [1] ), minél szélesebb a simítási intervallum, annál simább a függvény grafikonja [1] ;

p_{{ti}}

pontban az eredeti függvény értéke .

ti

Az egyszerű mozgóátlag kapott értéke a kiválasztott intervallum közepére vonatkozik [1] , hagyományosan azonban az intervallum utolsó pontjára [2] .

Előző értékéből egyszerű mozgóátlagot kaphatunk a következő rekurzív képlettel [2] :

{\textit {SMA}}_{t}={\textit {SMA}}_{{t-1}}-{\frac {p_{{tn}}}{n}}+{\frac {p_{ {t}}}{n}},

ahol - az egyszerű mozgóátlag értéke a pontban , - az egyszerű mozgóátlag előző értéke;

{\textit {SMA}}_{t}

t

{\textit {SMA}}_{{t-1}}

p_{{tn}}

- az eredeti függvény értéke a pontban (idősor esetén az előző mozgóátlag kiszámításához használt eredeti függvény "legkorábbi" értéke);

tn

p_{{t}}

- a vizsgált függvény értéke a pontban (idősor esetén az aktuális érték az utolsó érték).

t

Ez a képlet kényelmesen használható, hogy elkerülje az összes érték rendszeres összegzését.

Például egy 10 periódusos idősor egyszerű mozgóátlagát a következőképpen számítjuk ki:

{\textit {SMA}}_{t}={\frac {p_{t}+p_{t-1}+p_{t-2}+p_{t-3}+p_{t-4 }+p_{t-5}+p_{t-6}+p_{t-7}+p_{t-8}+p_{t-9}}{10}}=

={\textit {SMA}}_{t-1}-{\frac {p_{t-10}}{10}}+{\frac {p_{t}}{10}},

ahol az egyszerű mozgóátlag értéke a pontban ;

{\textit {SMA}}_{t}

t

p_{{ti}}

az eredeti függvény értéke az időpillanatban, az aktuális függvénytől időközönként távol.

én

Az egyszerű mozgóátlagnak a következő hátrányai vannak [2] :

Egyenlőségi súlyozó tényező 1.
Dupla reakció minden értékre (lásd rekurzív képlet): a számítási ablakba való belépés pillanatában és az onnan való kilépés pillanatában.

Súlyozott mozgóátlagok

Általános rendelkezések

Néha, amikor mozgóátlagot készítünk, célszerű az eredeti függvény egyes értékeit jelentőségteljesebbé tenni. Például, ha feltételezzük, hogy a simítási intervallumon belül nemlineáris trend van [1] , vagy idősorok esetén a legutóbbi - frissebb - adatok jelentősebbek lehetnek, mint az előzőek.

Előfordul, hogy az eredeti függvény többdimenziós, azaz egyszerre több összefüggő sorozat reprezentálja. Ebben az esetben szükséges lehet az összes vett adat összevonása a végső mozgóátlag függvényben. Például a tőzsdei árak idősorait általában minden egyes időpillanatban legalább két érték képviseli - a tranzakciós ár és annak mennyisége. A mennyiséggel súlyozott mozgóátlagár kiszámításához eszközre van szükség.

Ezekben és hasonló esetekben súlyozott mozgóátlagokat használnak.

Súlyozott mozgóátlag

Súlyozott mozgóátlag ( eng. súlyozott mozgóátlag - eng. WMA ), pontosabban egy lineárisan súlyozott mozgóátlag - mozgóátlag, amelynek kiszámításakor az eredeti függvény minden tagjának súlya a legkisebbtől kezdve egyenlő a megfelelő értékkel. a számtani sorozat tagja . Azaz, amikor egy idősorra WMA-t számolunk, az eredeti függvény utolsó értékeit tekintjük szignifikánsabbnak az előzőeknél, a szignifikanciafüggvény pedig lineárisan csökken.

Például egy kezdeti értékkel és 1-gyel egyenlő lépésszámú aritmetikai sorozat esetén a mozgóátlag kiszámításának képlete a következő lesz : [2] :

{\textit {WMA}}_{t}={\frac {n\cdot p_{t}+(n-1)\cdot p_{t-1}+\cdots +(ni)\cdot p_ {ti}+\cdots +2\cdot p_{t-n+2}+1\cdot p_{t-n+1}}{n+(n-1)+\cdots +(ni)+\cdots +2 +1}}=

={\frac {2}{n\cdot (n+1)}}\sum _{i=0}^{n-1}(ni)\cdot p_{ti},

ahol a súlyozott mozgóátlag értéke a pontban ;

{\textit {WMA}}_{t}

t

n

— az eredeti függvény értékeinek száma a mozgóátlag kiszámításához, : : — az eredeti függvény értéke az aktuálistól intervallumonként távoli időintervallumban.

p_{{ti}}

én

Ebben az esetben a függvény nevezője ebben az esetben egyenlő egy háromszög számmal - egy kezdeti taggal és egy lépéssel 1-gyel egyenlő aritmetikai progresszió tagjainak összege:

{\frac {n\cdot (n+1)}{2}}.

Exponenciálisan súlyozott mozgóátlag

Exponenciálisan súlyozott mozgóátlag , exponenciálisan mozgó átlag ( eng. exponenciálisan súlyozott mozgóátlag - eng. EWMA , eng. exponenciális mozgóátlag - eng. EMA ) - a súlyozott mozgóátlag egy fajtája, amelynek súlya exponenciálisan csökken, és soha nem egyenlő nullával [3] . A következő képlet határozza meg: [1] [2] [4] [5] [6] :

{\textit {EMA}}_{t}=\alpha \cdot p_{t}+(1-\alpha )\cdot {\textit {EMA}}_{{t-1}},

ahol - az exponenciális mozgóátlag értéke a pontban (idősor esetén az utolsó érték);

{\textit {EMA}}_{t}

t

{\textit {EMA}}_{{t-1}}

- az exponenciális mozgóátlag értéke a pontban (idősor esetén az előző érték);

t-1

p_{t}

- az eredeti függvény értéke az időpillanatban (idősor esetén az utolsó érték);

t

\alpha

- (simítási állandó az angol simítási állandóból ) a súlycsökkentés mértékét jellemző együttható 0-tól 1-ig terjed, minél kisebb az értéke, annál nagyobb az előző értékek befolyása az átlag aktuális értékére.

Az exponenciális mozgóátlag első értékét általában egyenlőnek tekintik az eredeti függvény első értékével:

{\textit {EMA}}_{0}=p_{0}.

Együttható , tetszőlegesen választható, 0 és 1 között. Például kifejezhető az átlagoló ablakban: $\ \alpha$

\ \alpha ={\frac {2}{n+1}}.

Tetszőleges sorrendű exponenciális mozgóátlag

A szokásos exponenciális mozgóátlagban az eredeti függvény értékeit simítjuk, de a kapott függvény értékei is simíthatók [2] . Ezért egyes szerzők meghatározzák a tetszőleges sorrendű exponenciális mozgóátlag fogalmát [2] , amelyet a következő képlettel számítanak ki:

{\textit {EMA}}_{t}^{{(n)}}=\alpha \cdot {\textit {EMA}}_{t}^{{(n-1)))+(1-\ alpha )\cdot {\textit {EMA}}_{{t-1}}^{{(n))),

ahol - a pontban a harmadrendű exponenciális mozgóátlag értéke (idősor esetén az utolsó érték);

{\textit {EMA}}_{t}^{{(n)))

n

t

{\textit {EMA}}_{{t-1}}^{{(n)))

- a pontban a harmadrendű exponenciális mozgóátlag értéke (idősor esetén az előző érték);

n

t-1

{EMA}_{t}^{{(n-1)}}

- a pontban a harmadrendű exponenciális mozgóátlag értéke (idősor esetén az utolsó érték);

(n-1)

t

\alpha

simítási állandó.

A másod- és harmadrendű súlyozottexponenciálisan mozgóátlagokat néha a következőnek nevezik : ${\textit {DMA}}$ ${\textit {TMA}}$

{\textit {DMA}}_{t}=\alpha \cdot {\textit {EMA}}_{t}+(1-\alpha )\cdot {\textit {DMA}}_{{t-1} },

{\textit {TMA}}_{t}=\alpha \cdot {\textit {DMA}}_{t}+(1-\alpha )\cdot {\textit {TMA}}_{{t-1} }.

Módosított mozgóátlag

A módosított mozgóátlag (az angol módosított mozgóátlagból - angol MMA ; néha angol futó mozgóátlagnak is nevezik - angol RMA és angol simított mozgóátlag ) a következőképpen definiálható:

{\text{MMA}}_{t}={\frac {p_{t}+(n-1)\cdot {\text{MMA}}_{{t-1}}}{n}},

ahol - a módosított mozgóátlag értéke a pontban (idősor esetén az utolsó érték);

{\textit {MMA}}_{t}

t

{\textit {MMA}}_{{t-1}}

- a pontban a módosított mozgóátlag értéke (idősor esetén az előző érték);

t-1

n

— az eredeti függvény értékeinek száma a mozgóátlag kiszámításához (simítási intervallum).

Könnyen belátható, hogy a módosított mozgóátlag az exponenciális mozgóátlag speciális esete, amelynél a simítási állandó egyenlő a simítási intervallum reciprojával:

\alpha ={\frac {1}{n}}.

Kapcsolódó függvények

Más átlagoló függvényeken alapuló csúszkák

A számtani átlagon alapuló mozgóátlagokhoz hasonlóan használhatunk más átlagoló függvényeket ( hatványátlag : négyzetgyök , harmonikus átlag stb.; geometriai átlag ; medián stb.) és ezek súlyozott megfelelőit. A konkrét választás a vizsgált eredeti funkció jellegétől függ.

Egyszerű mozgó medián

Az egyszerű mozgó medián ( eng. simple mobile median - eng. SMM ) olyan függvény, amelynek értéke minden definíciós pontban számszerűen megegyezik az eredeti függvény értékeinek mediánjával egy meghatározott időszakra vonatkozóan:

{\textit {SMM}}_{t}={\text{Medián}}(p_{t},p_{{t-1}},\ldots ,p_{{t-n+1}}),

ahol az egyszerű mozgó medián értéke a pontban ;

{\textit {SMM}}_{t}

t

n

- az eredeti függvény értékeinek száma a mozgó medián (simító intervallum) kiszámításához;

p_{{ti}}

pontban az eredeti függvény értéke .

ti

Dinamikus mozgóátlagok

Az 1990-es években számos mozgóátlagot javasoltak dinamikusan változó ablakszélességgel (vagy simítási tényezővel), lásd például Kaufman adaptív mozgóátlagát .

Összesített mozgóátlag

A kumulatív mozgóátlag számszerűen megegyezik az eredeti függvény értékeinek számtani átlagával a teljes megfigyelési időszak alatt:

{\textit {CA}}_{t}={\frac {1}{t}}\sum _{{i=1}}^{{t}}p_{i}={\frac {p_{t }+p_{{t-1}}+\cdots +p_{{2}}+p_{{1}}}{t}},

hol van az adott pillanatban a kumulatív mozgóátlag ;

{\textit {CA}}_{t}

t

t

- a számításhoz rendelkezésre álló intervallumok száma;

p_{i}

az eredeti függvény értéke a pontban

én.

Valós számításoknál, ha a kumulatív mozgóátlag korábbi értéke ismert, a következő képletek is érvényesek:

{\textit {CA}}_{t}={\frac {p_{t}+(t-1)\cdot {\textit {CA}}_{{t-1}}}{t}}={ \textit {CA}}_{{t-1}}+{\frac {p_{t}-{\textit {CA}}_{{t-1}}}{t}},

hol van az adott pillanatban a kumulatív mozgóátlag ;

{\textit {CA}}_{t}

t

{\textit {CA}}_{{t-1}}

- kumulatív mozgóátlag pillanatnyilag (idősor esetén az előző érték);

t-1

p_{t}

— az eredeti függvény értéke az időpillanatban (idősor esetén az utolsó érték);

t

t

- a számításhoz rendelkezésre álló intervallumok száma, és

{\textit {CA}}_{0}=0.

Összesített összeg

A kumulatív mozgóátlagot nem szabad összetéveszteni a kumulatív összeggel , amelyet úgy számítanak ki, hogy a sorozat összes értékét összeadják egy futó összegben:

{\textit {halmozott}}_{t}=p_{t}+{\textit { kumulatív}}_{{t-1}}=\sum _{{i=1}}^{{t}}p_ {i}=p_{t}+p_{{t-1}}+\cdots +p_{{2}}+p_{{1}},

hol vannak a kumulatív összeg jelenlegi és korábbi értékei;

{\textit { kumulatív}}_{t},{\textit { kumulatív}}_{{t-1}}

p_{i}

az eredeti sorozat jelenlegi értéke

én.

Lásd még

Autoregresszív modell : Autoregresszív modell - mozgóátlag , Mozgóátlag modell
Ablak (súly funkció)

Jegyzetek

↑ 1 2 3 4 5 6 7 Greshilov A. A., Stakun V. A., Stakun A. A. Matematikai módszerek előrejelzések készítéséhez. - M .: Rádió és kommunikáció, 1997. - 112 p. — ISBN 5-256-01352-1 .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Bulashev S. V. Statisztika kereskedőknek. — M.: Cég Sputnik+, 2003. — 245 p.
↑ 1 2 Az exponenciálisan súlyozott mozgóátlag kiszámításakor elméletileg az idősorok összes értékét figyelembe veszik, azonban a gyakorlatban egy bizonyos ponttól kezdve a kezdeti értékek hozzájárulása kisebb, mint a számítási hiba. Ezért elhanyagolhatóak, és a korábbi értékek halmaza végesnek tekinthető.
↑ Egyes források ennek a képletnek a "fordított" ábrázolását használják: ${\textit {EMA}}_{t}=(1-\alpha )\cdot p_{t}+\alpha \cdot {\textit {EMA}}_{{t-1}},$ Ez nem változtat a matematikai jelentésen, azonban a felhasználás és az elemzés során alaposan át kell gondolni a kontextuális definíciót.
↑ Single Exponential Smoothing archiválva : 2011. március 10. a Wayback Machine -nél , az Egyesült Államok Nemzeti Szabványügyi és Technológiai Intézetének honlapján .
↑ EWMA vezérlőtáblák archiválva 2011. március 4-én a Wayback Machine -nél az Egyesült Államok Nemzeti Szabványügyi és Technológiai Intézetének honlapján .

Átlagos
Matematika	Teljesítmény átlag ( súlyozott ) harmonikus átlag súlyozott geometriai átlag súlyozott Átlagos súlyozott négyzetes közép Átlagos köbméter mozgóátlag Számtani-geometriai átlag Funkció Átlag Kolmogorov jelentése
Geometria	geometriai középpont Barycenter
Valószínűségszámítás és matematikai statisztika	Winsorizált átlag minta átlag Várható érték Középső Divat szórás Csonka átlag Feltételes elvárás
Információs technológia	Medoid k-medián módszer
Tételek	Első átlagtétel Második átlagtétel Egyenlőtlenség a számtani, geometriai és harmonikus átlagról
Egyéb	Elosztóközpont mérőszámai