Autoregresszív modell

Az autoregresszív ( AR- ) modell ( angolul autoregresszív modell ) egy olyan idősor -modell , amelyben az idősorok pillanatnyi értékei lineárisan függnek ugyanazon sorozat korábbi értékeitől. Egy p -rendű autoregresszív folyamatot (AR( p )-folyamat) a következőképpen definiálunk

X_{t}=c+\sum _{{i=1}}^{p}a_{i}X_{{ti}}+\varepsilon _{t},

hol vannak a modell paraméterei (autoregressziós együtthatók), egy állandó (az egyszerűség kedvéért gyakran nullának tételezzük fel), és a fehér zaj . $a_{1},\ldots ,a_{p}$ $c$ $\varepsilon _{t}$

A legegyszerűbb példa az elsőrendű autoregresszív AR(1) folyamat:

X_{t}=c+rX_{{t-1}}+\varepszilon _{t}

Ennél a folyamatnál az autoregresszív együttható megegyezik az elsőrendű autokorrelációs együtthatóval.

Egy másik egyszerű folyamat a Yule folyamat, egy AR(2) folyamat:

X_{t}=c+a_{1}X_{{t-1}}+a_{2}X_{{t-2}}+\varepszilon _{t}

Kezelői ábrázolás

Ha bevezetünk egy lag operátort , akkor az autoregresszív modell a következőképpen ábrázolható $L:Lx_{t}=x_{{t-1}}$

X_{t}=c+\sum _{{i=1}}^{p}a_{i}L^{i}X_{{t}}+\varepsilon _{t},

vagy

a(L)X_{t}=(1-\sum _{{i=1}}^{p}a_{i}L^{i})X_{{t}}=c+\varepszilon _{t}

Az autoregresszív folyamat stacionaritása a karakterisztikus polinom gyökétől függ . Ahhoz, hogy a folyamat stacionárius legyen [1] , elegendő, ha a karakterisztikus polinom összes gyöke az egységkörön kívül van a komplex síkban . $a(z)=1-\sum _{{i=1}}^{n}a_{i}z^{i}$ $|z|>1$

Konkrétan az AR(1) folyamatra tehát ennek a polinomnak a gyöke , tehát a stacionaritási feltétel így írható fel , vagyis az autoregressziós együtthatónak (jelen esetben az autokorrelációs együtthatónak) szigorúan kisebbnek kell lennie, mint 1 modulo . $a(z)=1-rz$ $z=1/r$ $|r|<1$

Egy AR(2)-folyamatnál kimutatható, hogy a stacionaritási feltételek alakja: . $|a_{2}|<1,a_{2}\pm a_{1}<1$

A stacionárius AR-folyamatok lehetővé teszik a Wold-dekompozíciót - egy végtelen MA-folyamat formájában történő ábrázolást :

$X_{t}=a^{{-1}}(L)c+a^{{-1}}(L)\varepsilon _{t}={\frac {c}{1-\sum _{{ i=1}}^{p}a_{i}}}+\sum _{{j=0}}^{{\infty }}b_{j}\varepsilon _{{tj}}$

Az első tag az AR folyamat matematikai elvárása. Ha c=0, akkor a folyamat elvárása is nulla.

Autokorrelációs függvény

Megmutatható, hogy az AR(p) folyamat autokovariancia és autokorrelációs függvényei kielégítik a rekurzív relációkat:

$\gamma (k)=\sum _{{j=1}}^{p}a_{j}\gamma (kj)~~~~~r(k)=\sum _{{j=1}}^ {p}a_{j}r(kj)$

Egy AR(1) folyamat legegyszerűbb esetben az átlag , a variancia és az autokorreláció . $\mu =c/(1-r)$ $\gamma (0)=\sigma _{\varepszilon }^{2}/(1-r^{2})$ $r(k)=r\cdot r(k-1)~\Jobbra ~r(k)=r^{k}$

Általános esetben a matematikai elvárás modellparamétereken keresztüli kifejezését fentebb jeleztük, azonban az idősorok szórásának kifejezése sokkal bonyolultabb. Megmutatható, hogy a sorozat varianciája és az autokovariancia vektor paraméterekben a következőképpen fejeződik ki: $\gamma (0)$ $\gamma$

${\displaystyle \gamma (0)=(1+a^{T}(C-aa^{T})^{-1}a)\sigma _{\varepszilon }^{2))$ , $\gamma =\sigma _{\varepsilon }^{2}(C-aa^{T})^{-1}a$

ahol a paramétervektor, a sorrendi mátrix , amelynek elemei a következők szerint vannak definiálva. Az átlós elemek egyenlőek . Az átló feletti elemek egyenlőek , az átló alatti elemek egyenlőek . Itt érthető, hogy ha az index meghaladja a modell sorrendjét , akkor a megfelelő érték nullára lesz állítva. $a$ $C$ $p$ ${\displaystyle c_{ii}=1-a_{2i))$ $-a_{2i+j-1}$ $-(a_{j}+a_{2i-j})$ $p$

Különösen egy AR(1) folyamat esetében a mátrix csak egy, tehát , amely megfelel a fenti képletnek. $C$ $\gamma (0)=(1+{\frac {a^{2}}{1-a^{2}}})\sigma _{\varepszilon }^{2}$

A -folyamat esetében a másodrendű mátrix - a következőképpen definiálható: az első sor ( ;0), a második ( ;1). A fenti képlet alkalmazásával a következő kifejezést kaphatja a folyamat varianciájára: $AR(2)$ $C$ ${\displaystyle 1-a_{2))$ ${\displaystyle -a_{1))$

$\gamma (0)={\frac {(1-a_{2})\sigma _{\varepszilon }^{2}}{(1+a_{2})((1-a_{2} )^{2}-a_{1}^{2})}}$

A gyakorlatban általában nem használják a modellparaméterekkel kifejezett folyamatvarianciára vonatkozó képleteket, de kovarianciaként a következő kifejezést használják:

$\gamma (0)=\sigma _{\varepszilon }^{2}+\sum _{k=1}^{p}a_{k}\gamma (k)$

Az autoregresszív folyamat autokorrelációs függvénye az esetleges oszcillációkkal exponenciálisan csökken (az oszcillációk a karakterisztikus polinom komplex gyökeinek jelenlététől függenek). Ebben az esetben a k>p részleges autokorrelációs függvénye nulla. Ez a tulajdonság az AR-modell sorrendjének azonosítására szolgál az idősor minta részleges autokorrelációs függvényéből.

Egy AR(1) folyamat esetében az autokorrelációs függvény egy exponenciálisan csökkenő függvény (oszcillációk nélkül), ha a stacionaritási feltétel teljesül. Az első rendű részleges autokorrelációs függvény r, a magasabb rendűeknél pedig 0.

Modellparaméterek becslése

Az autokorrelációs függvény paritását figyelembe véve és az első p autokorrelációk ismétlődési relációját felhasználva megkapjuk a Yule-Walker egyenletrendszert [2] :

$1\leqslant k\leqslant p~,~\sum _{{j=1}}^{p}a_{j}r(|kj|)=r(k)$

vagy mátrix formában

$Ra=r~,~\Jobbra a=R^{{-1}}r~,~~R={\begin{pmatrix}1&r_{1}&r_{2}&...&r_{{p-1} }\\r_{1}&1&r_{1}&...&r_{{p-2}}\\r_{2}&r_{1}&1&...&r_{{p-3}}\\... \\r_{{p-1}}&r_{{p-2}}&r_{{p-3}}&...&1\\\end{pmátrix}}$

Ha valódi (ismeretlen) autokorrelációk helyett mintaautokorrelációkat használunk, akkor ismeretlen autoregressziós együtthatók becslését kapjuk. Ez a becslési módszer kimutatható, hogy egyenértékű a közönséges legkisebb négyzetek (OLS) módszerével . Ha a modell véletlenszerű hibái normális eloszlásúak, akkor ez a módszer egyenértékű a feltételes maximum likelihood módszerrel is . Ez utóbbi esetben a pontosabb becslések eléréséhez használhatjuk a teljes maximum likelihood módszert, amely a sorozat első tagjainak eloszlására vonatkozó információkat használ fel. Például egy AR(1) folyamat esetén az első tag eloszlását egyenlőnek vesszük az idősor feltétel nélküli eloszlásával (normál eloszlás matematikai várakozással és a sorozat feltétel nélküli varianciájával).

Szezonális autoregresszív modellek

AR modellek használhatók a szezonalitás modellezésére. Az ilyen modelleket SAR (Seasonal AR) jelöléssel látják el. Például a negyedéves adatok ismeretében és a negyedéves szezonalitást feltételezve a következő SAR(4) modell állítható fel:

$y_{t}=a_{4}y_{{t-4}}+\varepszilon _{t}$

Valójában ez egy közönséges AR-modell, amely korlátozza a modell paramétereit (4-nél kisebb késleltetés esetén nullával egyenlő paraméterek). A gyakorlatban a szezonalitás kombinálható a hagyományos autoregresszióval, például:

$y_{t}=a_{1}y_{{t-1}}+a_{4}y_{{t-4}}+\varepsilon _{t}$

Bizonyos esetekben hasznosak lehetnek a szezonális modellek, amelyekben a véletlen hiba bizonyos AR-folyamatoknak van kitéve:

$y_{t}=a_{4}y_{{t-4}}+\varepsilon _{t}~,~\varepsilon _{t}=a_{1}\varepsilon _{{t-1}}+u_ {t}$

Könnyen belátható, hogy egy ilyen modell operátor formában így írható:

$(1-a_{1}L)(1-a_{4}L^{4})y_{t}=u_{t}$

Az ilyen modellt ún. $AR(1)\szor SAR(4)$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Differenciálegyenlet és ismétlődő sorozat . Letöltve: 2015. július 18. Az eredetiből archiválva : 2015. július 21. (határozatlan)
↑ Markov-szekvenciák (elérhetetlen link) . Letöltve: 2015. július 18. Az eredetiből archiválva : 2015. július 21. (határozatlan)