Funkcióparitás

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. október 3-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

Páratlan és páros függvényeknek nevezzük , amelyek szimmetriával rendelkeznek az argumentum előjelének változásához képest. Ez a fogalom a matematikai elemzés számos területén fontos , például a hatványsorok elméletében és a Fourier-sorokban . A név a hatványfüggvények tulajdonságaihoz kapcsolódik: a függvény páros, ha páros, páratlan, ha páratlan. $f(x)=x^{n}$ $n$ $n$

A páratlan függvény olyan függvény, amely megfordítja az értékét, ha a független változó előjele megváltozik (grafikonja szimmetrikus a koordináták középpontjára).
Páros függvénynek nevezzük azt a függvényt, amely nem változtatja meg értékét a független változó előjelének megváltozásakor (a grafikonja szimmetrikus az y tengelyre).
Sem páros, sem páratlan függvény (vagy általános függvény ). Ez a kategória olyan funkciókat tartalmaz, amelyek nem tartoznak az előző 2 kategóriába.

Szigorú meghatározás

Definíciókat vezetünk be a nullához képest szimmetrikus definíciós tartományokhoz , például egy szegmenshez vagy egy intervallumhoz . $X \subset \mathbb{R}$

Egy függvényt akkor is hívunk, ha az egyenlőség $f:X \to \mathbb{R}$

f(-x)=f(x),\quad \forall x\in X.

Egy függvényt páratlannak nevezünk, ha az egyenlőség

f(-x)=-f(x),\quad \forall x\in X.

Azokat a függvényeket, amelyek nem tartoznak a fenti kategóriák egyikébe sem nevezzük sem párosnak, sem páratlannak (vagy általános függvénynek).

Azok a függvények, amelyek teljes definíciós tartományukban nulla értéket vesznek fel, és ez a definíciós tartomány szimmetrikus a nullához képest, párosak és páratlanok is; például az f ( x ) = 0 és f ( x ) = 0/ x függvények . Bármely függvény, amely páros és páratlan is, a teljes definíciós tartományában azonos nullával.

Tulajdonságok

Egy páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az origóhoz képest . $O$
Egy páros függvény grafikonja szimmetrikus az y tengelyre . $Oy$
Egy tetszőleges függvény egyedileg ábrázolható páratlan és páros függvények összegeként: $f:[-X,X] \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

f(x) = g(x) + h(x),

ahol

g(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2},\; h(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}.

A g ( x ) és h ( x ) függvényeket rendre az f ( x ) függvény páratlan részének, illetve páros részének nevezzük .

A páros függvények összege , különbsége és általában bármely lineáris kombinációja páros, a páratlan függvények pedig páratlanok. Ezért a páros függvények lineáris vektorteret alkotnak a valós számok mezeje felett, ugyanez igaz a páratlan függvényekre is.
Két azonos paritású függvény szorzata páros.
Két különböző paritású függvény szorzata páratlan.
Két páratlan függvény összetétele páratlan.
A páros függvény összetétele páratlannal páros.
Bármely páros számú függvény összetétele páros (de nem fordítva).
A páros függvény deriváltja páratlan, a páratlané pedig páros.
Páros függvények határozott integráljainál az egyenlőség

\int \limits _{-A}^{A}f(x)\;dx=2\int \limits _{0}^{A}f(x)\;dx=2\int \limits _{-A}^{0}f(x)\;dx.

Ennek megfelelően a páratlan függvények határozott integráljaira az egyenlőség

\int \limits _{-A}^{A}f(x)\;dx=0.

Ez magában foglalja a páros függvények nem megfelelő integráljainak relációit:

\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\;dx=2\int \limits _{0}^{\infty }f(x)\;dx=2\ int \limits _{-\infty }^{0}f(x)\;dx

és páratlan függvényekből:

\mathrm {vp} \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\;dx=0

(a vp a Cauchy-féle helytelen integrál főértékét jelöli).

A páros függvény Maclaurin sorozatának kiterjesztése csak páros hatványú tagokat tartalmaz, a páratlan függvény pedig csak páratlanokat.
A periodikus páros függvény Fourier-sorozatának kiterjesztése csak koszinuszos tagokat tartalmaz, a periodikus páratlan függvény pedig csak szinuszos tagokat.
Még a függvények is kommutatív algebrát alkotnak a valós számok mezején. Ez azonban nem igaz a páratlan függvényekre, mivel ezek halmaza nincs lezárva szorzáskor (két páratlan függvény szorzata páros függvény).

Példák

Lent mindenhol $x\in \mathbb {R} .$

Páratlan függvények

Hatványozás páratlan egész kitevővel: ahol tetszőleges egész szám . $f(x)=x^{2k+1},$ $k\in \mathbb{Z}$
Signum : $f(x)={\begin{cases}\ \ 1,&x>0\\\ \ 0,&x=0\\-1,&x<0\end{cases))$
A kockagyök és általában bármely pozitív páratlan fok gyöke $y={\sqrt[{3}]{x}}$ $y={\sqrt[{2k+1}]{x)),\quad k\in \mathbb {N} .$
Trigonometrikus függvények : szinusz érintő kotangens koszekáns $f(x)=\sin x,$ $f(x)=\operátornév {tg} x,$ $f(x)=\operátornév {ctg} x,$ $f(x)=\operátornév {cosec} x.$
Inverz trigonometrikus függvények : arcszinusz arctangens arccosecant $f(x)=\arcsin x,$ $f(x)=\operátornév {arctg} x,$ $f(x)=\operátornév {arccosec} x.$
Hiperbolikus függvények : hiperbolikus szinusz, hiperbolikus tangens, hiperbolikus kotangens és hiperbolikus koszekáns.
Inverz hiperbolikus függvények : areasin, areatangens, areacotangens, areacosecant.
Speciális és általános funkciók :
- Gudermann-függvény és inverz Gudermann-függvény $f(x)=\operátornév {gd} x=\operátornév {arctg} (\operátornév {sh} x)$ $f(x)=\operátornév {arcgd} x=\operátornév {arch} (\sec x).$
- integrál szinusz $f(x)=\operátornév {Si} x.$
- Hibafüggvény és Inverz hibafüggvény $f(x)=\operátornév {erf} x$ $f(x)=\operátornév {erf} ^{-1}x.$
- Dawson függvénye .
- Legendre chi-függvénye .
- Mathieu függvények se i ( x ) .
- A Rademacher függvény .

Páros függvények

Hatványozás páros egész kitevővel: ahol tetszőleges egész szám . $f(x)=x^{2k},$ $k\in \mathbb{Z}$
Abszolút érték (modulus) : $f(x)=|x|.$
Állandó funkció : $f(x)=a.$
Trigonometrikus függvények: koszinusz szekáns $f(x)=\cos x,$ $f(x)=\sec x$
Hiperbolikus függvények: hiperbolikus koszinusz, hiperbolikus szekáns.
Speciális és általános funkciók:
- Dirac delta függvény $f(x)=\delta(x).$
- Gauss-függvény b =0 esetén . $f(x)=a\exp \left(-{\frac {(xb)^{2}}{2c^{2}}}\right)$
- Dirichlet függvény .
- Cardinal sine sinc x (normalizált és nem normalizált).
- Mathieu függvények ce i ( x ) .

Irodalom

I. M. Gelfand , E. G. Glagoleva , E. E. Shnol . Függvények és grafikonok. Alapvető trükkök . - M . : Nauka, 1968. - (A Fizika és Matematika Iskola Könyvtára, 2. szám). (Angol fordítás: Functions and Graphs. The MIT Press, 1969, Birkhäuser: Boston, 1990 és 1998)