Mathieu függvények

A Mathieu-függvények matematikai speciális függvények , amelyek a Mathieu-egyenlet periodikus megoldásai. Használják a matematikai fizika különféle problémáinak megoldására , különösen a hullámmozgások elliptikus peremfeltételekkel történő leírására, a parametrikus rezonancia jelenségének tanulmányozására, a nemlineáris rezgések tanulmányozására az elméleti és kísérleti fizika különböző szakaszaiban stb.

Mathieu-egyenlet

A Mathieu-egyenlet a forma (kanonikus forma) differenciálegyenlete :

{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+[a-2q\cos(2x)]y=0,

ahol és azok a paraméterek, amelyektől a megoldás viselkedése függ (stabil vagy instabil), ezt a függést az Ains-Strutt diagram szemlélteti . $a$ $q$

A Mathieu-egyenlet megoldásai

A Floquet-tétel szerint a Mathieu-egyenletnek mindig vannak megoldásai a következő formában: , ahol van egy pont . Ezekkel a megoldásokkal periodikusak egy ponttal, és ezeket Mathieu-függvényeknek nevezik . Ezek a következők: . A Mathieu-függvények koszinuszok vagy szinuszok összegeként is ábrázolhatók: ahol a mennyiségek a Mathieu-egyenletben szereplő mennyiségek függvényei. Az értékeket úgy kaphatjuk meg, hogy a Mathieu-egyenlet megoldását Fourier-soros kibővítés formájában az egyenletbe behelyettesítjük és hasonló tagokat egyenlővé teszünk. $y(x)=\exp(\mu x)\phi (x)$ $\phi (x)$ $2\pi$ $\mu=0$ $2\pi$ $\mathrm {ce} _{0}(x),\mathrm {ce} _{1}(x),\mathrm {se} _{1}(x),\mathrm {ce} _{2 }(x),\mathrm {se} _{2}(x),...$ $\mathrm {ce} _{2n}(x)=\sum _{k}A_{k}\cos 2kx,\mathrm {ce} _{2n+1}(x)=\sum _{k }B_{k}\cos(2k+1)x,\mathrm {se} _{2n}(x)=\sum _{k}C_{k}\sin 2kx,\mathrm {se} _{2n+ 1 }(x)=\összeg _{k}D_{k}\sin(2k+1)x,$ $A_{k},B_{k},C_{k},D_{k}$ $a,q$ $A_{k},B_{k},C_{k},D_{k}$

Lásd még

Hill egyenlet

Irodalom

Matthews J., Walker R. Matematikai módszerek a fizikában. Per. angolból, M., Atomizdat , 1972, 392 oldal.
Mathieu-egyenlet , EqWorld