Paraméteres oszcillátor

A parametrikus oszcillátor olyan oszcillátor, amelynek paraméterei egy adott területen változhatnak.

A parametrikus oszcillátor a nem zárt oszcillációs rendszerek osztályába tartozik, ahol a külső hatás a paramétereinek időbeli változására redukálódik. A paraméterek változása, mint például az ω természetes rezgési frekvencia vagy a β csillapítási tényező, az egész rendszer dinamikájának megváltozásához vezet.

A parametrikus oszcillátor jól ismert példája a hintán ülő gyermek, ahol a tömegközéppont periodikusan változó magassága a tehetetlenségi nyomaték periodikus változását jelenti, ami a lengés lengési amplitúdójának növekedéséhez vezet [3, p. . 157]. A mechanikus parametrikus oszcillátor másik példája a fizikai inga, amelynek felfüggesztési pontja adott periodikus mozgást végez függőleges irányban, vagy egy matematikai inga, amelynek menetének hossza periodikusan változhat.

A gyakorlatban széles körben használt példa a paraméteres oszcillátorra a számos területen használt parametrikus oszcillátor. A dióda kapacitásának időszakos megváltoztatása egy speciális áramkörrel, amelyet „szivattyúnak” neveznek, a varaktor parametrikus oszcillátor klasszikus rezgéséhez vezet. A paraméteres oszcillátorokat alacsony zajszintű erősítőkként fejlesztették ki, amelyek különösen hatékonyak a rádió- és mikrohullámú frekvenciatartományban. Mivel nem aktív (ohmikus), hanem reaktív ellenállások periodikusan változnak bennük, az ilyen generátorokban a termikus zaj minimális. A mikrohullámú elektronikában a paraméteres oszcillátoron alapuló hullámvezető / YAG ugyanúgy működik. A rendszer paraméteres oszcillációinak gerjesztése érdekében a tervezők időszakonként megváltoztatják a rendszerparamétert. Az eszközök másik osztálya, amelyek gyakran használják a parametrikus oszcilláció módszerét, a frekvenciaváltók, különösen az audio-rádiófrekvenciák átalakítói. Például egy optikai parametrikus oszcillátor a bemeneti lézerhullámot két alacsonyabb frekvenciájú kimeneti hullámmá (ωs, ωi) alakítja át . A parametrikus rezonancia fogalma szorosan összefügg a parametrikus oszcillátorral.

A paraméteres rezonancia az oszcillációk amplitúdójának növekedése a paraméteres gerjesztés eredményeként. A paraméteres gerjesztés eltér a klasszikus rezonanciától, mivel a rendszer paramétereinek átmeneti változása következtében jön létre, és a stabilitásához és stabilitásához kapcsolódik .

Matematika

A súrlódással mozgó egydimenziós oszcillátor paraméterei a tömege , a rugalmassági együtthatója és a csillapítási együtthatója . Ha ezek az együtthatók az időtől, és , akkor a mozgásegyenlet alakja $m$ $k$ $\beta$ $m=m(t),k=k(t),\beta =\beta (t)$

{\frac {d}{dt}}(m{\pont {x}})+\beta {\pont {x}}+kx=0,

$(egy)$

Változtassuk meg a → , ahol az időváltozót , amivel az (1) egyenlet a formába kerül $t$ $\tau$ $d\tau=dt/m(t)$

{\frac {d^{2}x}{d\tau ^{2}}}+\beta {\frac {dx}{d\tau }}+kmx=0,

$(2)$

Csináljunk még egy cserét → : $x(\tau )$ $q(\tau )$

q(\tau )=\exp ^{B(\tau )}x(\tau ),B(\tau )={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\ tau }\beta (\xi )d\xi ,

$(3)$

Ezzel megszabadul a csillapítási kifejezéstől:

{\frac {d^{2}q}{d\tau ^{2}}}+\delta ^{2}(\tau )q=0,\delta ^{2}(\tau )= km-{\frac {\pont {\beta }}{2}}-{\frac {\beta ^{2}}{4}},

$(négy)$

Ezért tulajdonképpen az általánosság elvesztése nélkül, az (1) egyenlet helyett elegendő egy alak mozgásegyenletét figyelembe venni.

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega ^{2}(t)x=0,

$(5)$

amelyet az (1) egyenletből kapnánk meg . $m=const$

Érdekes módon az állandó frekvencia esetével ellentétben az (5) egyenlet analitikai megoldása nem ismert általános formában. Periodikus függés esetén az (5) egyenlet a Hill-egyenlet , harmonikus függés esetén pedig a Mathieu-egyenlet speciális esete . Az (5) egyenlet legjobban abban az esetben tanulmányozható, amikor a rezgési frekvencia harmonikusan változik valamilyen állandó értékhez képest. ${\displaystyle \omega ^{2}(t)=\omega _{0}^{2))$ $\omega (t)$ $\omega (t)$

1. Tekintsük azt az esetet, amikor , azaz az (5) egyenlet alakja $\omega ^{2}(t)=\omega _{0}^{2}[1+h\cos(\omega _{0}+\varepsilon )t]$

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}[1+h\cos(\omega _{0}+\varepszilon ) t]x=0,

$(6)$

Ahol a természetes harmonikus rezgések frekvenciája, a harmonikus frekvenciaváltozások amplitúdója , az állandó egy kis frekvenciaváltozás. Az idő eredetének megfelelő változtatásával a h konstans pozitívnak választható, ezért az általánosság elvesztése nélkül feltételezzük, hogy . A (6) egyenlet megoldása helyett tegyünk fel egy szerényebb kérdést: a paraméter mely értékeinél következik be az oszcilláció amplitúdójának meredek növekedése, vagyis a megoldás korlátlanul növekszik? Megmutatható [1], hogy ez akkor történik, amikor $\omega_{0}$ $h\ll 1$ ${\displaystyle \varepsilon \ll \omega _{0))$ $h>0$ $\varepsilon$ $x(t)$

-{\frac {5}{24}}<{\frac {\varepsilon }{h^{2}\omega _{0}}}<{\frac {1}{24}},

$(7)$

2. Tekintsük azt az esetet, amikor , azaz az (5) egyenlet alakja $\omega ^{2}(t)=\omega _{0}^{2}[1+h\cos(2\omega _{0}+\varepsilon )t]$

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}[1+h\cos(2\omega _{0}+\varepsilon )t]x=0,

$(8)$

Más szóval, a szabad rezgések harmonikus változása frekvenciával történik . Ebben az esetben a paraméteres rezonancia a kifejezésekig akkor következik be, amikor $y=2\omega _{0}+\varepsilon$ $h^{2}$

-{\frac {1}{32}}h-{\frac {1}{2}}<{\frac {\varepsilon }{h\omega _{0}}}<-{\frac { 1}{32}}h+{\frac {1}{2}},

$(9)$

Különösen megadjuk a paraméteres rezonancia feltételeit egy függőleges helyzetben oszcilláló felfüggesztési ponttal rendelkező matematikai inga kis oszcillációihoz, amelyekre az oszcillációs egyenletek a következő alakúak.

{\ddot {\phi }}+\omega _{0}^{2}[1+{\frac {4a}{l}}\cos(2\omega _{0}+\varepsilon )t ]\phi =0,

$(tíz)$

hol és . Abban az esetben, amikor és az elsőrendű bővítésre korlátozva magunkat -ben , azt kapjuk $\omega _{0}^{2}={\frac {g}{l))$ $h={\frac {4a}{l))$ $a\ll l$ $h$

-{\frac {2a{\sqrt {g}}}{l^{\frac {3}{2}}}}<\varepsilon <{\frac {2a{\sqrt {g}}}{ l^{\frac {3}{2)))),

$(11)$

Az a tény, hogy a paraméteres rezonancia a szabad rezgések frekvenciájának és annak megduplázott értékének közelében lép fel , nem véletlen. Megmutatható (lásd pl. [2]), hogy az egyenlet esetében ${\displaystyle \omega =\omega _{0))$ ${\displaystyle \omega =2\omega _{0))$

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}[1+h\cos(\omega t)]x=0,

$(12)$

Paraméteres rezonancia akkor lép fel, ha

\omega ={\frac {2\omega _{0}}{n}},n=1,2,...,

$(13)$

A fő rezonancia a harmonikus inga sajátfrekvenciájának kétszeresén lép fel , és a rezonancia szélessége egyenlő . Az is fontos, hogy súrlódás jelenlétében (lásd a (2) egyenletet) az egyenletben $\omega_{0}$ ${\displaystyle h\omega _{0))$

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+3\gamma {\frac {dx}{dt}}+\omega _{0}^{2}[1+ h\cos(\omega t)]x=0,

$(14)$

A parametrikus rezonancia jelensége nem bármelyiknél jelentkezik , hanem csak azoknál . Így súrlódás jelenlétében $h\ll 1$ ${\displaystyle h>{\frac {4\gamma }{\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2))))$

{\frac {4\gamma }{\omega _{0}^{2}-\gamma }}<h\ll 1,

$(15)$

amely lehetővé teszi a paraméteres rezonancia jelenségének fokozását vagy gyengítését a , és a paraméterek megfelelő megválasztásával, a gyakorlati igénytől függően. $\gamma$ ${\displaystyle \omega _{0))$ $h$

Linkek

Példa a parametrikus instabilitásra [1]

Brown-paraméteres oszcillátor [2]

Irodalom

[1] L. D. Landau és E. M. Lifshits. Elméleti fizika tantárgy I. Mechanika. Moszkva. A tudomány. 1973 p. 103-109

[2] A. M. Fedorcsenko. Elméleti mechanika. 1975. Kijev. Elvégezni az iskolát. 516 p.

[3] K. Magnus. Oszcillációk: Bevezetés az oszcillációs rendszerek tanulmányozásába. 1982. Moszkva. Világ. 304 p.