Gauss-függvény

Gauss függvény ( Gauss , Gauss , Gauss függvény ) egy valós függvény , amelyet a következő képlet ír le:

g\left(x\right)=ae^{-{\frac {(xb)^{2}}{2c^{2}}}}

ahol a paraméterek tetszőleges valós számok . Gauss 1809 -ben vezette be a normál eloszlás sűrűségének függvényében , és ebben a minőségében a legnagyobb jelentőségű, ebben az esetben a paramétereket szórással és matematikai elvárással fejezzük ki : $ABC$ $\sigma$ $\mu$

a={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi ))))

... _ _

b=\mu

c=\sigma

A Gauss-függvény grafikonja és egy harang alakú görbe, a paraméter határozza meg a grafikon maximális magasságát - a harang csúcsát, felelős a csúcs nulláról való eltolódásáért (at - a csúcs nullán van), és befolyásolja a harang szélességét (hatótávját). $a>0$ $c\neq 0$ $a$ $b$ $b=0$ $c$

függvénynek vannak többdimenziós általánosításai . A valószínűség-elméletben , a statisztikában és a normális eloszlás sűrűségének függvényében számos egyéb alkalmazáson kívül a Gauss független értéke a matematikai elemzésben , a matematikai fizikában és a jelfeldolgozás elméletében.

Tulajdonságok

A Gauss-függvény tulajdonságai egy exponenciális függvényből és egy konkáv másodfokú függvényből való felépítéséhez kapcsolódnak , a Gauss-függvény logaritmusa pedig egy konkáv másodfokú függvény.

A paraméter a diagramharang félszélességéhez a következőképpen kapcsolódik: $c$

w=2{\sqrt {2\ln 2}}\ c\approx 2{,}35482\cdot c

A Gauss-függvény a gráf harangjának félszélességével a következőképpen fejezhető ki : $w$

g(x)=ae^{-{\frac {4\ln(2)(xb)^{2}}{w^{2}}}}

Az inflexiók két olyan pont, ahol . $g(x)$ $x=b\pm c$

A Gauss-függvény analitikus , mindkét végtelen határértékében nullára hajlamos :

\lim _{x\to \pm \infty }g(x)=0

Mivel egy exponenciális függvényből és aritmetikai műveletekből áll, a Gauss elemi , de antideriváltja nem elemi; Gauss-függvény integrál:

\int \limits _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t

a (konstans tényezőig) a hibafüggvény , amely egy speciális függvény . Ebben az esetben a teljes számegyenes mentén lévő integrál (az exponenciális függvény tulajdonságai miatt) konstans [1] :

\int _{-\infty }^{\infty }ae^{-{(xb)^{2} \over 2c^{2}}}\,dx=ac\cdot {\sqrt {2\ pi}}

Ez az integrál csak akkor válik egységgé, ha:

a={\frac {1}{c{\sqrt {2\pi ))))

és ez pontosan azt az esetet adja, amikor a Gauss egy valószínűségi változó normális eloszlása sűrűségének függvénye átlaggal és szórással . $\mu=b$ $\sigma ^{2}=c^{2}$

A Gauss-féle szorzat Gauss-függvény; két Gauss-függvény konvolúciója Gauss-függvényt ad, ráadásul a konvolúciós paramétert a benne szereplő Gauss-függvények megfelelő paramétereiből fejezzük ki: . Két normál eloszlású sűrűségfüggvény szorzata, mivel Gauss-függvény, általában nem ad normális eloszlású sűrűségfüggvényt. $c$ ${\displaystyle c^{2}=c_{1}^{2}+c_{2}^{2))$

Többdimenziós általánosítások

Példa a Gauss-függvény kétdimenziós változatára:

{\displaystyle g(x,y)=A\cdot e^{\left(-\left({\frac {(x-x_{0}))^{2}}{2\sigma _{x}^{ 2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{2\sigma _{y}^{2}}}\jobbra)\jobbra)))

itt állítja be a harang magasságát, meghatározza a harang csúcsának eltolódását a nulla abszcisszától , és felelős a harang hatóköréért. A térfogat egy ilyen felület alatt: $A$ $(x_0, y_0)$ $(\sigma _{x},\sigma _{y})$

V=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }g(x,y)\,dx\,dy=2\pi A\sigma _{x}\sigma _{y}

Legáltalánosabb formájában a kétdimenziós Gauss-féle definíció a következő:

g(x,y)=A\exp \left(-\left(a(x-x_{0})^{2}+2b(x-x_{0})(y-y_{0}) )+c(y-y_{0})^{2}\jobbra)\jobbra)

hol van a mátrix:

\left[{\begin{matrix}a&b\\b&c\end{mátrix}}\jobbra]

pozitívan definiált .

A Gauss-függvény változata a dimenziós euklideszi térben : $n$

g(x)=\exp(-x^{T}Ax)

ahol a komponensek oszlopvektora , egy pozitív-definit mátrix méretű , és a transzponálási művelet a -n . $x=(x_{1},\dots ,x_{n})$ $n$ $A$ $n\szer n$ ${\displaystyle x^{T))$ $x$

Egy ilyen Gauss-függvény integrálja a teljes térben : $\mathbb {R} ^{n}$

\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp(-x^{T}Ax)\,dx={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{\det A }}}

Lehetőség van -dimenziós változat definiálására eltolással: $n$

g(x)=\exp(-x^{T}Ax+s^{T}x)

ahol az eltolási vektor és a mátrix szimmetrikus ( ) és pozitív határozott. $s=(s_{1},\dots ,s_{n})$ $A$ $A^{T}=A$

Szuper Gauss-függvény

A szupergauss-függvény a Gauss-függvény általánosítása, amelyben az exponens argumentumot a következő hatványra emeljük: $P$

sg(x)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{o}))^{2}}{2\sigma _{x}^{2}}}\ jobbra)^{P}\jobbra)

amelyet a Gauss-nyalábok tulajdonságainak leírására használtak [2] . A kétdimenziós esetben a szuper-Gauss-függvény az argumentumokban és a [3] : $P_{x}$ ${\displaystyle P_{y))$

sg(x,y)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{o}))^{2}}{2\sigma _{x}^{2}} }\jobbra)^{P_{x}}-\left({\frac {(y-y_{o})^{2}}{2\sigma _{y}^{2}}}\jobbra)^ {P_{y}}\jobbra)

Alkalmazások

A Gauss-függvények és a többváltozós általánosítások fő alkalmazása a normális eloszlás és a többváltozós normális eloszlás valószínűségi sűrűségfüggvényének szerepében van . A függvénynek független jelentése van a matematikai fizika számos egyenleténél , különösen a Gauss -függvények Green-függvények a homogén és izotróp diffúzió egyenletére (illetve a hőegyenletre ), a Weierstrass-transzformáció pedig a egy általánosított függvény konvolúciója , amely kifejezi az egyenlet kezdeti feltételeit, Gauss-függvénnyel. Szintén a Gauss egy kvantumharmonikus oszcillátor alapállapotának hullámfüggvénye .

A számítási kémiában az úgynevezett Gauss-pályákat használják molekuláris pályák meghatározására , amelyek a Gauss-függvények lineáris kombinációi .

A Gauss-függvényeket és diszkrét megfelelőit (mint például a diszkrét Gauss-kernel ) használják a digitális jelfeldolgozásban , képfeldolgozásban , hangszintézisben [4] ; különösen a Gauss-szűrőt és a Gauss-elmosódást Gauss-féle módon határozzák meg . A Gauss-függvények bizonyos típusú mesterséges neurális hálózatok meghatározásában is részt vesznek.

Jegyzetek

↑ Campos, 2014 , p. 1-2.
↑ A. Parent, M. Morin, P. Lavigne. Szuper-Gauss téreloszlások terjedése // Optikai és kvantumelektronika. - 1992. - 9. sz . - P. S1071-S1079.
↑ GLAD optikai szoftver parancsok kézikönyve, Belépés a GAUSSIAN parancsba . Alkalmazott Optikai Kutatás (2016. december 15.). Archiválva az eredetiből 2017. június 10-én. (határozatlan)
↑ C. R. Popa. Aktuális módú analóg, nemlineáris függvényszintetizátor-struktúrák . - Springer Svájc, 2013. - P. 59. - 198 p. - ISBN 983-3-319-01035-9.

Irodalom

LMBC Campos. 1.1. A Gauss-függvények integráljainak kiértékelése // Általános számítás az anyagokra és az erőkre vonatkozó alkalmazásokkal. - Boca Raton: CRC Press, 2014. - 823 p. — ISBN 978-1-4200-7115-3 .

Linkek

Weisstein, Eric W. Gaussian Function (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyén .
A Bell Curve / MathPages integrálása