Letörés (geometria)

Az élek letörése vagy vágása a geometriában egy topológiai művelet, amely egy poliédert egy másik poliéderré alakít át. A művelet hasonló a nyújtáshoz , amely elmozdítja a széleket a középponttól. A 3D poliédereknél a letörési művelet új hatszögletű felületet ad minden eredeti él helyére.

Conway jelölésében a műveletet c betű jelöli . Egy e élű poliédernek 2 e új csúcsa, 3 e új éle és e új hatszöglapja lesz a letörési művelet után .

Szabályos lesarkított poliéder

Az alábbi szakaszok részletesen ismertetik az öt lekerekített szabályos poliédert . Mindegyik egy olyan változatban látható, amelynek élei azonos hosszúságúak, és egy kanonikus változatban, amelyben minden él ugyanazt a félig beírt gömböt érinti . (Észrevehetően másképp néznek ki a háromszöglapokat tartalmazó testeknél.) A bemutatott kettős politópok a kanonikus változatok duálisai.

eredeti
{3,3}
{4,3}
{3,4}
{5,3}
{3,5}
lesarkított

Lekerekített tetraéder

Lekerekített tetraéder

(egyenlő élhosszúsággal)
Conway jelölés cT
Goldberg poliéder GP III (2,0) = {3+,3} 2,0
arcok 4 háromszög
6 hatszög
borda 24 (2 fajta)
Csúcsok 16 (2 fajta)
Vertex konfiguráció (12) 3.6.6
(4) 6.6.6
Szimmetria csoportok Tetraéder ( T d )
Kettős poliéder váltakozó triakizoktaéder
Tulajdonságok domború , a lapok egyenlő oldalúak

letapogatás

A lekerekített tetraéder (vagy váltakozó csonka kocka ) egy konvex poliéder , amely váltakozó kockaként vagy egy tetraéderen letörési műveletként van kialakítva, és hat élét hatszögekkel helyettesíti.

A politóp egy Goldberg G III (2,0) politóp, amely három- és hatszögletű lapokat tartalmaz.

Tetraéderes letörések és kapcsolódó testek

lekerekített tetraéder (kanonikus)
kettős a tetraéderhez (oktaéder)
lekerekített tetraéder (kanonikus)

váltakozó triakizoktaéder
oktaéder
váltakozó triakizoktaéder

Lekerekített kocka

lesarkított kocka

(egyenlő oldalhosszúsággal)
Conway jelölés cC = t4daC
Goldberg poliéder GP IV (2,0) = {4+,3} 2,0
Csúcsok 6 négyzet
12 hatszög
borda 48 (2 fajta)
Csúcsok 32 (2 fajta)
Vertex konfiguráció (24) 4.6.6
(8) 6.6.6
Szimmetria Ó h , [4,3], (*432)
T h , [4,3+], (3*2)
Kettős poliéder Tetrakiscubooctahedron
Tulajdonságok konvex , zonoéder , egyenlő oldalú lapok

letapogatás

A letört kocka egy domború poliéder , 32 csúcsgal, 48 éllel és 18 lappal - 12 hatszöggel és 8 négyzettel. A poliéder úgy épül fel, mint egy kocka letörése . A négyzetek mérete lecsökken, és új hatszögletű lapok kerülnek az eredeti élek helyére. Kettőse a tetrakiscubooctahedron .

A poliédert nem pontosan csonka rombikus dodekaédernek nevezik , bár ez a név rombikubotaéderre utal . Helyesebb négycsonka rombos dodekaédernek nevezni , mivel csak a 4-es rendű csúcsok csonkolódnak.

A hatszögletű lapok egyenlő oldalúak , de nem szabályosak . Csonka gyémántok alkotják őket, 2 belső szögük körülbelül 109,47° (= ) és 4 belső szögük 125,26°, míg egy szabályos hatszög minden szöge 120°.

Mivel a poliéder minden lapjának páros számú oldala van 180°-os forgásszimmetriával, a poliéder zonoéder . Ez is egy Goldberg poliéder GP IV (2,0) vagy {4+,3} 2,0 , amely négyzetes és hatszögletű lapokat tartalmaz.

A letört kocka egy Minkowski -rombikus dodekaéder és egy 1 oldalhosszúságú kocka összege , amikor a rombikus dodekaéder nyolc csúcsa egy ponton fekszik, hat csúcs pedig a permutációja .

Letört kocka és kapcsolódó testek

Letört kocka (kanonikus)
rombikus dodekaéder
Oktaéder letöréssel

Tetrakiscubooctahedron
kuboktaéder
triakicubooktaéder

Letört oktaéder

Oktaéder letöréssel

(egyenlő oldalhosszúsággal)
Conway jelölés cO = t3daO
arcok 8 háromszög
12 hatszög
borda 48 (2 fajta)
Csúcsok 30 (2 fajta)
Vertex konfiguráció (24) 3.6.6
(6) 6.6.6
Szimmetria Ó h , [4,3], (*432)
Kettős poliéder Triakiscubooktaéder
Tulajdonságok konvex

A geometriában a letört oktaéder egy konvex poliéder , amelyet egy rombikus dodekaéderből 8 csúcs csonkolásával (3-as rendű) alkotnak.

A poliéder csonka rombikus dodekaédernek nevezhető , amely a rombikus dodekaéder körülbelül 3 csúcsából álló csonka .

A 8 csúcsot úgy csonkoljuk, hogy minden él azonos hosszúságú legyen. Az eredeti 12 rombuszlap lapos hatszög, a csonkolt csúcsok pedig háromszögekké alakulnak.

A hatszögletű lapok oldalai egyenlők , de a lapok nem szabályosak .

Lekerekített dodekaéder

Dodekaéder letöréssel

(egyenlő oldalhosszúsággal)
Conway jelölések cD =t5daD=dk5aD
Goldberg poliéder G V (2,0) = {5+,3} 2,0
fullerén C 80 [1]
Csúcsok 12 ötszög
30 hatszög
borda 120 (2 fajta)
Csúcsok 80 (2 fajta)
Vertex konfiguráció (60) 5.6.6
(20) 6.6.6
Szimmetria csoportok Ikozaéder ( I h )
Kettős poliéder pentakikozidodekaéder
Tulajdonságok domború , a lapok egyenlő oldalúak

A lekerekített dodekaéder egy konvex poliéder , 80 csúcsával, 120 élével és 42 lapjával - 30 hatszöggel és 12 ötszöggel. A poliéder egy szabályos dodekaéder letörésével épül fel . Az ötszögek mérete lecsökken, és új hatszögletű lapok kerültek az eredeti élek helyére. A poliéder kettős a pentakizikozidodekaéderrel .

A poliédert nem egészen pontosan csonka rombusztriakontaédernek nevezik . Helyesebb lenne ötcsonka rombotriakontaédernek nevezni , mivel csak az 5-ös rendű csúcsok csonkolódnak.

Letört dodekaéder és rokon testek

lekerekített dodekaéder (kanonikus)
rombusz alakú triakontaéder
lekerekített ikozidodekaéder (kanonikus)

pentakikozidodekaéder
ikozidodekaéder
triakis ikozidodekaéder

Letört ikozaéder

Letört ikozidodekaéder

(egyenlő oldalhosszúsággal)
Conway jelölés cI = t3daI
arcok 20 háromszög
30 hatszög
borda 120 (2 fajta)
Csúcsok 72 (2 fajta)
Vertex konfiguráció (24) 3.6.6
(12) 6.6.6
Szimmetria I h , [5,3], (*532)
Kettős poliéder triakis ikozidodekaéder
Tulajdonságok konvex

A geometriában a letört ikozaéder egy rombusz alakú triakontaéderből 20 3 - as rendű csúcs csonkolásával összeállított konvex poliéder . A hatszögletű lapok egyenlő oldalúvá tehetők , de nem lesznek szabályosak .

A poliédert csonka rombusztriakontaédernek is nevezhetjük , egy 3-as rendű rombikus triakontaéder csúcsainak csonkításának .


Szabályos lesarkított burkolólapok

Szabályos mozaikok letöréssel

Négyzet burkolat , Q
{4,4}
Háromszög burkolat , Δ
{3,6}
Hatszögletű parketta , H
{6,3}
cQ cΔ CH


Kapcsolat Goldberg poliéderrel

A többszörösen alkalmazott letörési művelet egy növekvő lapszámú poliédert hoz létre, amelyben az előző poliéder éleit hatszögek helyettesítik. A letörési művelet a GP(m,n)-t GP(2m,2n)-vé alakítja.

A szabályos GP(1,0) egy Goldberg-politóp sorozatot hoz létre GP(1,0), GP(2,0), GP(4,0), GP(8,0), GP(16, 0)...

GP(1,0) GP(2,0) GP (4.0) GP(8,0) GP(16,0)...
GP IV
{4+,3}
C
cc
cc
cccc
GP V
{5+,3}
D
CD
ccD
cccD
ccccD
GP VI
{6+,3}
H
CH
ccH
cccH
ccccH

A csonka oktaéder vagy csonka ikozaéder , a GP(1,1) a GP(1,1), GP(2,2), GP(4,4), GP(8,8) Goldberg-szekvenciát hozza létre...

háziorvos(1,1) háziorvos(2,2) GP(4,4)...
GP IV
{4+,3}
nak nek
ctO
cctO
GP V
{5+,3}
tI
ctI
cctI
GP VI
{6+,3}
th
ctH
cctH

A csonkolt tetrakiszexaéder vagy pentakisdodekaéder , GP(3,0) a GP(3,0), GP(6,0), GP(12,0) Goldberg-szekvenciát hozza létre...

GP(3,0) GP (6.0) GP(12,0)...
GP IV
{4+,3}
tkC
ctkC 		cctkC
GP V
{5+,3}
tkD
ctkD 		cctkD
GP VI
{6+,3}
tkH
ctkH 		cctkH

Poliéderek és lesarkított lépek

Az expanziós művelethez hasonlóan a letörési művelet is bármilyen méretben alkalmazható. A 3D térben lévő poliédereknél a művelet megháromszorozza a csúcsok számát. Magasabb dimenziókban minden él körül új cellák jönnek létre, amelyek az eredeti lap két másolatát tartalmazó prizmák, a prizma oldalaihoz piramisokkal.


Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ C80 izomerek (elérhetetlen link) . Letöltve: 2018. március 4. Az eredetiből archiválva : 2014. augusztus 12. 

Irodalom


Linkek