Hálózattudomány

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. május 24-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A hálózattudomány olyan tudományterület, amely összetett hálózatokat , például kommunikációt , számítógépes , biológiai , kognitív és szemantikai hálózatokat , valamint közösségi hálózatokat vizsgál, és figyelembe veszi a folyamat különböző elemeit vagy résztvevőit, amelyeket csomópontok (vagy csúcsok ) képviselnek, és az elemek vagy a résztvevők közötti kapcsolatok, amelyeket linkek (vagy élek ) képviselnek. Ez a tudományos terület elméleteket és módszereket a gráfelméletből , a statisztikai mechanikából , az adatbányászatból és az információ-vizualizációból a számítástechnikából , a következtetések modellezését a statisztikából és a társadalmi struktúrát a szociológiából kölcsönzi. Az Egyesült Államok Nemzeti Kutatási Tanácsa a hálózattudományt úgy határozza meg, mint "fizikai, biológiai és társadalmi jelenségek hálózatba kapcsolt reprezentációinak tanulmányozását, amelyek ezeknek a jelenségeknek a prediktív modelljéhez vezetnek". [egy]

Háttér és előzmények

A hálózatok tanulmányozásával számos tudományágban találkoztak, és ezt a modellt alkalmazták összetett és összefüggő adatok elemzésére. A legkorábbi cikk ezen a területen a hét königsbergi hídról szóló híres cikk , amelyet Leonhard Euler írt 1736-ban. A csúcsok és élek Euler-féle matematikai leírása lett a gráfelmélet alapja, amely a matematika azon ága, amely a páronkénti kapcsolatok tulajdonságait vizsgálja egy hálózati struktúrában. A gráfelmélet kifejlesztett és alkalmazásra talált a kémiában [2] .

König Denes magyar matematikaprofesszor 1936-ban írta meg az első gráfelméleti könyvet A véges és végtelen gráfok elmélete [3] címmel .

Az 1930-as években Jacob Levi Moreno , a Gestalt-pszichológia hagyományai szerint dolgozó pszichológus megérkezett az Egyesült Államokba. Kidolgozott egy szociogramot , és 1933 áprilisában az orvostanhallgatók kongresszusán bemutatta a nagyközönségnek. Moreno azzal érvelt, hogy "a szociometria feltalálása előtt senki sem tudta pontosan, hogyan néz ki egy csoport interperszonális struktúrája" [4] . A szociogram egy általános iskolai tanulócsoport társadalmi szerkezetét ábrázolta. A fiúk fiúkkal, a lányok pedig más lányokkal barátkoztak, egyetlen kivétellel: az egyik fiú azt mondta, hogy tetszik neki egy lány, de az érzés nem volt kölcsönös. A társadalmi struktúra hálózati reprezentációja olyan erős benyomást keltett, hogy a The New York Times [5] írt róla . A szociogram számos alkalmazást talált, ennek alapján a közösségi hálózatok elemzésének megközelítéseit fogalmazták meg .

A valószínűségszámítás hálózattudományi alkalmazása a gráfelmélet leszármazottjaként alakult ki Erdős Pál és Rényi Alfréd nyolc híres véletlenszerű gráfokról szóló tanulmánya formájában . A közösségi hálózatok esetében az exponenciális véletlen gráfmodell vagy p* kiváló keretrendszer, amellyel a közösségi hálózatokban megjelenő valószínűségi kapcsolatok terét ábrázolják . A valószínűségi hálózati struktúrák alternatív megközelítése a hálózati valószínűségi mátrix , amely egy hálózatban előforduló élek valószínűségét modellezi a kialakulóban lévő hálózatokban egy él történelmi jelenléte vagy hiánya alapján.

1998-ban David Crackhard és Kathleen Carley bemutatta a metanet ötletét a PCANS modellel. Azt javasolták, hogy "minden szervezet három irányban épül fel: egyének, feladatok és erőforrások". Írásukban bevezették azt a koncepciót, hogy a hálózatok különböző irányokból jönnek létre, és ezért összekapcsolódnak. Ez a terület a hálózattudomány másik részterületévé nőtte ki magát, az úgynevezett dinamikus hálózatelemzést .

Az utóbbi időben más tudományos erőfeszítések a különféle hálózati topológiák matematikai leírására összpontosítottak . Duncan Watts egyesítette a hálózatokon található adatokat egy matematikai ábrázolással, amely leírja a "Kis világ" grafikonját . Albert-Laszlo Barabashi és Réka Albert kifejlesztett egy skálainvariáns hálózatot , amely általánosságban egy olyan hálózati topológiát határoz meg, amely sok kapcsolattal rendelkező csomópontokat (hubokat) tartalmaz, amelyek száma folyamatosan nő, miközben állandó arányt kapcsolatokat az összes csomópont számához viszonyítva. Bár sok hálózat, például az internet, úgy tűnik, megőrzi ezt az arányt, más hálózatok csomópont-eloszlásainak hosszú sorai vannak, amelyek csak megközelítőleg tartják meg a skála invarianciát.

Honvédelmi Minisztérium kezdeményezései

Az amerikai hadsereg volt az első (1996-ban), amely érdeklődött a hálózatközpontú hadviselés iránt, mint a hadviselés hálózattudományon alapuló koncepciója iránt. John A. Parmentola, az Egyesült Államok hadseregének kutatási és laboratóriumi irányítási igazgatója 2003. december 1-jén az Army's Board on Science and Technology (BAST ) ülésén kijelentette, hogy a hálózattudomány a hadsereg új kutatási területévé válik. A BAST, az Állami Tudományos Akadémia Nemzeti Kutatási Tanácsának (NRC ) Műszaki és Fizikai Tudományok Osztálya felhatalmazással rendelkezik arra, hogy megbeszéléseket szervezzen a hadsereg számára sürgető tudományos és technológiai kérdésekről, és felügyelje a hadsereggel kapcsolatos független tanulmányokat, amelyeket az Állami Tudományos Akadémia végez. tudományos akadémia. A BAST azt vizsgálja, hogy egy új terület, a hálózattudomány kialakítása és finanszírozása segíthet-e megszüntetni a szakadékot a hálózatközpontú műveletek iránti igény és az alapvető hálózati ismeretek jelenlegi primitív állapota között.

Ennek eredményeként a BAST 2005-ben kiadott egy NRC kutatási cikket "Network Science" címmel, amely egy új kutatási alapterületet határoz meg a hálózattudományban a katonaság számára. E munka eredményei és ajánlásai, valamint az azt követő 2007-es, „A hadsereg hálózattudományi, technológiai és kísérleti központjainak stratégiája” című NRC-jelentés alapján a hadsereg főbb kutatási erőforrásait átirányították új, nagy kutatási programok kezdeményezésére a hálózattudományban. A komplex hálózatok új elméleti alapjainak felépítése érdekében a hálózattudományi kutatások néhány új kulcsfontosságú pontját támogatják a hadsereg laboratóriumai számára:

A hálózati viselkedés matematikai modelljei a teljesítmény előrejelzésére a hálózat mérete, összetettsége és környezete szempontjából.
Az online hadviseléshez szükséges optimalizált emberi teljesítmény.
Hálózatok szerveződése az ökoszisztémákban és a sejtekben molekuláris szinten.

A 2004-ben Frederick I. Moxley által bevezetett és David S. Alberts támogatásával a Védelmi Minisztérium segített létrehozni az első Hálózati Tudományos Központot az Egyesült Államok Hadseregének Egyesült Államok Katonai Akadémiájával ( USMA ) . A Moxley és az USMA munkatársai irányításával interdiszciplináris hálózattudományi alapképzési kurzust hoztak létre a West Point kadétok számára . A hálózattudomány alapjainak jobb megvalósítása érdekében a jövő vezetői körében az USMA egy öt tudományágból álló tanfolyamot is alapított.

2006-ban az Egyesült Államok Hadserege és az Egyesült Királyság (UK) létrehozta a Hálózat- és Információtudományok Nemzetközi Technológiai Szövetségét ( eng. International Technology Alliance ) ( eng. the Network and Information Science ), amely a hadsereg kutatásának közös partnersége Laboratórium, az Egyesült Királyság Védelmi Minisztériuma, valamint egy konzorcium ipar és egyetemek az Egyesült Államokban és az Egyesült Királyságban. A szövetség célja, hogy a hálózatközpontú működést támogató kutatásokat végezzen mindkét nemzet javára.

2009-ben az Egyesült Államok hadserege megalakította a Network Science Technology Cooperative Alliance -t , amely az Army Research Laboratory , a CERDEC és egy 30 amerikai ipari kutatóközpontból álló konzorcium közötti együttműködési kutatási szövetség . A szövetség célja az összefonódó társadalmi/kognitív, információs és kommunikációs hálózatok közös vonásainak mély megértése, és ennek eredményeként javítani a képességünket a sokféle összetett, összefonódó hálózati rendszer elemzésére, előrejelzésére, tervezésére és befolyásolására.

Aztán ezen erőfeszítések eredményeként az Egyesült Államok Védelmi Minisztériuma számos, a hálózattudományt támogató kutatási projektet támogatott.

Hálózati tulajdonságok

A hálózatoknak gyakran vannak olyan attribútumai, amelyek kiszámíthatók a hálózat tulajdonságainak és jellemzőinek elemzéséhez. E hálózati tulajdonságok viselkedését gyakran hálózati modellek határozzák meg, és felhasználhatók annak elemzésére, hogy az egyik modell miben tér el a másiktól. A hálózattudományban használt egyéb kifejezések számos definíciója megtalálható a Glossary of Graph Theory cikkben .

Méret

A hálózat mérete a csomópontok vagy ritkábban az élek számának tekinthető , amely (több él nélküli összekapcsolt gráfok esetén) (fa) és ( teljes gráf ) között változhat . Egy egyszerű gráf esetében (olyan hálózat, amelyben legfeljebb egy (iránytalan) él van bármely csúcspár között, és amelyben egyik csúcs sem kapcsolódik önmagához), van . Irányított grafikonokhoz (hurok nélkül) . Engedélyezett hurkokkal rendelkező irányított gráfokhoz . Olyan gráf esetében, amelyben egy csúcspár között több él is megengedett . $N$ $E$ $N-1$ ${\displaystyle E_{\max ))$ $E_{\max }={\tbinom {N}{2}}=N(N-1)/2$ $E_{\max }=N(N-1)$ ${\displaystyle E_{\max }=N^{2))$ $E_{\max }=\infty$

Sűrűség

A csomópontokkal rendelkező hálózat sűrűségét az élek számának és a hálózat lehetséges éleinek számához viszonyított arányként határozzuk meg, és (egyszerű gráfok esetén) a binomiális együtthatóval adjuk meg , amely megadja $D$ $N$ $E$ ${\tbinom {N}{2}}$

D={\frac {E-(N-1)}{Emax-(N-1)))={\frac {2(E-N+1)}{N(N-3)+2 }}

Egy másik lehetséges egyenlet, ahol a kötések nem orientáltak [6] [7] . Ez lehetővé teszi a hálózat sűrűségének jobb megértését, mivel az irányítatlan kapcsolatok mérhetők. $D={\frac {T-2N+2}{N(N-3)+2)),$ $T$

Síkhálózati sűrűség

Az élmetszéspontok nélküli hálózat sűrűségét úgy definiáljuk, mint az élek számának és az élek maximális számának arányát egy olyan hálózatban, ahol a csomópontok nincsenek keresztező élek . $D$ $E$ $N$ $(E_{\max }=3N-6)$ $D={\frac {E-N+1}{2N-5)).$

Egy csomó átlagos foka

Egy csomópont foka a hozzá tartozó élek száma. A hálózatsűrűséggel szorosan összefügg az átlagos sűrűség, (vagy irányított gráfok esetén . Az előző egyenletben szereplő 2-es tényező abból adódik, hogy egy irányítatlan gráfban minden él két különböző csúcs hatványaihoz járul hozzá). Az Erdős-Rényi véletlen gráf modellben ( ) kiszámíthatjuk a várható értéket (egyenlő egy tetszőleges csúcs várható értékével) - egy véletlen csúcsnak vannak további csúcsai is, amelyek kapcsolódási valószínűsége . Akkor . $k$ $\langle k\rangle ={\tfrac {2E}{N))$ $\langle k\rangle ={\tfrac {E}{N))$ $G(N,p)$ $\langle k\rangle$ $k$ $N-1$ $p$ $\mathbb {E} [\langle k\rangle ]=\mathbb {E} [k]=p(N-1)$

A legrövidebb út átlagos hossza (vagy úthossz karakterisztikája)

A legrövidebb út átlagos hosszát úgy számítjuk ki, hogy megtaláljuk a legrövidebb utat az összes csomópontpár között, és kiszámítjuk az összes út átlagos hosszát (a hossz az útvonalban található élek száma, azaz a gráf két csúcsa közötti távolság ) . Ez azt mutatja, hogy átlagosan hány lépést kell megtenni egyik gazdagéptől a másikig. Az átlagos legrövidebb út átlagos hosszának viselkedése egy véletlenszerű hálózati modell csúcsai számának függvényében meghatározza, hogy a modell tükrözi -e a kis világ hatását . Ha így viselkedik , a modell kis világhálózatok modelljét állítja elő. A logaritmikus modellnél nagyobb növekedés nem ad "kis világot". A növekedés egy speciális esete az ultrasmall world-effektus. ${\displaystyle d_{u,v))$ $u,v$ $N$ $O(\ln N)$ $O(\ln \ln N)$

Hálózati átmérő

A hálózati gráfok mérésének másik eszközeként a hálózat átmérőjét a hálózat leghosszabb számított legrövidebb útjaként határozhatjuk meg. Ez a legrövidebb távolság a hálózat két legtávolabbi csomópontja között. Más szóval, miután az egyes csomópontoktól az összes többi csomópontig vezető legrövidebb út hosszát kiszámították, az átmérő a leghosszabb az összes kiszámított úthossz közül. Az átmérő a hálózat lineáris méretének reprezentációja.

Klaszterezési együttható

A klaszterezési együttható az „összes barátom ismeri egymást” tulajdonság mértéke. Ezt néha úgy írják le, hogy "a barátom barátai az én barátaim". Pontosabban, egy csomópont klaszterezési együtthatója megegyezik a csomópont szomszédjait egymással összekötő meglévő kapcsolatok arányával, és az ilyen kapcsolatok maximális számával. A teljes hálózat klaszterezési együtthatója megegyezik az összes csomópont klaszterezési együtthatóinak átlagával. A hálózat magas klaszterezési együtthatója a szűk világ újabb jele .

A -edik csomópont klaszterezési együtthatója egyenlő $én$

C_{i}={2e_{i} \over k_{i}{(k_{i}-1)))\,,

ahol egyenlő az i -edik csomópont szomszédjainak számával, és egyenlő a szomszédok közötti kapcsolatok számával. A szomszédok közötti kapcsolatok maximális száma tehát $k_i$ $én$ $e_{i}$

{\binom {k}{2}}={{k(k-1)} \over 2}\,.

Valószínűségelmélet szempontjából a várható lokális klaszterezési együttható egyenlő annak a valószínűségével, hogy ugyanazon csomópont két tetszőlegesen választott szomszédja között létezik kapcsolat.

Kapcsolati lehetőségek

A hálózat elemzésében és értelmezésében nagy szerepet játszik a hálózat kapcsolódási módja. A hálózatokat négy kategóriába sorolják:

A Clique / Full Graph egy teljesen összekapcsolt hálózat, amelyben minden csomópont minden másik csomóponthoz kapcsolódik. Ezek a hálózatok szimmetrikusak, mivel minden csomópont rendelkezik bejövő kapcsolattal az összes többi csomóponttól és kimenő kapcsolattal az összes többi csomóponthoz.
Óriás komponens – Egyetlen csatlakoztatott komponens tartalmazza a hálózat legtöbb csomópontját.
A lazán összekapcsolt komponens olyan csomópontok halmaza, amelyekben az élek irányától függetlenül van egy út bármely csomóponttól a másikig.
Az erősen kapcsolódó komponens olyan csomópontok halmaza, amelyekben bármely csomóponttól bármely másik csomópontig irányított útvonal van.

Csomóközpontúság

A központisági pontszámok rangsort hoznak létre, amely megpróbálja azonosítani a hálózati modell legfontosabb csomópontjait. A központiság különböző mértékei különböző kontextust kódolnak a „fontosság” szóhoz. A közvetítés mértéke például egy csomópontot nagyon fontosnak tart, ha hidat képez sok más csomópont között. Ezzel szemben az Erőteljesség egy csomópontot nagyon fontosnak tekint, ha sok más nagyon fontos csomópont kapcsolódik hozzá. Az irodalomban több száz ilyen békét javasoltak.

A centralitás jelei csak a legközpontibb csomópontok felfedésére pontosak. Ezeknek az intézkedéseknek ritkán van értelme a hálózat többi csomópontja számára [8] [9] . Ezenkívül a mutatók csak akkor pontosak, ha a csomópontok fontosságával összefüggésben használják őket, és más összefüggésekben hajlamosak "tévedni" [10] . Például képzeljünk el két közösséget, amelyeket csak egy él köt össze az egyes közösségek legfiatalabb tagjai között. Mivel az egyik közösségből a másikba való átmenetnek ezen az élen kell keresztülmennie, a két junior tag magas fokú közvetítéssel rendelkezik majd. De mivel fiatalok (látszólag), kevés kapcsolatuk van saját közösségük "fontos" csomópontjaival, ami azt jelenti, hogy befolyásuk meglehetősen alacsony lesz.

A statikus hálózatok kontextusában a centralitás fogalmát empirikus és elméleti vizsgálatok alapján kiterjesztették a dinamikus centralitásra [11] az időfüggő és tranziens hálózatok összefüggésében [12] [13] [14] .

Peak Influence

A centralitási intézkedések korlátai általánosabb intézkedések kidolgozásához vezettek. Két példa az elérhetőség , amely a véletlenszerű utak hossz-szórását használja annak mérésére, hogy a hálózat többi része mennyire elérhető egy kiválasztott kezdő csomópontból [15] , és a várható erősség , amely a fertőzés erősségének várható értékének deriváltja a csomópont generálja [8] . Mindkét mérőszám csak a hálózat szerkezetéből számítható ki értelmesen.

Hálózati modellek

A hálózati modellek alapul szolgálnak az empirikus komplex hálózatokon belüli kapcsolatok megértéséhez. A különféle véletlen gráfgeneráló modellek olyan hálózati struktúrákat alkotnak, amelyek összehasonlíthatók a valós világ komplex hálózataival.

Az Erdős-Rényi Random Graph Model

Az Erdős Pálról és Rényi Alfrédról elnevezett Erdős-Rényi modell véletlenszerű gráfok generálására szolgál, amelyekben egyenlő valószínűséggel képződnek élek a csomópontok között. A modell valószínûségi módszerben felhasználható különbözõ tulajdonságú gráfok létezésének bizonyítására, vagy annak szigorú meghatározására, hogy szinte minden gráfra mely tulajdonságok érvényesek.

Az Erdős-Rényi modell létrehozásához két paramétert kell megadni - az n csomópontok teljes számát és azt a p valószínűséget , amellyel egy tetszőleges csomópontpárnak van összekötő éle. $G(n,p)$

Mivel a modellt bizonyos csomópontok sérelme nélkül állítják elő, a csomópontok eloszlása a kapcsolatok száma szerint binomiális - véletlenszerűen kiválasztott csomópont esetén, $v$

P(\deg(v)=k)={n-1 \choose k}p^{k}(1-p)^{n-1-k}.

Ebben a modellben a klaszterezési együttható szinte biztosan 0 . A viselkedés három területre bontható. $G(n,p)$

Szubkritikus : Minden komponens egyszerű és nagyon kicsi, a legnagyobb komponens mérete ; $np<1$ $|C_{1}|=O(\log n)$

Kritikus : ; $np=1$ $|C_{1}|=O(n^{\frac {2}{3)))$

Szuperkritikus : hol van az egyenlet pozitív megoldása . $np>1$ $|C_{1}|\approx yn$ $y=y(np)$ $e^{-pny}=1-y$

A legnagyobb csatlakoztatott alkatrész nagy bonyolultságú. Az összes többi alkatrész egyszerű és kicsi . $|C_{2}|=O(\log n)$

Konfigurációs modell

A konfigurációs modellhez bemenetként kiválasztunk egy csúcsfok-sorozatot [16] [17] vagy egy csúcsfok-eloszlást [18] [19] (amelyet aztán egy csúcssorozat generálására használunk), és egy véletlenszerűen összekapcsolt gráfot adunk meg. a sorozat összes csúcsfokának megőrzésével jött létre. Ez azt jelenti, hogy egy adott fokszám-sorozathoz a gráfot egységesen választjuk ki az összes olyan gráf halmazából, amelyeknek ilyen csúcsfokozatai vannak. Egy véletlenszerűen választott csúcs fokszáma egy független és egyenlő eloszlású valószínűségi változó egész értékekkel. Amikor a konfigurációs grafikon egy óriási összekapcsolt komponenst tartalmaz , melynek mérete korlátlan [17] . A többi komponens véges méretű, amely méreteloszlás segítségével számszerűsíthető. Annak valószínűségét , hogy egy véletlenszerűen kiválasztott csomópont egy méretkomponenshez van társítva, a fokszámeloszlás [20] konvolúciós foka adja meg . $k$ ${\textstyle \mathbb {E} [k^{2}]-2\mathbb {E} [k]>0}$ $w(n)$ $n$

w ( n ) = { E [ k ] n − egy u egy ∗ n ( n − 2 ) , n > egy , u ( 0 ) n = egy , {\displaystyle w(n)={\begin{cases}{\frac {\mathbb {E} [k]}{n-1}}u_{1}^{*n}(n-2),&n> 1,\\u(0)&n=1,\end{cases}}}

w(n)={\begin{cases}{\frac {\mathbb {E} [k]}{n-1}}u_{1}^{*n}(n-2),&n> 1,\\u(0)&n=1,\end{cases}}

ahol a csomópontok eloszlását jelenti a hivatkozások száma szerint és . Egy óriási komponens megsemmisíthető, ha véletlenszerűen eltávolítjuk az összes csúcs egy kritikus részét. Ezt a folyamatot perkolációnak (szivárgásnak) nevezik véletlenszerű hálózatokon . Ha az eloszlási fok második momentuma véges, vagyis ezt a kritikus éltörtet a [21] egyenlőség adja meg. $u(k)$ $u_{1}(k)={\frac {(k+1)u(k+1)}{\mathbb {E} [k]}}$ $p_{c}$ ${\textstyle \mathbb {E} [k^{2}]<\infty }$

p_{c}=1-{\frac {\mathbb {E} [k]}{\mathbb {E} [k^{2}]-\mathbb {E} [k]}}

és a csúcsok közötti átlagos távolság az óriás komponensben logaritmikusan arányos a hálózat teljes méretével [18] . $l$ $l=O(\log N)$

Az orientált konfigurációs modellben egy csomópont fokszámát két szám, a bemeneti félfok és a kimeneti félfok adja meg , és ennek megfelelően a csúcsfokok eloszlása kétváltozós lesz. A bejövő és a kimenő élek várható száma megegyezik, tehát . Egy orientált konfigurációs modell akkor és csak akkor tartalmaz egy óriási komponenst , ha [22] $k_{\text{in))$ $k_{\text{out}}$ ${\textstyle \mathbb {E} [k_{\text{in}}]=\mathbb {E} [k_{\text{out}}]}$

2 E [ k ban ben ] E [ k ban ben k ki ] − E [ k ban ben ] E [ k ki 2 ] − E [ k ban ben ] E [ k ban ben 2 ] + E [ k ban ben 2 ] E [ k ki 2 ] − E [ k ban ben k ki ] 2 > 0. {\displaystyle 2\mathbb {E} [k_{\text{in}}]\mathbb {E} [k_{\text{in}}k_{\text{out}}]-\mathbb {E} [k_ {\text{in}}]\mathbb {E} [k_{\text{out}}^{2}]-\mathbb {E} [k_{\text{in}}]\mathbb {E} [k_ {\text{in}}^{2}]+\mathbb {E} [k_{\text{in}}^{2}]\mathbb {E} [k_{\text{out}}^{2} ]-\mathbb {E} [k_{\text{in}}k_{\text{out}}]^{2}>0.}

2\mathbb {E} [k_{\text{in}}]\mathbb {E} [k_{\text{in}}k_{\text{out}}]-\mathbb {E} [k_ {\text{in}}]\mathbb {E} [k_{\text{out}}^{2}]-\mathbb {E} [k_{\text{in}}]\mathbb {E} [k_ {\text{in}}^{2}]+\mathbb {E} [k_{\text{in}}^{2}]\mathbb {E} [k_{\text{out}}^{2} ]-\mathbb {E} [k_{\text{in}}k_{\text{out}}]^{2}>0.

Figyeljük meg, hogy és egyenlőek, ezért felcserélhetők az utolsó egyenlőtlenségben. Annak valószínűségét, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott csúcs egy méretkomponenshez tartozik, a [23] képlet adja meg . ${\textstyle \mathbb {E} [k_{\text{in}}]}$ ${\textstyle \mathbb {E} [k_{\text{out}}]}$ $n$

h ban ben ( n ) = E [ k én n ] n − egy u ~ ban ben ∗ n ( n − 2 ) , n > egy , u ~ ban ben = k ban ben + egy E [ k ban ben ] ∑ k ki ≥ 0 u ( k ban ben + egy , k ki ) , {\displaystyle h_{\text{in}}(n)={\frac {\mathbb {E} [k_{in}]}{n-1}}{\tilde {u}}_{\text{in }}^{*n}(n-2),\;n>1,\;{\tilde {u}}_{\text{in}}={\frac {k_{\text{in}}+ 1}{\mathbb {E} [k_{\text{in}}]}}\sum \limits _{k_{\text{out}}\geq 0}u(k_{\text{in}}+1 ,k_{\text{out)))}

h_{\text{in}}(n)={\frac {\mathbb {E} [k_{in}]}{n-1}}{\tilde {u}}_{\text{in }}^{*n}(n-2),\;n>1,\;{\tilde {u}}_{\text{in}}={\frac {k_{\text{in}}+ 1}{\mathbb {E} [k_{\text{in}}]}}\sum \limits _{k_{\text{out}}\geq 0}u(k_{\text{in}}+1 ,k_{\text{out)))

a bejövő alkatrészekhez, és

h_{\text{out}}(n)={\frac {\mathbb {E} [k_{\text{out}}]}{n-1}}{\tilde {u}}_{ \text{out}}^{*n}(n-2),\;n>1,\;{\tilde {u}}_{\text{out}}={\frac {k_{\text{ ki))+1}{\mathbb {E} [k_{\text{out}}]}}\sum \limits _{k_{\text{in}}\geq 0}u(k_{\text{in )),k_{\text{out}}+1),

a kimenő alkatrészekhez.

A Watts-Strogatz közeli világmodell

A Watts-Strogatz modell egy véletlenszerű gráfgeneráló modell, amely "kis világ" tulajdonságokkal rendelkező gráfokat állít elő.

A Watts-Strogatz modell létrehozásához a kezdeti rácsszerkezetet használjuk. A hálózat minden csomópontja kezdetben a legközelebbi szomszédaihoz van társítva . Egy másik paraméter az újrahuzalozás valószínűségét határozza meg. Minden élnek megvan annak a valószínűsége , hogy véletlenszerű élként újra be lesz kötve a gráfba. A modellben az újrahuzalozott kapcsolatok várható száma . $\langle k\rangle$ $p$ $pE=pN\langle k\rangle /2$

Mivel a Watts-Strogatz modell egy nem véletlenszerű rácsszerkezetből indul ki, nagyon magas klaszterezési tényezővel és magas átlagos úthosszal rendelkezik. Valószínűleg minden újrahuzalozás parancsikont hoz létre az erősen kapcsolódó fürtök között. Az újrahuzalozás valószínűségének növekedésével a klaszterezési együttható lassabban csökken, mint az átlagos úthossz. Ennek eredményeként ez lehetővé teszi, hogy az átlagos hálózati úthossz jelentősen csökkenjen a klaszterezési együttható enyhe csökkenésével. A p magas értékei több él-újrahuzalozást eredményeznek, ami a Watts-Strogatz modellt véletlenszerű hálózattá teszi.

Az előnyben részesített mellékletek Barabasi-Albert modellje

A Barabasi-Albert modell egy véletlenszerű hálózati modell, amelyet a preferenciális kötődések vagy a gazdagok gazdagodnak effektus bemutatására használnak. Ebben a modellben egy él a legnagyobb valószínűséggel a legmagasabb fokszámú csomópontokhoz csatlakozik. A hálózat egy m 0 csomóponttal rendelkező hálózattal kezdődik , ahol , és a kezdeti hálózat minden csomópontjának fokszámának legalább 1-nek kell lennie, különben a csomópont örökre leválasztva marad a hálózat többi részétől. $m_{0}\geqslant 2$

A Barabasi-Albert modellben az új csomópontok egyenként kerülnek a hálózatba. Minden új csomópont a már meglévő csomópontok számával arányos valószínűséggel csatlakozik a meglévő csomópontokhoz. Formálisan annak a valószínűsége , hogy egy új csomópont csatlakozik az i csomóponthoz , [24] $m$ $p_{i}$

p_{i}={\frac {k_{i}}{\sum _{j}k_{j}}},

ahol k i az i csomópont foka . A leginkább összekapcsolt csomópontok ("hubok") hajlamosak gyorsan még több kapcsolatot felhalmozni, míg a kevesebb kapcsolattal rendelkező csomópontokat valószínűleg nem választják új kapcsolatként. Az új csomópontoknak megvan az az "előnye", hogy csatlakoznak a már legerősebben összekapcsolt csomópontokhoz.

A csomópontok eloszlása a BA modellből kapott hivatkozások száma szerint skálainvariáns , különösen az alak hatványtörvénye

P(k)\sim k^{-3}\,

A hubok magas fokú közvetítést mutatnak, lehetővé téve a csomópontok közötti rövid útvonalakat. Ennek eredményeként a BA-modell általában nagyon rövid átlagos úthosszúságú. Ennek a modellnek a klaszterezési együtthatója is hajlamos 0-ra. Míg sok modell D átmérője, beleértve az Erdős-Rényi véletlen gráfmodellt és néhány szűk világú hálózatot is, arányos log N-el, a BA modell D~loglogN-t (ultra- szűk világ) [26] .

Köztes csatolási modell

A közvetítésvezérelt csatolási modellben ( mediation-driven attachment , MDA) egy új csomópont élekkel érkezik , amelyekhez véletlenszerűen kiválasztunk egy meglévő csatlakoztatott csomópontot, és az új csomópont nem csak ehhez a véletlenszerűen kiválasztott csomóponthoz kapcsolódik, hanem szintén véletlenszerűen kiválasztott szomszédaihoz. Annak a valószínűsége , hogy egy meglévő csomópont szomszédos csomópontja kerül kiválasztásra $m$ $m$ $\Pi (i)$ $én$

\Pi (i)={\frac {k_{i}}{N}}{\frac {\sum _{j=1}^{k_{i}}{\frac {1}{k_{ j}}}}{k_{i}}}}.

A szorzó egyenlő a csomópont szomszédjainak hatványai harmonikus átlagának (OSG) reciprokával . Egy kiterjedt numerikus tanulmány azt sugallja, hogy általában a GRG átlagos értéke egy állandóra hajlamos, ami azt jelenti, hogy . Ebből az következik, hogy minél több kapcsolattal (fokkal) rendelkezik egy csomópont, annál nagyobb az esélye, hogy több kapcsolatot szerezzen, mivel ezek sokféle módon szerezhetők meg közvetítőkön keresztül, ami lényegében azt az intuitív gondolatot testesíti meg, hogy "a gazdagok gazdagodnak". " (vagy a preferenciális kötődés szabálya Barabashi-Albert modellek). Ezért az MDA hálózatok, mint érthető, betartják a PA szabályt, de implicit formában [27] . ${\frac {\sum _{j=1}^{k_{i}}{\frac {1}{k_{j}}}}{k_{i}}}$ $k_i$ $én$ $m>14$ $N$ ${\displaystyle \Pi (i)\propto k_{i))$

Azonban amikor megkapjuk a „győztes mindent visz” mechanizmust, mivel szinte a csomópontok teljes számának egy foka van, és egy csomópont szupergazdaggá válik. Az érték növekedésével a szupergazdagok és a szegények közötti aránytalanság csökken, és a -nál megfigyelhető az átmenet a „gazdag lesz szupergazdag” mechanizmustól a „gazdag gazdagabbá válik” mechanizmus felé. $m=1$ $99\%$ $m$ $m>14$

Match Model

Egy másik modellt, amelyben a csúcs természete a kulcsfontosságú összetevő, Caldarelli és munkatársai javasoltak [28] . Itt egy kapcsolat jön létre két csúcs között , amelynek valószínűségét az érintett csúcsok leképezési modelljének Az i csúcs fokát a [29] képlet adja meg. $i,j$ $f(\eta _{i},\eta _{j})$

k(\eta _{i})=N\int _{0}^{\infty }f(\eta _{i},\eta _{j})\rho (\eta _{j} )\,d\eta _{j}

Ha reverzibilis növekvő függvénye , akkor a valószínűségi eloszlást a képlet adja meg $k(\eta _{i})$ ${\displaystyle \eta _{i))$ $P(k)$

P(k)=\rho (\eta (k))\cdot \eta '(k)

Ennek eredményeként, ha a megfeleltetés egy hatványtörvény szerint oszlik el, akkor a csomópontok foka is az. $\eta$

Kevésbé nyilvánvaló a gyorsan csökkenő valószínűségi eloszlással és az űrlap összekapcsoló függvényével $\rho (\eta )=e^{-\eta }$

f(\eta _{i},\eta _{j})=\Theta (\eta _{i}+\eta _{j}-Z)

egy konstans és egy Heaviside függvénnyel , hogy skálainvariáns hálózatokat kapunk. $Z$ $\Theta$

Egy ilyen modellt sikeresen alkalmaztak a nemzetek közötti kereskedelem leírására, a GDP -t a különböző csomópontok megfelelő mérőszámaként és a [30] [31] forma összekapcsoló függvényeként használva . $i,j$

{\frac {\delta \eta _{i}\eta _{j}}{1+\delta \eta _{i}\eta _{j}}}.

Hálózati elemzés

Közösségi hálózat elemzés

A közösségi hálózatelemzés a társadalmi szereplők közötti kapcsolatok szerkezetét tárja fel [6] . Ezek az entitások gyakran emberek, de lehetnek csoportok , szervezetek , nemzetállamok , weboldalak , tudományos publikációk is .

Az 1970-es évek óta a hálózatok empirikus vizsgálata központi szerepet játszik a társadalomtudományban, és a hálózatok tanulmányozására használt matematikai és statisztikai eszközök közül sokat a szociológiában fejlesztettek ki [32] . Sok más alkalmazás mellett a közösségi hálózatok elemzését használják az innováció , a hírek és a pletykák terjedésének megértésére. Hasonlóképpen felhasználható mind a betegségek terjedésének, mind az egészséggel kapcsolatos viselkedés vizsgálatára . Alkalmazták piackutatásban is, ahol az áru-pénz kapcsolatokban és a társadalmi mechanizmusokban betöltött szerepének tesztelésére használták . Hasonlóképpen, a politikai mozgalmakban és társadalmi szervezetekben való részvétel tanulmányozására használták . A tudományos viták és az akadémiai hírnév értelmezésére is használták. A közelmúltban a hálózatelemzést (és legközelebbi rokonát, a forgalomelemzést ) széles körben alkalmazták a katonai hírszerzésben az ellenállás társadalmi hálózatainak feltárására, amelyek egyszerre hierarchikus és vezető nélküli jellegűek [33] [34] .

Dinamikus hálózatelemzés

A dinamikus hálózatelemzés feltárja az objektumok különböző osztályai közötti kapcsolatok szerkezetének változását összetett társadalmi-technikai rendszerekben, és tükrözi a társadalmi stabilitást és változásokat, például új csoportok, viták és vezetők megjelenését [11] [12] [ 13] [14] [35] . A dinamikus hálózatelemzés a sokféle csomópontból (objektumból) és többféle hivatkozásból álló metahálózatokra összpontosít . Ezek az objektumok nagyon változatosak lehetnek [11] . Ilyenek például az emberek, szervezetek, témák, erőforrások, feladatok, események, helyszínek és hiedelmek.

A dinamikus hálózati technikák különösen hasznosak a hálózat időbeli trendjeinek értékelésére, a feltörekvő vezetők azonosítására, valamint az emberek és ötletek együttfejlődésének feltárására.

Biológiai hálózatelemzés

A nyilvánosan elérhető biológiai adatok közelmúltbeli robbanásszerű terjedésével a molekuláris hálózatok elemzése jelentős érdeklődésre tett szert. Az ilyen körülmények között végzett elemzés szorosan kapcsolódik a közösségi hálózatok elemzéséhez, de gyakran a hálózat helyi mintáira összpontosít. Például a hálózati motívumok kis részgráfok, amelyek felülreprezentáltak a hálózatban. A tevékenységi motívumok olyan, mint a hálózat csomópontjainak és éleinek tulajdonságaiban túlreprezentált minták, amelyek felülreprezentáltak a hálózati struktúrában. A biológiai hálózatok elemzése a hálózati medicina kifejlesztéséhez vezetett , amely a betegségek interaktómában gyakorolt hatását veszi figyelembe [36] .

Linkelemzés

A kapcsolatelemzés a hálózati elemzés egy részhalmaza, amely az objektumok közötti asszociációkat vizsgálja. Példa lehet a gyanúsítottak és áldozatok címének, az általuk tárcsázott telefonszámoknak, a kérdéses időszak alatti pénzügyi tranzakcióiknak és ezen entitások kapcsolatának vizsgálata a rendőrségi nyomozás részeként. A linkelemzés itt olyan kritikus kapcsolatokat és asszociációkat ad meg nagyon sok különböző típusú objektum között, amelyek nem nyilvánvalóak, ha az információkat elszigetelten vizsgáljuk. Az automatizált linkelemzést egyre gyakrabban használják ki a bankok és biztosítási ügynökségek a csalások felderítésére , a távközlési szolgáltatók a kommunikációs hálózatok elemzésére, a járványügyi és farmakológiai orvoskutatók , a nyomozások bűnüldöző szervei , a relevancia értékelésére szolgáló keresőmotorok (és fordítva, a spammerek a spamdexelésre és üzlettulajdonosok ) .

Hálózati rugalmasság

A hálózatok szerkezeti stabilitását [37] perkolációs elmélet segítségével vizsgáljuk . Ha a csomópontok kritikus hányadát eltávolítják a hálózatból, a hálózat kis klaszterekre bomlik. Ezt a jelenséget perkolációnak [38] nevezik, és a „rend-zavar” fázisátalakulás egy típusát képviseli kritikus indexszel .

Pandémiaelemzés

A SIR modell az epidemiológiában az egyik legismertebb algoritmus a globális pandémiák terjedésének előrejelzésére a fertőzött populációban.

A fertőzésre való fogékonyság állapotából

S=\beta \left({\frac {1}{N))\right)

A fenti képlet a fertőzés "erősségét" írja le a fertőzött populáció minden egyes fogékony egységére vonatkozóan, ahol megegyezik a betegség terjedési sebességével. $\beta$

A fogékony egység változásainak nyomon követése egy fertőzött populációban:

\Delta S=\beta \times S{1 \over N}\,\Delta t

A fertőzéstől a gyógyulásig

\Delta I=\mu I\,\Delta t

Idővel az ilyen fertőzések száma függ a gyógyulás célarányától, amelyet a szám , de az átlagos fertőzési időszak alatt , a fertőzött egyének számától és az időbeli változások számától függ . $\mu$ ${\displaystyle {1 \over \tau ))$ $én$ $\Delta t$

Fertőző időszak

Az, hogy egy populációt érint-e világjárvány, a SIR-modell szemszögéből a „más emberektől származó fertőzöttek átlagos számától” függ. $R_{0}$

{\displaystyle R_{0}=\beta \tau ={\beta \over \mu ))

Weblink elemzés

Számos keresőmotor- rangsorolási algoritmus használ link - alapú központi mérőszámot, köztük (a megjelenés sorrendjében) a Marchiori-féle Hyper Search , a Google PageRank , a Kleinberg-féle HITS , a a A hivatkozáselemzés az információelméletben elvégezhető a weboldalak halmazának információinak megértése és kinyerése érdekében. Ez lehet például a politikusok weboldalai vagy blogjai közötti kapcsolatok elemzése.

PageRank

A PageRank úgy működik, hogy véletlenszerűen kiválaszt egy "webhelyet" vagy internetes webhelyet, és bizonyos valószínűséggel "véletlenszerűen" ugrik más webhelyekre. Az ezekre a csomópontokra érkező véletlenszerű találatok lehetővé teszik a PageRank becslése számára, hogy teljesen megkerülje a hálózatot, mivel egyes oldalak a hálózat perifériáján vannak, és nem könnyen értékelhetők.

Minden csomópont rendelkezik PageRank értékkel, amelyet a csomóponthoz társított oldalak számának reciprokának összegeként határozunk meg oldalakra a kimenő ívek alapján, vagy a csomópont „eredmény félfokát” szorozva a csomópont „fontosságával” vagy PageRank értékkel . $x_{i}$ $j$ $én$ $j$ $j$

{\displaystyle x_{i}=\sum _{j\rightarrow i}{1 \over N_{j}}x_{j}^{(k)))

Véletlenszerű átmenetek

A fentebb leírtak szerint a PageRank véletlenszerű átmeneteket hajt végre annak érdekében, hogy az internet minden oldalához PageRank értéket rendeljen. Ezek a véletlenszerű navigációk olyan webhelyeket találnak, amelyek nem találhatók meg a normál keresési módszerek, például a szélesség - első keresés és a mélység -első keresés eredményeként .

A PageRank meghatározására szolgáló fenti képlet továbbfejlesztése tartalmazza ezen véletlenszerű átmenetek összetevőit. Véletlenszerű átmenetek nélkül egyes oldalak PageRank értéke 0 lesz, ami nem jó.

Az első komponens a , vagy annak a valószínűsége, hogy véletlenszerű átmenet következik be. Ennek ellenkezője a "csillapítási tényező", vagy . $\alpha$ $1-\alpha$

R{(p)}={\alpha \over N}+(1-\alpha )\sum _{j\rightarrow i}{1 \over N_{j}}x_{j}^{(k )}

Egy másik oldal ezzel kapcsolatban:

R(A)=\sum {R_{B} \over B_{\text{(outlinks)}}}+\cdots +{R_{n} \over n_{\text{(outlinks)))}

A centralitás mértékei

A csomópontok és élek relatív fontosságáról a gráfokban információkat szerezhetünk a központiság mértékével , amelyet széles körben használnak olyan tudományágakban, mint a szociológia . Központi intézkedésekre van szükség, ha a hálózati elemzés nem ad választ az olyan kérdésekre, mint például: "A hálózat mely csomópontjait kell használni annak biztosítására, hogy egy üzenet vagy információ a hálózat összes vagy legtöbb csomópontjához eljusson?" vagy fordítva: "Mely csomópontokat kell érinteni a betegség terjedésének megállításához?". A centralitás formálisan meghatározott mérőszámai a kapcsolódás mértéke , a közelség mértéke , a közvetítés mértéke , a befolyás mértéke és a Katz-centralitás . A hálózatelemzés célja általában előre meghatározza az alkalmazott centralitási mérőszám(ok) típusát [6] .

Egy hálózati csomópont kapcsolódási foka a csomópontra eső hivatkozások (csúcsok) száma.
A közelség határozza meg, hogy egy hálózati csomópont mennyire van „közel” a többi csomóponthoz, az adott csomópont és a többi hálózati csomópont közötti legrövidebb távolságok (geodéziai utak) összegzésével.
A közvetítés mértéke meghatározza egy csomópont relatív fontosságát azáltal, hogy méri az adott csomóponton keresztül a hálózat többi csomópontjához áramló áramlás mennyiségét. Ez a kérdéses csomópontot tartalmazó összes csomópontpárt összekötő utak arányának mérésével történik. A csoportos közvetítés mértéke a csomópontok csoportján átfolyó áramlás mennyiségét méri [39] .
A befolyás mértéke a centralitás mértékének egy összetettebb változata, amikor egy csomópont központisága nem csak a csomópontra eső hivatkozások számától függ, hanem ezeknek a kapcsolatoknak a minőségétől is. Ezt a minőségi tényezőt a hálózat szomszédsági mátrixának sajátvektorai határozzák meg.
Egy csomópont Kac-centralitását az adott csomópont és a hálózat összes (elérhető) csomópontja közötti geodéziai (azaz a legrövidebb) utak összegzésével mérjük. Ezek az útvonalak súlyozottak, a csomópontot a közvetlen szomszédaival összekötő utak nagyobb súlyúak, mint a távolabbi csomópontokhoz kapcsolódó csomópontok.

Tartalom elosztása hálózatokban

A tartalmat egy összetett hálózatban két fő módon lehet elosztani: perzisztens terjesztéssel és nem perzisztens terjesztéssel [40] . Folyamatos terjesztés esetén az összetett hálózatokba belépő tartalom teljes mennyisége állandó marad, miközben áthalad a hálózaton. A fennmaradó eloszlási modellt leginkább egy bizonyos mennyiségű vizet tartalmazó tégely képviseli, amelyet egy sor csövekkel összekapcsolt lefolyóba öntenek. Itt a kancsó jelenti a forrást, a víz pedig az elosztandó tartalmat. A tartályok és az összekötő csövek a csomópontokat és a csomóponti csatlakozásokat jelentik. Amikor a víz egyik tartályból a másikba kerül, a víz eltűnik a forrástartályból. Nem perzisztens terjesztés esetén a tartalom mennyisége változik, ahogy az összetett hálózatokon halad át. A nem konzerváló terjedési modellt a legjobban egy csapból származó folyamatos áramlás reprezentálja, amely a csövek által összekapcsolt lefolyókon terjed. Itt a kezdeti forrásból származó víz mennyisége nincs korlátozva. Ezenkívül minden lefolyó, amelybe víz jutott, továbbra is kap vizet, még akkor is, ha más lefolyókba kerül. A nem konzervált modellek a legalkalmasabbak a legtöbb fertőzés terjedésének magyarázatára .

SIR modell

1927-ben W. O. Kermack és A. G. McKendrick megalkotott egy olyan modellt, amelyben egy fix populációt vesz figyelembe, amelynek csak három állapota van: fogékony , fertőzött, gyógyult . A modellben használt kategóriák három osztályból állnak: $Utca)$ $Azt)$ $R(t)$

$Utca)$ a betegséggel t időpontban még nem fertőzött személyek számát jelenti (a betegségre fogékony)
$Azt)$ azon fertőzött személyek száma, akik képesek a betegséget a „fogékony” kategóriába tartozó személyekre továbbítani
$R(t)$ a betegségben szenvedő és felépült emberek kategóriája. Az ebbe a kategóriába tartozó személyek, akik nem képesek újrafertőzni vagy átadni a fertőzést másoknak.

Ennek a modellnek a folyamata a következőképpen tekinthető meg:

{\mathcal {S}}\rightarrow {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {R}}

Kermack és McKendrick rögzített sokaság felhasználásával a következő egyenleteket vezette le: $N=S(t)+I(t)+R(t)$

{\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=-\beta SI\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&=\beta SI-\gamma I\ \[8pt]{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I\end{aligned}}

Néhány feltételezés született ezen egyenletek megfogalmazásához. Az első egyenlethez úgy kell tekinteni, hogy a populáció egy tagjának ugyanolyan valószínűsége van a fertőzésnek, mint bármely más tagnak, aránya , amely a fertőzés vagy betegség terjedési sebességének tekinthető. Ezért, amikor egy fertőzött képviselő érintkezik, és időegység alatt képes átadni a betegséget más képviselőknek, akkor a fertőzött képviselők fogékonyakkal való érintkezésének aránya egyenlő . A fertőzött személyenkénti időegységenkénti új fertőzések száma ekkor egyenlő a -val , ami az új fertőzések (illetve a fogékony kategóriát elhagyók) arányát [41] értékben határozza meg . A második és harmadik egyenlet esetében azt feltételezzük, hogy a populáció ugyanolyan ütemben hagyja el a fogékony osztályt, mint a fertőzött osztályba. A szám azonban megegyezik azon fertőzöttek arányával ( az átlagos felépülési arányt és a betegség átlagos idejét jelöli), akik időegységenként elhagyják ezt az osztályt, és átkerülnek a gyógyultak osztályába. Ezeket az egyidejű folyamatokat a tömegcselekvés törvényének nevezik, az a széles körben elfogadott elképzelés, hogy egy populáció két csoportja közötti érintkezési arány arányos a két vizsgált csoport méretével [42] . Végül feltételezzük, hogy a fertőzés és a felépülés aránya sokkal nagyobb, mint a születés és a halálozás, ezért ezeket a tényezőket nem veszik figyelembe a modellben. $\beta$ $\beta N$ $S/N$ $\beta N(S/N)$ $\beta N(S/N)I=\beta SI$ $\gamma$ $1/\gamma$

Erről a modellről bővebben az Epidemic Model oldalon olvashat .

Mesteregyenlet módszer

A fő egyenlet egy irányítatlan növekvő hálózat viselkedését fejezheti ki, amelyben minden lépésben egy új csomópontot adnak hozzá egy régi csomóponthoz (véletlenszerűen kiválasztott és preferenciák nélkül). A kezdeti hálózat két csomópontból és a köztük lévő két kapcsolatból áll . Egy ilyen konfiguráció csak a további számítások egyszerűsítéséhez szükséges, hogy a hálózatnak adott időpontban csomópontjai és linkjei legyenek. $t=2$ $t=n$ $n$ $n$

Ennek a hálózatnak a fő kinetikai egyenlete

p(k,s,t+1)={\frac {1}{t}}p(k-1,s,t)+\left(1-{\frac {1}{t}} \jobbra)p(k,s,t),

ahol annak a valószínűsége, hogy az időpontban fokszámú csomópont van , és az az idő, amikor a csomópontot hozzáadták a hálózathoz. Vegye figyelembe, hogy a régi csomópontnak csak két módja van arra , hogy időben kapcsolatot létesítsen : $p(k,s,t)$ $s$ $k$ $t+1$ $s$ $s$ $k$ $t+1$

A csomópont jelenleg fokozattal rendelkezik, és nagy valószínűséggel csatlakozik egy új csomóponthoz $s$ $k-1$ $t$ $1/t$
Jelenleg már rendelkezik diplomával , és nem csatlakozik új csomóponthoz. $k$ $t$

A modell egyszerűsítése után a csomópontok eloszlása a hivatkozások száma szerint egyenlő lesz [43] . ${\displaystyle P(k)=2^{-k))$

A növekvő hálózat alapján a járványmodell a következő egyszerű szabály szerint fejlődik: Minden alkalommal, amikor egy új csomópontot adunk hozzá, és miután kiválasztottuk, hogy melyik csomóponthoz kapcsolódjunk, eldől, hogy ez a csomópont fertőzött lesz-e vagy sem. Ennek a járványmodellnek az alapegyenlete a következő

p_{r}(k,s,t)=r_{t}{\frac {1}{t))p_{r}(k-1,s,t)+\left(1-{\ frac {1}{t}}\right)p_{r}(k,s,t),

ahol meghatározza a fertőzést ( ) vagy a fertőzés hiányát ( ). Ennek az alapegyenletnek a megoldása után a következő megoldást kapjuk: [44] . $r_{t}$ $r_{t}=1$ $r_{t}=0$ ${\tilde {P}}_{r}(k)=\left({\frac {r}{2}}\right)^{k}.$

Egymástól függő hálózatok

A kölcsönösen függő hálózatok olyan összefüggő hálózatok rendszere, amelyben egy vagy több hálózat csomópontja más hálózatok csomópontjaitól függ. Az ilyen függőségek a modern technológiák fejlődésével tovább bővülnek. A függőségek lépcsőzetes károkat okozhatnak a hálózatok között, viszonylag kis károk pedig katasztrofális rendszerhibákhoz vezethetnek. Az áramkimaradások elragadóan demonstrálják a hálózati csatlakozások szerepének fontosságát. A közelmúltban kidolgozták a lépcsőzetes zavarok tanulmányozásának koncepcióját egy kölcsönösen függő hálózatok rendszerében [45] [46] .

Többrétegű hálózatok

A többrétegű hálózatok többféle kapcsolattal rendelkező hálózatok [47] [48] [49] [50] [51] [52] . Az egyre kifinomultabb kísérletek a valós világ rendszereinek többszörösen összekapcsolt hálózatokként való modellezésére értékes ismereteket hoztak a társadalmi hálózatok elemzése [48] [49] [53] [54] [55] [56] , közgazdaságtan, történelem [57] , városi és nemzetközi közlekedés terén. [58 ] [59] [60] [61] , ökológia [62] [63] [64] [65] , pszichológia [66] , orvostudomány, biológia [67] , kereskedelem, klimatológia, fizika [68] [69] , neuroinformatika [70] [71] [72] Pénzügyi műveletek menedzsmentje.

Hálózat optimalizálás

Kombinatorikus optimalizálás néven tanulmányozzuk azokat a hálózati problémákat, amelyek bármilyen célra az optimális útvonal keresését használják . Ilyenek például a hálózati áramlások , a legrövidebb út probléma , a szállítási probléma , a szállítási probléma objektum elhelyezési probléma , az illesztési probléma , a hozzárendelési probléma , a csomagolási probléma , az útválasztási probléma , a kritikus útvonal módszere és a PERT ( értékelési és elemzési módszer) projektek.

Jegyzetek

↑ Nemzeti Kutatási Tanács. Hálózattudomány . — 2005-12-07. — ISBN 9780309100267 . Archiválva 2019. július 2-án a Wayback Machine -nél
↑ JJ Sylvester. Az új atomelmélet alkalmazásáról a bináris kvantika invariánsainak és kovariánsainak grafikus ábrázolására, három függelékkel // American Journal of Mathematics. - 1878. - 1. évf. , szám. 1 . – S. 64–104 . — ISSN 0002-9327 . - doi : 10.2307/2369436 . Archiválva az eredetiből: 2019. augusztus 12.
↑ Kőnig, 1990 .
↑ Moreno, 1953 .
↑ Érzelmek térképezve az új földrajz alapján ( PDF), The New York Times (1933. április 3.), 17. o.. Archiválva az eredetiből 2019. augusztus 12-én. Letöltve: 2019. augusztus 12.
↑ 1 2 3 Wasserman, Faust, 1994 .
↑ http://psycnet.apa.org/journals/prs/9/4/172/
↑ 12 Ügyvéd , 2015 , p. 8665.
↑ Sikic, Lancic, Antulov-Fantulin, Stefancic, 2013 , p. 440.
↑ Borgatti, 2005 , p. 55–71.
↑ 1 2 3 Braha, Bar-Yam, 2006 , p. 59–63.
↑ 1 2 Hill, Braha, 2010 , p. 046105.
↑ 1 2 Gross, Sayama, 2009 .
↑ 1 2 Holme, Saramäki, 2013 .
↑ Travençolo, da Costa, 2008 , p. 89–95.
↑ Bender, Canfield, 1978 , p. 296–307.
↑ 1 2 Molloy, Reed, 1995 , p. 161–180.
↑ 1 2 Newman, Strogatz, Watts, 2001 , p. 026118.
↑ Lifshits, 2006 , p. 4.2. konfigurációs modell.
↑ Kryven, 2017 , p. 052303.
↑ Kryven, 2018 , p. 140–157.
↑ Kryven, 2016 , p. 012315.
↑ Kryven, 2017 , p. 052304.
↑ Albert, Barabasi, 2002 , p. 47–97.
↑ Barabasi Albert, 1999 , p. 509-512.
↑ Cohen és Havlin, 2003 , p. 058701.
↑ Hassan, Islam, Arefinul Haque, 2017 , p. 23-30.
↑ Caldarelli, Capocci, De Los Rios, Muñoz, 2002 , p. 258702.
↑ Servedio, Caldarelli, Butta, 2004 , p. 056126.
↑ Garlaschelli, Loffredo, 2004 , p. 188701.
↑ Cimini, Squartini, Garlaschelli, Gabrielli, 2015 , p. 15758.
↑ Newman, 2010 .
↑ Egy komplex adaptív intelligencia közösség felé A Wiki és a Blog . D. Calvin Andrus . cia.gov. Letöltve: 2012. augusztus 25. Az eredetiből archiválva : 2008. május 14.. (határozatlan)
↑ Terrorhálózatok hálózatelemzése (hivatkozás nem elérhető) . Letöltve: 2019. július 14. Az eredetiből archiválva : 2012. november 23. (határozatlan)
↑ Xanthos, Pante, Rochat, Grandjean, 2016 , p. 417–419.
↑ Barabási, Gulbahce, Loscalzo, 2011 , p. 56–68.
↑ Cohen, Havlin, 2010 .
↑ Bunde, Havlin, 1996 .
↑ Puzis, Yagil, Elovici, Braha, 2009 , p. egy.
↑ Newman, Barabasi, Watts, 2006 .
↑ Brauer, Castillo-Chavez, 2001 .
↑ Daley, Gani, 2001 .
↑ Dorogovtsev, Mendes, 2003 .
↑ Cotacallapa, Hase, 2016 , p. 065001.
↑ Buldyrev, Parshani, Paul et al., 2010 , p. 1025–28.
↑ Gao, Buldyrev, Havlin, Stanley, 2011 , p. 195701.
↑ Coscia, Rossetti, Pennacchioli et al., 2013 , p. 434.
↑ 1 2 De Domenico, Solé-Ribalta, Cozzo et al., 2013 , p. 041022.
↑ 1 2 Battiston, Nicosia, Latora, 2014 , p. 032804.
↑ Kivela, Arenas, Barthelemy et al., 2014 , p. 203–271.
↑ Boccaletti, Bianconi, Criado et al., 2014 , p. 1–122.
↑ Battiston, Nicosia, Latora, 2017 , p. 401–416.
↑ Mucha, 2010 , p. 876–878.
↑ De Domenico, Lancichinetti, Arenas, Rosvall, 2015 , p. 011027.
↑ De Domenico, Sole-Ribalta, Omodei, Gomez, Arenas, 2015 , p. 6868.
↑ Battiston, Iacovacci, Nicosia, Bianconi, Latora, 2016 , p. e0147451.
↑ Grandjean, 2016 , p. 531–534.
↑ Cardillo, 2013 , p. 1344.
↑ Boeing, 2017 , p. 126–139.
↑ Gallotti, Barthelemy, 2014 , p. 6911.
↑ De Domenico, Sole-Ribalta, Gomez, Arenas, 2014 , p. 8351–8356.
↑ Pilosof, Porter, Pascual, Kefi, 2015 .
↑ Kouvaris, Hata, Diaz-Guilera, 2015 , p. 10840.
↑ Timóteo, Correia, Rodríguez-Echeverría, Freitas, Heleno, 2018 , p. 140.
↑ Costa, Ramos, Timóteo et al., 2018 .
↑ Fiori, Smith, Antonucci, 2007 , p. P322-30.
↑ De Domenico, Nicosia, Arenas, Latora, 2015 , p. 6864.
↑ Gao, Buldyrev, Stanley, Havlin, 2011 , p. 40–48.
↑ De Domenico, Granell, Porter, Arenas, 2016 , p. 901–906.
↑ Timme, Ito, Myroshnychenko et al., 2014 , p. e115764.
↑ De Domenico, Sasai, Arenas, 2016 , p. 326.
↑ Battiston, Nicosia, Chavez, Latora, 2017 , p. 047404.

Irodalom

Jurij Lifshits. A komplex hálózatok felépítése. Az "Algoritmusok az internethez" tantárgy 4. számú előadása . – 2006.
Evin I.A. Bevezetés a komplex hálózatok elméletébe // SZÁMÍTÓGÉPES KUTATÁS ÉS MODELLEZÉS. - 2010. - T. 2 , 2. sz . – S. 121–141 .
Járványmodellezés: Bevezetés. - 2001. - (Cambridge-i tanulmányok a matematikai biológiából). — ISBN 0521014670 .
Jacob Levy Moreno. Ki fog túlélni? . – Beacon House, Inc., 1953.
Kőnig Dénes. Véges és végtelen gráfok elmélete . - Boston: Birkhäuser, 1990. - ISBN 0-8176-3389-8 . Fordította Richard McCoart, kommentárt Tutt
Fred Brauer, Carlos Castillo-Chavez. Matematikai modellek a népességbiológiában és epidemiológiában . - New York, NY: Springer, 2001. - (Texts in Applied Mathematics). — ISBN 978-1-4614-1685-2 . — ISBN 978-1-4614-1686-9 .
Hálózattudomány . – Washington, DC: THE NATIONAL ACADEMIES PRESS, 2006. – ISBN 978-0309653886 . - doi : 10.17226/11516 .
Stephen P. Borgatti. Központiság és hálózati áramlás // Közösségi hálózatok. - 2005. - T. 27 . - doi : 10.1016/j.socnet.2004.11.008 .
Glenn ügyvéd. A hálózat összes csomópontjának terjesztési erejének megértése // Tudományos jelentések. - 2015. - március ( 5. köt. , O8665. sz .). - doi : 10.1038/srep08665 . - Iránykód . - arXiv : 1405.6707 . — PMID 25727453 .
Mile Sikic, Alen Lancic, Nino Antulov-Fantulin, Hrvoje Stefancic. Járványközpontúság – van-e alábecsült járványhatás a hálózati perifériás csomópontoknak? // European Physical Journal B. - 2013. - október ( 86. évf. , 10. szám ). - S. 440 . - doi : 10.1140/epjb/e2013-31025-5 . - Iránykód . - arXiv : 1110.2558 .
Braha D., Bar-Yam Y. A központiságtól az ideiglenes hírnévig: Dinamikus központiság összetett hálózatokban // Komplexitás. - 2006. - T. 12 , sz. 2 . - doi : 10.1002/cplx.20156 . - . - arXiv : fizika/0611295 .
Hill SA, Braha D. Az időfüggő összetett hálózatok dinamikus modellje // Physical Review E. - 2010. - Vol. 82 , no. 4 . - doi : 10.1103/physreve.82.046105 . - . - arXiv : 0901.4407 . — PMID 21230343 .
Adaptív hálózatok: elmélet, modellek és alkalmazások / Gross T., Sayama H.. - Springer, 2009.
Holme P., Saramaki J. Temporal Networks. — Springer, 2013.
Travençolo BAN, da Costa FL Hozzáférhetőség összetett hálózatokban // Physics Letters A. - 2008. - Vol. 373 , no. 1 . - doi : 10.1016/j.physleta.2008.10.069 . - Iránykód .
Edward A. Bender, E. Rodney Canfield. Adott fokozatsorozatokkal ellátott címkézett gráfok aszimptotikus száma // Journal of Combinatorial Theory, Series A. - 1978. - May ( 24. kötet , 3. szám ). — ISSN 0097-3165 . - doi : 10.1016/0097-3165(78)90059-6 .
Michael Molloy, Bruce Reed. Egy kritikus pont egy adott fokozatú véletlenszerű gráfokhoz // Random Structures & Algorithms. - 1995. - március ( 6. évf. , 2–3. szám ). – S. 161–180 . — ISSN 1042-9832 . - doi : 10.1002/rsa.3240060204 .
Newman MEJ, Strogatz SH, Watts DJ Véletlenszerű gráfok tetszőleges fokozateloszlással és alkalmazásaik // Physical Review E. - 2001. - július ( 64. kötet , 2. szám ). - doi : 10.1103/PhysRevE.64.026118 . - . - arXiv : cond-mat/0007235 . — PMID 11497662 .
Ivan Kriven. Az óriási gyenge komponens megjelenése irányított véletlen gráfokban tetszőleges fokeloszlással // Fizikai Szemle E. - 2016. - július ( 94. évf. , 1. szám ). - doi : 10.1103/PhysRevE.94.012315 . - . - arXiv : 1607.03793 . — PMID 27575156 .
Ivan Kriven. Általános kifejezés az összetevőméret-eloszláshoz végtelen konfigurációs hálózatokban // Physical Review E. - 2017. - May ( 95. kötet , 5. szám ). - doi : 10.1103/PhysRevE.95.052303 . - . — arXiv : 1703.05413 . — PMID 28618550 .
Ivan Kriven. Véges kapcsolt komponensek végtelen irányított és multiplex hálózatokban tetszőleges fokeloszlással // Fizikai Szemle E. - 2017. - November ( 96. köt. , 5. szám ). - doi : 10.1103/PhysRevE.96.052304 . - . - arXiv : 1709.04283 . — PMID 29347790 .
Ivan Kriven. Analitikai eredmények a polimerizációs véletlen gráf modellen // Journal of Mathematical Chemistry. - 2018. - január ( 56. évf. 1. szám ). – S. 140–157 . — ISSN 0259-9791 . - doi : 10.1007/s10910-017-0785-1 .
Garlaschelli D., Loffredo MI Link-reciprocitás mintái irányított hálózatokban. — Fizikai áttekintő levelek. - 2004. - T. 93. - S. 268701.
Cimini G., Squartini T., Garlaschelli D., Gabrielli A. Systemic risk analysis on rekonstruált gazdasági és pénzügyi hálózatok. — Tudományos Jelentések. - 2015. - S. 15758.
Servedio VDP, Caldarelli G., Buttà P. Vertex intrinsic fitness: Hogyan készítsünk tetszőleges skálamentes hálózatokat // Physical Review E. - 2004. - T. 70 .
Hassan MK, Liana Islam, Syed Arefinul Haque. Fokozatok megoszlása, rang szerinti megoszlása és vezetői kitartás a mediációvezérelt kötődési hálózatokban // Physica A. - 2017. - március ( 469. köt. ). - doi : 10.1016/j.physa.2016.11.001 . — Iránykód . - arXiv : 1411.3444 .
Caldarelli G., Capocci A., De Los Rios P., Muñoz MA Scale-Free Networks from Varying Vertex Intrinsic Fitness // Physical Review Letters. - 2002. - T. 89 , sz. 25 .
Cohen R., Havlin S. Scale-free networks are ultrasmall // Phys. Fordulat. Lett .. - 2003. - T. 90 , sz. 5 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.90.058701 . - . - arXiv : cond-mat/0205476 . — PMID 12633404 .
Albert R., Barabasi A.-L. Összetett hálózatok statisztikai mechanikája // Reviews of Modern Physics . - 2002. - T. 74 , sz. 1 . – 47–97 . - doi : 10.1103/RevModPhys.74.47 . - Iránykód . - arXiv : cond-mat/0106096 . Archiválva az eredetiből 2015. augusztus 24-én.
Barabási Albert-László, Albert Réka. A skálázás kialakulása véletlenszerű hálózatokban // Tudomány . - 1999. - október ( 286. évf. , 5439. szám ). - doi : 10.1126/tudomány.286.5439.509 . - . - arXiv : cond-mat/9910332 . — PMID 10521342 . Archiválva az eredetiből 2012. április 17-én.
Cohen R., Havlin S. Komplex hálózatok: struktúra, robusztusság és funkció . – Cambridge University Press, 2010.
Bunde A., Havlin S. Fraktálok és rendellenes rendszerek . — Springer, 1996.
Stanley Wasserman, Katherine Faust. Közösségi hálózat elemzése: módszerek és alkalmazások. – Cambridge: Cambridge University Press., 1994.
Newman MEJ Networks: Bevezetés. – Oxford University Press, 2010.
Aris Xanthos, Isaac Pante, Yannick Rochat, Martin Grandjean. A karakterhálózatok dinamikájának megjelenítése // Digitális Bölcsészettudományok 2016: Jagelló Egyetem és Pedagógiai Egyetem . — Krakkó, 2016. — P. 417–419.
Barabási AL, Gulbahce N., Loscalzo J. Network medicine: a network-based approach to human disease // Nature Reviews Genetics. - 2011. - T. 12 , sz. 1 . - doi : 10.1038/nrg2918 . — PMID 21164525 .
Puzis R., Yagil D., Elovici Y., Braha D. Együttműködő támadás az internethasználók névtelensége ellen // Internet Research. - 2009. - T. 19 . - doi : 10.1108/10662240910927821 . Az eredetiből archiválva: 2013. december 7.
A hálózatok szerkezete és dinamikája / Newman M., Barabási A.-L., Watts DJ. – Princeton, NJ: Princeton University Press, 2006.
Dorogovtsev SN, Mendes JFF Hálózatok evolúciója: A biológiai hálóktól az Internetig és a WWW-ig. — New York, NY, USA: Oxford University Press, Inc., 2003. — ISBN 978-0198515906 .
Cotacallapa M., Hase MO Epidemics in networks: a master equation approach // Journal of Physics A. - 2016. - V. 49 , no. 6 . - doi : 10.1088/1751-8113/49/6/065001 . - Iránykód . - arXiv : 1604.01049 .
Buldyrev SV, Parshani R., Paul G., Stanley HE, Havlin S. Meghibásodások katasztrofális kaszkádja egymásra épülő hálózatokban // Természet. - 2010. - T. 464 , sz. 7291 . - doi : 10.1038/nature08932 . - . - arXiv : 0907.1182 . — PMID 20393559 .
Jianxi Gao, Sergey V. Buldyrev, Shlomo Havlin, H. Eugene Stanley. A hálózatok hálózatának robusztussága // Phys. Fordulat. Lett.. - 2011. - T. 107 , sz. 19 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.107.195701 . - . - arXiv : 1010.5829 . — PMID 22181627 .
Michele Coscia, Giulio Rossetti, Diego Pennacchioli, Damiano Ceccarelli, Fosca Giannotti. „Tudod, mert én tudom”: A humánerőforrás-probléma többdimenziós hálózati megközelítése. — Haladás a közösségi hálózatok elemzésében és bányászatában (ASONAM). - 2013. - T. 2013. - ISBN 9781450322409 . - doi : 10.1145/2492517.2492537 .
Kivela M., Arenas A., Barthelemy M., Gleeson JP, Moreno Y., Porter MA Multilayer networks // Journal of Complex Networks. - 2014. - 2. évf. , szám. 3 . - doi : 10.1093/comnet/cnu016 .
Boccaletti S., Bianconi G., Criado R., del Genio CI, Gómez-Gardeñes J., Romance M., Sendiña-Nadal I., Wang Z., Zanin M. A többrétegű hálózatok szerkezete és dinamikája // Physics Reports . - 2014. - T. 544 , sz. 1 . - doi : 10.1016/j.physrep.2014.07.001 . — Iránykód . - arXiv : 1407.0742 .
Federico Battiston, Vincenzo Nicosia, Vito Latora. A multiplex hálózatok új kihívásai: Mérések és modellek // The European Physical Journal Special Topics. - 2017. - február ( 226. évf. , 3. szám ). — ISSN 1951-6355 . - doi : 10.1140/epjst/e2016-60274-8 . - . - arXiv : 1606.09221 .
De Domenico M., Solé-Ribalta, A., Cozzo E., Kivelä M., Moreno Y., Porter M., Gómez S., Arenas A. Mathematical Formulation of Multilayer Networks // Physical Review X. - 2013. - 3. köt . 4 . - doi : 10.1103/PhysRevX.3.041022 . - Iránykód . - arXiv : 1307.4977 . Archiválva az eredetiből 2014. február 25-én.

Battiston F., Nicosia V., Latora V. Strukturális intézkedések multiplex hálózatokhoz // Physical Review E. - 2014. - V. 89 , no. 3 . - S. 032804 . - doi : 10.1103/PhysRevE.89.032804 . - . - arXiv : 1308.3182 . — PMID 24730896 .
Mucha P. Közösségi struktúra időfüggő, többléptékű és multiplex hálózatokban // Tudomány. - 2010. - T. 328 , sz. 5980 . - doi : 10.1126/tudomány.1184819 . - . - arXiv : 0911.1824 . — PMID 20466926 .
De Domenico M., Lancichinetti A., Arenas A., Rosvall M. Identifying Modular Flows on Multilayer Networks Reveals Highly Overlapping Organisation in Interconnected Systems // Physical Review X. - 2015. - Vol. 5 , no. 1 . - S. 011027 . - doi : 10.1103/PhysRevX.5.011027 . - Iránykód . - arXiv : 1408.2925 .
De Domenico M., Sole-Ribalta A., Omodei E., Gomez S., Arenas A. Az összekapcsolt többrétegű hálózatok rangsorolása sokoldalú csomópontokat tár fel // Nature Communications. - 2015. - T. 6 . - S. 6868 . - doi : 10.1038/ncomms7868 . - . - arXiv : 1311.2906 . — PMID 25904405 .
Federico Battiston, Jacopo Iacovacci, Vincenzo Nicosia, Ginestra Bianconi, Vito Latora. Multiplex közösségek kialakulása az együttműködési hálózatokban // PLOS ONE. - 2016. - január ( 11. évf. 1. szám ). — ISSN 1932-6203 . - doi : 10.1371/journal.pone.0147451 . - . - arXiv : 1506.01280 . — PMID 26815700 .
Martin Grandjean. Archívum Távoli olvasás: A Nemzetek Szövetsége szellemi együttműködésének tevékenységének feltérképezése // Digitális Bölcsészettudomány 2016 . — Jagelló Egyetem és Pedagógiai Egyetem, Krakkó, 2016. — 531–534.
Cardillo A. Hálózati jellemzők megjelenése a multiplexitásból // Tudományos jelentések. - 2013. - T. 3 . - doi : 10.1038/srep01344 . - . - arXiv : 1212.2153 . — PMID 23446838 .
Boeing G. OSMnx: Új módszerek összetett utcai hálózatok megszerzésére, megépítésére, elemzésére és megjelenítésére // Számítógépek, környezet és városi rendszerek. - 2017. - T. 65 . – S. 126–139 . - doi : 10.1016/j.compenvurbsys.2017.05.004 . - arXiv : 1611.01890 .
Gallotti R., Barthelemy M. A városi multimodális mobilitás anatómiája és hatékonysága // Scientific Reports. - 2014. - T. 4 . - S. 6911 . - doi : 10.1038/srep06911 . - . - arXiv : 1411.1274 . — PMID 25371238 .
De Domenico M., Sole-Ribalta A., Gomez S., Arenas A. Navigability of interconnected networks under random errors // PNAS. - 2014. - T. 111 , sz. 23 . — S. 8351–8356 . - doi : 10.1073/pnas.1318469111 . - . — PMID 24912174 .
Pilosof S., Porter MA, Pascual M., Kefi S. Az ökológiai hálózatok többrétegű természete // Nature Ecology & Evolution. - 2015. - 1. évf. , szám. 4 . - doi : 10.1038/s41559-017-0101 . - arXiv : 1511.04453 . — PMID 28812678 .
Kouvaris NE, Hata S., Diaz-Guilera A. Pattern Formation in Multiplex Networks // Tudományos jelentések. - 2015. - V. 5 , sz. 1 . doi : 10.1038 / srep10840 . - . - arXiv : 1412.2923 . — PMID 26042606 .
Timóteo S., Correia M., Rodríguez-Echeverría S., Freitas H., Heleno R. A többrétegű hálózatok felfedik a mag-diszperziós interakciók térbeli szerkezetét a Great Rift tájakon // Nature Communications. - 2018. - 9. évf. , sz. 1 . - doi : 10.1038/s41467-017-02658-y . — PMID 29321529 .
Costa JM, Ramos JA, Timóteo S., da Silva LP, Ceia RC, Heleno R. A fajok aktivitása elősegíti a gyümölcs-frugivore interakciók stabilitását egy ötéves többrétegű hálózaton keresztül. - 2018. - doi : 10.1101/421941 .
Fiori KL, Smith J., Antonucci TC Szociális hálózatok típusai idősebb felnőttek körében: Többdimenziós megközelítés // The Journals of Gerontology Series B. - 2007. - V. 62 , no. 6 . — S. P322–30 . - doi : 10.1093/geronb/62.6.p322 . — PMID 18079416 .
De Domenico M., Nicosia V., Arenas A., Latora V. Többrétegű hálózatok strukturális redukálhatósága // Nature Communications. - 2015. - T. 6 . - S. 6864 . doi : 10.1038 / ncomms7864 . - . — PMID 25904309 .
Gao, Buldyrev, Stanley, Havlin. Egymásra függő hálózatokból kialakult hálózatok // Természetfizika. - 2011. - december ( 8. évf. 1. szám ). doi : 10.1038 / nphys2180 . — .
De Domenico M., Granell C., Porter MA, Arenas A. A többrétegű hálózatok fizikája // Nature Physics. - 2016. - április ( 12. évf. , 10. szám ). doi : 10.1038 / nphys3865 . — . - arXiv : 1604.02021 .
Timme N., Ito S., Myroshnychenko M., Yeh FC, Hiolski E., Hottowy P., Beggs JM Multiplex Networks of Cortical and Hippocampal Neurons Revealed at Different Timescales // PLoS ONE. - 2014. - T. 9 , sz. 12 . - doi : 10.1371/journal.pone.0115764 . - Iránykód . — PMID 25536059 .
De Domenico M., Sasai S., Arenas A. Multiplex hubok feltérképezése emberi funkcionális agyi hálózatokban // Frontiers in Neuroscience. - 2016. - T. 10 . - doi : 10.3389/fnins.2016.00326 . — PMID 27471443 .
Battiston F., Nicosia V., Chavez M., Latora V. Az agyi hálózatok többrétegű motívumelemzése // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. - 2017. - T. 27 , sz. 4 . - doi : 10.1063/1.4979282 . — . - arXiv : 1606.09115 . — PMID 28456158 .

Olvasás további olvasáshoz

"Connected: The Power of Six Degrees", https://web.archive.org/web/20111006191031/http://ivl.slis.indiana.edu/km/movies/2008-talas-connected.mov
Cohen R., Erez K., Havlin S. Az Internet rezilienciája a véletlenszerű lebontással szemben // Phys. Fordulat. Lett .. - 2000. - T. 85 , sz. 21 . — S. 4626–4628 . - doi : 10.1103/physrevlett.85.4626 . - . - arXiv : cond-mat/0007048 . — PMID 11082612 .
Cun-Lai Pu, Wen, Jiang Pei, Andrew Michaelson. A hálózat vezérelhetőségének robusztussági elemzése // Physica A. - 2012. - T. 391 , sz. 18 . — S. 4420–4425 . - doi : 10.1016/j.physa.2012.04.019 . — . Az eredetiből archiválva : 2016. október 13.
"Vezetői profil: A hálózattudomány feltörekvő területe, a katonai mérnöknek nemrégiben lehetősége volt beszélni Frederick I. Moxley-vel, Ph.D." https://web.archive.org/web/20190215025457/http://themilitaryengineer .com/index.php/item/160-leader-profile-the-burgeoning-field-of-network-science
Dorogovtsev SN, Mendes JFF Hálózatok evolúciója: A biológiai hálózatoktól az Internetig és a WWW-ig. - Oxford University Press, 2003. - ISBN 0-19-851590-1 .
Barabasi Albert László, Frangos Jennifer. Linkelve: A hálózatok új tudománya. - Perseus Publishing, Cambridge, 2002. - ISBN 0738206679 .
Guido Caldarelli. Méret nélküli hálózatok: összetett webek a természetben és a technológiában . - Oxford: Oxford University Press, 2007. - (Oxford Finance Series). — ISBN 9780199211517 .
Mark Newman, Albert-László Barabási, Duncan J. Watts. A hálózatok szerkezete és dinamikája. - The Princeton Press, 2006. - ISBN 0-691-11357-2 .
Alain Barrat, Marc Barthelemy, Alessandro Vespignani. Dinamikus folyamatok összetett hálózatokon. - Cambridge University Press, 2008. - ISBN 978-0-521-87950-7 .
Ted G. Lewis. Hálózattudomány: elmélet és alkalmazások. - Wiley, 2009. - ISBN 0-470-33188-7 .
Mark Buchanan. Nexus: Kis világok és a hálózatok úttörő elmélete. - W. W. Norton & Company, 2003. - ISBN 0-393-32442-7 .
Duncan J. Watts. Hat fok: Egy összefüggő kor tudománya. - W. W. Norton & Company, 2004. - ISBN 0-393-32542-3 .
Kitsak M., Gallos LK, Havlin S., Liljeros F., Muchnik L., Stanley HE, Makse HA Influential Spreaders in Networks // Nature Physics. - 2010. - T. 6 , sz. 11 . – S. 888–893 . doi : 10.1038 / nphys1746 . — . - arXiv : 1001.5285 .