Reciprok prímek sorozata

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. június 29-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Számos reciprok prím eltér egymástól . Azaz:

\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{p}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{ \frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{ 17}}+\cdots=\infty

Ezt a tényt Leonhard Euler igazolta 1737-ben [1] , ami megerősítette Eukleidész (Kr. e. 3. század) eredményét, miszerint végtelenül sok prímszám létezik .

Számos bizonyíték létezik az Euler-eredményre, beleértve a részösszegek alsó határának becslését, amely kimondja, hogy

\sum _{\scriptstyle p{\text{ prime)) \atop \scriptstyle p\leq n}{\frac {1}{p))\geqslant \ln \ln(n+1)-\ln {\frac {\pi ^{2}}{6}}

minden n természetes számra . A kettős természetes logaritmus (ln ln) azt jelzi, hogy a sorozat divergenciája nagyon lassú. Lásd a "Meissel-Mertens állandó" cikket .

Harmonikus sorozat

Ennek a sorozatnak az eltérését Euler bizonyította. Ehhez a harmonikus sorozatot vette figyelembe :

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}} +{\frac {1}{4}}+\cdots =\infty$

És a következő "identitás" is, amellyel azt is megmutatta, hogy a prímszámok halmaza végtelen:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p}}+{ \frac {1}{p^{2}}}+\cdots \right)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-1}}}$

Itt a szorzat átveszi az összes prímszámot. Az ilyen végtelen szorzatokat ma Euler-termékeknek nevezzük . A fenti szorzat az aritmetika alaptételét tükrözi . Euler észrevette, hogy ha a prímek száma véges, akkor a jobb oldali szorzatnak konvergálnia kell, ami ellentmond a harmonikus sorozatok divergenciájának.

Bizonyíték

Euler bizonyítása

A fent leírt okfejtést folytatva Euler mindkét oldal természetes logaritmusát vette fel. Ezután a Taylor sorozat kiterjesztését , valamint az inverz hatványsorok konvergenciáját használta: ${\textstyle -\ln(1-x)=x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{ 4}}{4}}+\pontok }$

{\begin{aligned}\ln \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\right)&{}=\ln \left(\ prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-1))}\right)=-\sum _{p}\ln \left(1-{\frac {1}{p)) \right)\\&{}=\sum _{p}\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2p^{2}}}+{\frac {1} {3p^{3}}}+\cdots \right)\\&{}=\sum _{p}{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2}}\sum _ {p}{\frac {1}{p^{2}}}+{\frac {1}{3}}\sum _{p}{\frac {1}{p^{3}}}+{ \frac {1}{4}}\sum _{p}{\frac {1}{p^{4}}}+\cdots \\&{}=A+{\frac {1}{2}}B+ {\frac {1}{3}}C+{\frac {1}{4}}D+\cdots \\&{}=A+K\end{aligned}}

fix állandó K < 1 mellett . Aztán használta az ingatlant

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n))=\ln \infty ,

amelynek levezetését például egy későbbi, 1748-as cikkben [2] úgy magyarázta, hogy a Taylor-kiterjesztésben x = 1 -et rendel .

\ln \left({\frac {1}{1-x}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n} }.

Ez lehetővé tette számára, hogy arra a következtetésre jutott

A={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{ \frac {1}{11}}+\cdots =\ln \ln \infty .

Feltehetően Euler arra gondolt, hogy az n - nél kisebb prímszámok reciprokainak összege aszimptotikusan nő, ahogy ln ln n , ahogy n a végtelenbe hajlik . Kiderült, hogy valójában ez a helyzet, és ennek a ténynek a pontosabb változatát Franz Mertens szigorúan bebizonyította 1874-ben [3] . Euler viszont nem szigorú módszerekkel érte el a helyes eredményt.

Erdős bizonyítása felső és alsó határral

Az alábbi ellentmondásos bizonyítást Erdős Pálnak köszönhetjük .

Jelölje p i az i -edik prímszámot. Képzelje el, hogy a prímszámok reciprokainak összege konvergál . Azok.

\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{i))}<\infty

Ekkor van egy k legkisebb pozitív egész szám , amelyre

\sum _{i=k+1}^{\infty }{\frac {1}{p_{i}}}<{\frac {1}{2}}\qquad (1)

Pozitív x egész szám esetén jelölje M x azt az n halmazt az {1, 2, …, x } halmazból , amelyek nem oszthatók p k - nál nagyobb prímmel (vagy azzal egyenértékűen mindazokkal , amelyek a hatványok szorzata prímszámok ). Most már kiadhatjuk az elemszám felső és alsó korlátját . Nagy x esetén ezek a korlátok ellentmondáshoz vezetnek. $n\leqslant x$ ${\displaystyle p_{i}\leqslant p_{k))$ $|M_{x}|$ $M_{x}$

Legjobb pontszám:

Bármely n az M x -ben felírható m -ként és r -ként pozitív egész számokkal , ahol r egy négyzet nélküli szám . Mivel az r prímtényezőjében csak k prím lehet (1- es kitevővel), ezért r -re legfeljebb 2k különböző lehetősége van . Ezen túlmenően m -nek legfeljebb lehetséges értékei vannak . Ez adja a felső határt

n=m^{2}r

{\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k))

\sqrt{x}

|M_{x}|\leq 2^{k}{\sqrt {x}}\qquad (2)

Alsó pontszám:

Az {1, 2, …, x } \ M x halmazok különbségében fennmaradó számok mindegyike osztható -nál nagyobb prímszámokkal . Jelölje az i - edik prímmel osztható {1, 2, …, x } n - ek halmazát . Akkor

x-|M_{x}|

p_{k}

{\displaystyle N_{i,x))

p_{i}

{\displaystyle \{1,2,\ldots ,x\}\smallsetminus M_{x}=\bigcup _{i=k+1}^{\infty }N_{i,x))

Mivel az egész számok száma nem haladja meg (sőt, nullával egyenlő ), megkapjuk

{\displaystyle N_{i,x))

{\displaystyle {\tfrac {x}{p_{i))))

p_{i}>x

{\displaystyle x-|M_{x}|\leqslant \sum _{i=k+1}^{\infty }|N_{i,x}|<\sum _{i=k+1}^{\ infty }{\frac {x}{p_{i))))

Az (1) használatával innen kapjuk

{\frac {x}{2}}<|M_{x}|\qquad (3)

Ellentmondást kapunk — ha , akkor a (2) és (3) becslés nem hajtható végre egyszerre, mert . $x\geqslant 2^{2k+2}$ ${\tfrac {x}{2}}\geqslant 2^{k}{\sqrt {x}}$

Annak bizonyítéka, hogy egy sorozat log-log sebességgel nő

Van egy másik bizonyíték, amely alacsonyabb becslést ad a részösszegekre. Ez különösen azt mutatja, hogy ezek az összegek legalább annyira nőnek, mint ln n . A bizonyíték az Euler termékbővítési ötlet egy változata . Az alábbiakban a p feletti összegek vagy szorzatok mindig bizonyos prímkészletek feletti összegek vagy szorzatok.

A bizonyítás a következő négy egyenlőtlenségen alapul:

Bármely i pozitív egész szám egyedileg ábrázolható négyzet nélküli számok és négyzet szorzataként. Ez adja az egyenlőtlenséget

{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\leqslant \prod _{p\leq n}{\left(1+{\frac {1}{p }}\right)}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2))))

, ahol 1 és n közötti bármely i esetén a (bontott) szorzat az i négyzet nélküli részének , az összeg pedig az i négyzetes részének felel meg (lásd " Az aritmetika alaptétele " című cikket).

A természetes logaritmus felső korlátja

{\begin{aligned}\ln(n+1)&=\int _{1}^{n+1}{\frac {dx}{x}}\\&=\sum _{i= 1}^{n}\aláhúzás {\int _{i}^{i+1}{\frac {dx}{x}}} _{{}\,<\,{\frac {1}{i} }}\\&<\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\end{aligned}}

Az exponenciális függvény alsó korlátja 1 + x < exp( x ) minden x > 0 esetén érvényes .
Hadd . Felső korlát ( a teleszkópos sorozatot használva ) a részösszegekhez $n \geqslant 2$

{\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}&<1+\sum _{k=2}^{n }\underbrace {\left({\frac {1}{k-{\frac {1}{2))))-{\frac {1}{k+{\frac {1}{2))))\ jobb)} _{=\,{\frac {1}{k^{2}-{\frac {1}{4))))\,>\,{\frac {1}{k^{2} ))}\\&=1+{\frac {2}{3}}-{\frac {1}{n+{\frac {1}{2}}}}<{\frac {5}{3} }\end{igazított}}

Mindezeket az egyenlőtlenségeket kombinálva azt kapjuk

{\begin{aligned}\ln(n+1)&<\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\\&\leq \prod _{p \leq n}{\left(1+{\frac {1}{p}}\right)}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}} \\&<{\frac {5}{3}}\prod _{p\leq n}{\exp \left({\frac {1}{p}}\right)}\\&={\frac {5}{3}}\exp \left(\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}\right)\end{aligned}}

Miután elosztjuk mindkét rész természetes logaritmusát, azt kapjuk ${\tfrac {5}{3}}$

\ln \ln(n+1)-\ln {\frac {5}{3}}<\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}

Q.E.D. ∎

Használata

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}

(lásd "Bázeli probléma" ), a fenti állandó javítható -ra . Sőt, az is kiderül $\ln {\tfrac {5}{3}}=0{,}51082\ldots$ $\ln {\tfrac {\pi ^{2}}{6}}=0{,}4977\lpont$

\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}-\ln \ln n\right)=M

hol van a Meissel-Mertens állandó (valami hasonló a közismertebb Euler-Mascheroni állandóhoz ). $M=0{,}261497\ldots$

Bizonyíték Dusar egyenlőtlenségéből

Dusar egyenlőtlenségéből van

p_{n}<n\ln n+n\ln \ln n\quad

számára

n\geqslant 6

Akkor

{\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{n))}&\geqslant \sum _{n=6}^{\infty }{\frac {1}{p_{n))}\\&\geqslant \sum _{n=6}^{\infty }{\frac {1}{n\ln n+n\ln \ln n }}\\&\geqslant \sum _{n=6}^{\infty }{\frac {1}{2n\ln n}}=\infty \end{aligned}}

a Cauchy-Maclaurin integrál konvergencia teszt szerint . Ez azt mutatja, hogy a bal oldali sorozatok eltérnek egymástól.

Részösszegek

Míg a prímszámok reciprokainak részösszegei végül bármilyen egész értéket elérnek, soha nem lehetnek egyenlők egész számmal.

Ennek egyik bizonyítása [4] indukcióval történik - az első részösszeg egyenlő és alakja (vagyis páratlan/páratlan). Ha az n- edik részösszeg (for ) alakja , akkor a th összeg egyenlő ${\tfrac {1}{2))$ ${\tfrac {odd}{even}}$ $n\geqslant 1$ ${\tfrac {odd}{even}}$ $(n+1)$

{\frac {\text{odd}}{\text{even}}}+{\frac {1}{p_{n+1}}}={\frac {{\text{odd}}\ cdot p_{n+1}+{\text{even}}}{{\text{even}}\cdot p_{n+1}}}={\frac {{\text{odd}}+{\text {even}}}{\text{even}}}={\frac {\text{odd}}{\text{even}}}

mert a prímszám páratlan. Mivel az összeg ismét formájú , a részösszeg nem lehet egész szám (a 2 osztja a nevezőt, de nem osztja a számlálót), ami bizonyítja az állítást. $(n+1)$ $p_{n+1}$ ${\tfrac {odd}{even}}$

Egy másik bizonyíték átírja a prímszámok első n reciprokának összegére vonatkozó kifejezést (vagy bármely prímkészlet reciproka összegét) egy közös nevezővel , amely az összes prímszám szorzata. Ekkor a prímszámok mindegyike a számláló egy kivételével az összes tagot osztja, és ezért nem osztja a számláló egészét. De minden prím oszt egy nevezőt. Így a tört irreducibilis és nem egész szám.

Lásd még

Euklidész tétele , amely kimondja, hogy végtelen sok prímszám van.
Brun tétele az ikerprímek reciprokainak összegének a Brun-állandóhoz való konvergenciájáról .

Jegyzetek

↑ Euler, 1737 , p. 160–188.
↑ Euler, 1748 , p. 228, pl. egy.
↑ Mertens, 1874 , p. 46–62.
↑ Lord, 2015 , p. 128–130.

Irodalom

William Dunham. Euler Mindannyiunk Mestere. - MAA , 1999. - P. 61-79. — ISBN 0-88385-328-0 .
Leonhard Euler . Különféle megfigyelések a végtelen sorozattal kapcsolatban = Variae megfigyelések circa series infinitas // Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae. - 1737. - T. 9 .
Leonhard Euler . Introductio in analysin infinitorum . Tomus Primus. — Lausanne: Bousquet, 1748.
Mertens F. Ein Beitrag zur analytischer Zahlentheorie // J. Reine Angew. Matek.. - 1874. - T. 78 .
Nick Lord. Gyors bizonyítékok arra, hogy bizonyos törtek összegei nem egész számok // The Mathematical Gazette. - 2015. - T. 99 . - doi : 10.1017/mag.2014.16 .

Linkek

Caldwell, Chris K. Végtelenül sok prímszám van, de mekkora a végtelen? . (határozatlan)

Sorozatok és sorok
Sorozatok	Numerikus sorozat Alapvető sorrend Lineáris ismétlődő sorozat Fibonacci számok göndör számok Faktoriális Barker sorozat de bruijn sorozat
Sorok, alap	Sor összege A sor többi része Feltételes konvergencia Váltakozó sorozatok Sor több szakasz
Számsorozat ( műveletek számsorokkal )	harmonikus sorozat Leibniz sorozat Inverz négyzetek sorozata Reciprok prímek sorozata Dirichlet sor Mercator sorozat Sor Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funkcionális sorok	Taylor sorozat Laurent sorozat Fourier sorozat Trigonometrikus Fourier sorozat trigonometrikus sorozat Wiener sorozat
Egyéb sortípusok	Neumann sorozat Puiseux sor