Függvény (matematika)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. június 4-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .

A függvény a matematikában két halmaz elemei közötti megfelelés - egy szabály, amely szerint az első halmaz minden eleme, amelyet definíciós tartománynak neveznek , a második halmaz egy elemének felel meg, amelyet értéktartománynak neveznek .

A függvény matematikai fogalma egy intuitív elképzelést fejez ki arról, hogy egy mennyiség hogyan határozza meg teljesen egy másik mennyiség értékét. Tehát a változó értéke egyértelműen meghatározza a kifejezés értékét , a hónap értéke pedig az azt követő hónap értékét. Egy funkció "mindennapi" példája: minden ember egyértelműen hozzárendelhető a biológiai apjához. $x$ $x^{2}$

Hasonlóképpen, egy előre meghatározott algoritmus a bemeneti adatok értékét megadva állítja elő a kimeneti adatok értékét.

A "függvény" kifejezés gyakran numerikus függvényre utal , azaz olyan függvényre, amely egyes számokat másokkal összhangban állít. Ezek a függvények kényelmesen ábrázolhatók grafikonok formájában .

Történelem

A „funkció” kifejezést (valamivel szűkebb értelemben) Leibniz (1692) használta először . Johann Bernoulli pedig Leibniznek írt levelében ennek a kifejezésnek a maihoz közelebbi jelentést adott [1] [2] .

Kezdetben a függvény fogalma megkülönböztethetetlen volt az analitikus reprezentáció fogalmától. Ezt követően megjelent a függvény definíciója, amelyet Euler (1751), majd Lacroix (1806) adott meg, szinte modern formájában. Végül Lobacsevszkij (1834) és Dirichlet (1837) [3] adta meg a függvény általános meghatározását (modern formájában, de csak numerikus függvényekre) .

A 19. század végére a függvény fogalma túlnőtt a numerikus rendszerek körén. Először a függvény fogalmát kiterjesztették a vektorfüggvényekre , Frege hamarosan bevezette a logikai függvényeket ( 1879 ), majd a halmazelmélet megjelenése után Dedekind ( 1887 ) és Peano ( 1911 ) egy modern univerzális definíciót fogalmazott meg [2] .

Informális meghatározás

A halmazban lévő értékekkel definiált függvényt „szabálynak” nevezzük úgy, hogy a -ból származó minden elem egy benne lévő elemnek felel meg , ráadásul csak egy [4] . $f$ $x$ $Y$ $x$ $x$ $f(x)$ $Y$

Elfogadott jelölés: , , rövidítve vagy egyszerűen . $f:X\Y-ig$ $X{\stackrel {f}{\longrightarrow }}Y$ $f\colon x\mapsto y$ $y=f(x)$

Egy gráfot nevezünk , ahol a közvetlen szorzata . $f:X\Y-ig$ ${\displaystyle \Gamma _{f}=\{\,(x,f(x))\in X\x Y\mid x\in X\,\))$ $X\-szer Y$

Általánosságban elmondható, hogy a függvény és a gráf fogalma ekvivalens, és mivel ez utóbbi matematikailag szigorúbban definiált, a függvény formális (halmazelméleti szempontból) definíciója a gráfja [4] .

A funkcióhoz : $f:X\Y-ig$

a halmazt feladatterületnek vagy függvénydefiníciós területnek nevezzük , vagy jelöléssel ; $x$ $D(f)$ $\mathrm {dom} \,f$
a halmazt a függvény tartományának nevezzük , amelyet vagy ( ) jelölünk; $Y$ $E(f)$ $\mathrm {kód} \,f$ $\mathrm {ran} \,f$
a halmaz minden elemét független változónak vagy függvényargumentumnak nevezzük ; $x$ $x$

a rögzített elemnek megfelelő elemet a függvény parciális értékének nevezzük a pontban . $y=f(x)$ $x$ $x$

Megjegyzések:

Azt a függvényt , amelynél egy adott halmaz önmagába való leképezésének vagy transzformációnak nevezzük , különösen, ha , akkor azonos transzformációról beszélünk, amelyet gyakran jelölnek . $f$ $D(f)\equiv E(f)$ $\forall x\in D(f):f(x)=x$ $\operátornév{id}_X$

Ha az operátor kifejezést használjuk , akkor azt mondják, hogy az operátor halmazról halmazra jár , és a rendszer hozzáad egy rekordot . $f$ $x$ $Y$ $y=fx$
Ha azt akarják hangsúlyozni, hogy a megfelelési szabályt ismertnek tekintik, akkor azt mondják, hogy a halmazon olyan függvény van megadva , amely a -ból veszi az értékeket . Ha valamilyen egyenlet megoldása eredményeként meg kell találni a függvényt, akkor azt mondják, hogy ismeretlen vagy implicit adott függvény. Ebben az esetben a függvényt még adottnak tekintjük, bár közvetve. $x$ $f$ $Y$ $f$ $f$
Mivel a függvényegyenlőség (bármely definíciójában) nemcsak a halmazok elemei közötti megfelelési szabályok egybeesését, hanem a feladatterületek egybeesését is magában foglalja, így a függvények és , ahol a valós számok halmaza, ill. pozitív valós számok halmaza, különböző függvények. $f_{1}(x)=x\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $f_{2}(x)=x\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{+}$
Létezik egy függvénynek egy operátor jelölése is , amely megtalálható az általános algebrában . $y=x^{f}$
Church lambda - számítása a függvény jelölését használja . $\lambda xy$

Több argumentumfüggvény:

Általánosságban elmondható, hogy egy függvény definiálható egy lineáris térben , ebben az esetben több argumentum függvényével van dolgunk.

Ha a halmaz a halmazok derékszögű szorzata , akkor a leképezés (ahol a valós számok halmaza) -hely leképezésnek bizonyul; ebben az esetben a rendezett halmaz elemeit argumentumoknak nevezzük (egy adott -local függvénynek), amelyek mindegyike a saját halmazán fut át: $x$ $X_{1},\;X_{2},\;\ldots ,\;X_{n}$ $f\kettőspont X\Y-ra$ $Y$ $n$ $x=(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})$ $n$

x_{i}\in X_{i}

ahol .

\forall i:1\leqslant i\leqslant n

Ebben az esetben a jelölés azt jelenti, hogy . $y=f(x)$ $y=f(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})$

A függvény meghatározásának módjai

Analitikai módszer

Egy függvény definiálható analitikus kifejezéssel (például egy képlettel). Ebben az esetben az egyenlőség formájában való megfelelésként jelöljük.

Példák:

Egyetlen képlettel megadott függvény:

$f(x)=x^{2}+a\sin(x)-{\frac {\pi }{\ln(x)}}\;\;(a\in \mathbb {R} ) ;$

Darabonként definiált függvény:

$f(x)=|x|={\begin{cases}x,\;\forall x\geqslant 0,\\-x,\;\forall x<0;\end{cases))$

Implicit módon meghatározott függvény:

$f(x)=y:x^{2}+y^{2}=R^{2}\;(R\in \mathbb {R} ,\;R\geqslant 0);$

Grafikus mód

A függvény grafikon segítségével is megadható. Legyen a változók valós függvénye . Ekkor a gráfja a -dimenziós térben lévő pontok halmaza: . Ez a pontkészlet gyakran hiperfelület . Különösen, ha egy függvény grafikonja bizonyos esetekben kétdimenziós térben görbével ábrázolható . $y=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\;$ $n$ $(n+1)$ ${\displaystyle \{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\))$ $n=1$

Három vagy több argumentummal rendelkező függvények esetén az ilyen grafikus ábrázolás nem alkalmazható. Azonban még az ilyen függvények esetében is jöhet egy vizuális félgeometrikus ábrázolás (például egy pont negyedik koordinátájának minden értéke hozzárendelhető egy bizonyos színhez a grafikonon, ahogy az összetett függvények grafikonjain történik ).

Értékek felsorolása

Egy véges halmaz függvénye értéktáblázattal definiálható - úgy, hogy közvetlenül megadja annak értékét a definíciós tartomány minden eleméhez. Ezt a módszert például logikai függvények meghatározására használják . Valójában ez a módszer a függvény gráfjának is a feladata , ha a függvény gráfját formájú rendezett párok halmazának tekintjük . $f\kettőspont A\-B-ig$ $(x, f(x))$

Általános tulajdonságok

Leképezések összetétele

Adjunk meg két leképezést úgy, hogy az első értékkészlete a második tartományának részhalmaza legyen. Ekkor az első és a második leképezés egymást követő művelete az első leképezés bármely argumentumára egyedileg illeszkedik a második leképezés tartományából származó elemhez:

$f:X\–Y,\;\;g:K\–Z\;\;(Y\K részhalmaz)\;\Jobbra \exists \;h:X\–Z,\;\;h (x)=g(f(x))\;\;(\all x\in X)$

Ilyen esetben leképezések összetételének nevezzük , és egy kifejezéssel jelöljük, amely " utána " olvasható. Általában az összetétel nem kommutatív : vagy $h$ $f$ $g$ $g\circ f$ $g$ $f$ $g(f(x))\neq f(g(x)),$ $g\circ f\neq f\circ g.$

Injekció

Egy függvényt injektívnek (vagy egyszerűen injekciónak ) nevezünk, ha a halmaz bármely két különböző eleme a halmaz különböző (egyenlőtlen) elemeivel is társítva van . Formálisabban egy függvény injektív , ha -ból . Más szóval, injektív, ha . $f:X\Y-ig$ ${\displaystyle x_{1},\,x_{2))$ $x$ $Y$ $f$ ${\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})\;\Rightarrow x_{1}=x_{2))$ $f$ $\forall x_{1},x_{2}\in X:x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})$

Surjection

Egy függvényt szürjektívnek (vagy egyszerűen szürjekciónak ) nevezünk, ha a halmaz minden eleme társítható a halmaz legalább egy eleméhez . Vagyis egy függvény szürjektív , ha . $f:X\Y-ig$ $Y$ $x$ $f$ $\all y\in Y\;\exists x\in X:f(x)=y$

Az ilyen leképezést set -to -set leképezésnek is nevezik . Ha a szürjektivitás feltétele megsérül, akkor az ilyen leképezést set -to - set leképezésnek nevezzük . $x$ $Y$ $x$ $Y$

Bijekció

Egy szürjektív és injektív függvényt bijektívnek vagy egy az egyhez ( röviden bijekció ) nevezünk.

Inverz függvény

Ha a függvény bijekció , akkor létezik , amelyre . $f\kettőspont X\Y-ra$ $f^{{-1}}\kettőspont Y\-X$ $x=f^{-1}(y)\;\balra jobbra y=f(x)$

A függvényt ebben az esetben inverzének nevezzük ; ráadásul bijektív is. $f^{-1}$ $f$ $f^{-1}$

Magyarázat:

Mivel ez egy injekció, általában véve egy funkció, a sejtésből következik, hogy a -n adják be . Egy függvény injektív, mert függvény, és szürjektivitása a definíciójából következik. $f$ $f^{-1}$ $f$ $f^{-1}$ $Y$ $f^{-1}$ $f$

Általánosságban elmondható, hogy az inverzekkel rendelkező leképezés invertálható . A reverzibilitási tulajdonság két feltétel egyidejű teljesüléséből áll: és . $f^{-1}\circ f=\operátornév {id} _{X}$ $f\circ f^{-1}=\operátornév {id} _{Y}$

A funkció összehúzódása és folytatása

Legyen adott egy leképezés és egy halmaz, amely a halmaz szigorú részhalmaza $f\kettőspont X\Y-ra$ $M\subsetneq X,$ $x.$

A függvényével azonos értékeket felvevő leképezést a függvény halmazra való korlátozásának (vagy más módon korlátozásának ) nevezzük . $g\kettőspont M\-ig Y$ $M$ $f$ $f$ $M$

Egy függvény halmazra való korlátozását jelöljük . $f$ $M$ $f{\big |}_{M}$

Ebben az esetben az eredeti függvényt a függvény halmazra való kiterjesztésének nevezzük . $f,$ $g$ $x$

Kép és prototípus

Kép és előkép (ha megjelenik), érték a pontban

Az elemhez leképezett elemet az elem (pont) képének (amikor megjelenik ) vagy a pontban megjelenített értéknek nevezzük . $y=f(x)$ $x$ $x$ $f$ $f$ $x$

Ha a függvénydefiníciós terület teljes részhalmazát vesszük , akkor ennek a halmaznak az összes elemének képhalmazát, vagyis az űrlap értékterületének (függvény) részhalmazát $A$ $f$ $f$

f(A):=\{f(x)\kettőspont x\in A\}

a leképezés alatti halmaz képének nevezzük . Ezt a halmazt néha vagy jelöléssel jelölik . $A$ $f$ $f[A]$ $A^{f}$

A függvény teljes tartományának képét a függvény képének, vagy ha a függvény szurjektív , általában a függvény tartományának nevezzük .

És fordítva, figyelembe véve a függvény értéktartományának néhány részhalmazát, figyelembe vehetjük a függvény beállítási területének összes elemének halmazát , amelynek képei a halmazba esnek , vagyis a a nyomtatvány $B$ $f$ $f$ $B$

f^{{-1}}(B):=\{x\kettőspont f(x)\in B\}

amelyet a halmaz ( teljes ) inverz képének nevezünk (leképezéskor ). $B$ $f$

Különösen, ha a halmaz egyetlen elemből áll - mondjuk -, akkor a halmaznak egyszerűbb a jelölése $B$ $B=\{y\}$ $f^{{-1}}(\{y\})=\{x\colon f(x)=y\}$ $f^{{-1}}(y)$ .

A képek és prototípusok tulajdonságai

Kép tulajdonságai

Legyen és a függvény beállítási tartományának részhalmazai . Ekkor a halmazok képei és a leképezés alatt a következő tulajdonságokkal rendelkeznek: $A$ $B$ $f\kettőspont X\Y-ra$ $A$ $B$ $f$

$f[\varnothing ]=\varnothing$ ;
$A\neq \varnothing \Rightarrow f[A]\neq \varnothing$ ;
$A\subseteq B\Rightarrow f[A]\subseteq f[B]$ .

a halmazok uniójának képe egyenlő a képek uniójával: $f[A\cup B]=f[A]\cup f[B];$
a halmazok metszéspontjának képe a képek metszéspontjának részhalmaza: . $f[A\cap B]\subseteq f[A]\cap f[B]$

Az utolsó két tulajdonság tetszőleges számú halmazra általánosítható.

Ha a leképezés invertálható (lásd fent ), akkor a tartomány minden pontjának inverz képe egypontos, tehát invertálható leképezéseknél a metszéspontokra a következő erős tulajdonság érvényesül:

a metszés képe egyenlő a képek metszéspontjával: . $f[A\cap B]=f[A]\cap f[B]$

Prototípusok tulajdonságai

Legyen és a halmaz részhalmazai . Ekkor a halmazok inverz képei és a leképezés alatt a következő két nyilvánvaló tulajdonsággal rendelkeznek: $A$ $B$ $Y$ $A$ $B$ $f\kettőspont X\Y-ra$

Az egyesülés előképe egyenlő az előképek uniójával: ; $f^{-1}[A\cup B]=f^{-1}[A]\cup f^{-1}[B]$
A metszés inverz képe egyenlő az előképek metszéspontjával: . $f^{-1}[A\cap B]=f^{-1}[A]\cap f^{-1}[B]$

Ezek a tulajdonságok tetszőleges számú halmazra általánosíthatók.

Viselkedés

Növekvő és csökkenő

Legyen akkor adott függvény $f\colon M\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} .$

egy függvényt nem- csökkenőnek nevezünk , ha $f$ $M$

(\forall x,y\in M)\ x>y\Rightarrow f(x)\geq f(y);

egy függvényt nem- növekvőnek nevezünk , ha $f$ $M$

(\forall x,y\in M)\ x>y\Rightarrow f(x)\leq f(y);

függvényt ha - val növekvőnek nevezünk $f$ $M$

(\forall x,y\in M)\ x>y\Jobbra f(x)>f(y);

egy függvényt ha - val csökkenőnek nevezünk $f$ $M$

(\forall x,y\in M)\ x>y\Jobbra f(x)<f(y);

A nem növekvő és nem csökkenő függvényeket ( nem szigorúan ) monotonnak , míg a növekvő és csökkenő függvényeket szigorúan monotonnak nevezzük . Egy tetszőleges függvényhez találhatunk monotonitási intervallumokat - a tartomány azon részhalmazai, amelyeken a függvény így vagy úgy (a szigort a legtöbb esetben megegyezés szerint választjuk), monotonok.

Periodika

Egy függvényt periodikusnak nevezünk periódusosnak, ha az egyenlőség $f\kettőspont M\-N$ $T\not=0$

f(x+T)=f(x),\quad \forall x,x+T\in M

Mivel egy periódusos függvény periodikus alakkal is periodikus , akkor általánosságban elmondható, hogy a függvény legkisebb periódusa. $T$ $nT\;(n\in \mathbb {N} )$ $T$

Ha ez az egyenlőség egyikre sem teljesül , akkor a függvényt aperiodikusnak nevezzük . $T\in M,\,T\not =0$ $f$

Paritás

Egy függvényt páratlannak nevezünk, ha az egyenlőség $f\colon X\ to \mathbb {R}$

f(-x)=-f(x),\quad \forall x\in X.

Egy páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az origóhoz képest.

Egy függvényt akkor is hívunk, ha az egyenlőség $f$

f(-x)=f(x),\quad \forall x\in X.

Egy páros függvény grafikonja szimmetrikus az y tengelyre.

Függvény extrém

Legyen adott egy függvény, és egy pont az akkor feladatterület belső pontja $f\colon X\to \mathbb {R}$ $x_{0}\X-ben$ $f.$

$x_{0}$ lokális maximumpontnak nevezzük, ha létezik a pontnak olyan környéke $M$ $x_{0}$ $\forall x\in M,x\neq x_{0}\colon \quad f(x)<f(x_{0});$
$x_{0}$ lokális minimumpontnak nevezzük, ha létezik a pontnak olyan környéke, hogy $M$ $x_{0}$ $\forall x\in M,x\neq x_{0}\colon \quad f(x)>f(x_{0}).$

Függvények a halmazelméletben

A referenciaterület és az értékterület jellegétől függően a következő területeket különböztetjük meg:

absztrakt halmazok - halmazok minden további struktúra nélkül;
valamilyen szerkezettel felruházott halmazok.

Az 1 -es esetben a leképezéseket a legáltalánosabb formában vizsgáljuk, és a legáltalánosabb kérdéseket oldjuk meg - például a halmazok kardinalitás szerinti összehasonlításáról : ha két halmaz között van egy-egy leképezés (bijekció), akkor ezek halmazokat egyenértékűnek vagy egyenértékűnek nevezzük . Ez lehetővé teszi, hogy a halmazokat kardinalitásuk szerint osztályozzuk, és közülük a legkisebbek, növekedési sorrendben, a következők:

véges halmazok - itt a halmaz számossága egybeesik az elemek számával;
megszámlálható halmazok – a természetes számok halmazával egyenértékű halmazok ;
egy kontinuum hatványkészletei (például a valós egyenes egy szakasza vagy maga a valós egyenes ).

Így a következő típusú leképezéseket kapjuk - a definíciós tartomány erejének megfelelően:

a véges függvények véges halmazok leképezései;
szekvenciák — egy megszámlálható halmaz leképezése tetszőleges halmazba;
A kontinuumfüggvények a megszámlálhatatlan halmazok véges, megszámlálható vagy megszámlálhatatlan halmazokra való leképezése.

A 2. esetben a fő szempont a halmazon megadott struktúra (ahol a halmaz elemei további tulajdonságokkal vannak felruházva, amelyek ezeket az elemeket összekapcsolják, például csoportokban , gyűrűkben , lineáris terekben ), és mi történik ezzel struktúra a leképezés során: ha egy-egy leképezéssel egy adott struktúra tulajdonságai megmaradnak, akkor azt mondjuk, hogy a két struktúra között izomorfizmus jön létre . Így a különböző halmazokban megadott izomorf struktúrák általában nem különböztethetők meg, ezért a matematikában szokás azt mondani, hogy egy adott szerkezetet "az izomorfizmusig " tekintenek.

A halmazokon sokféle struktúra definiálható. Ebbe beletartozik:

sorrendi struktúra - egy halmaz elemeinek részleges vagy lineáris sorrendje ;
algebrai szerkezet - a halmaz elemein meghatározott csoportoid , félcsoport , csoport , gyűrű , test , integritástartomány vagy mező ;
a metrikus tér szerkezete - a halmaz elemein a távolságfüggvény van beállítva ;
az euklideszi tér szerkezete - a skaláris szorzat a halmaz elemeire van állítva ;
a topológiai tér szerkezete - a halmazon meg van adva " nyitott halmazok " halmaza (amelyek nem tartalmaznak saját határt );
a mérhető tér szerkezete — az eredeti halmaz részhalmazainak szigma-algebráját a halmazon adjuk meg (például úgy, hogy a függvénydefiníció tartományaként egy mértéket adunk meg az adott szigma-algebrával)

Előfordulhat, hogy egy adott tulajdonsággal rendelkező függvények nem léteznek azokon a halmazokon, amelyek nem rendelkeznek a megfelelő szerkezettel. Például egy olyan tulajdonság megfogalmazásához, mint egy halmazon definiált függvény folytonossága , meg kell határozni egy topológiai struktúrát ezen a halmazon .

Változatok és általánosítások

Részben meghatározott függvények

Egy halmazból halmazba részben meghatározott függvény egy feladatterülettel rendelkező függvény . $f$ $x$ $Y$ $f\kettőspont X'\Y-ra$ $X'={\rm {Dom}}f\subsetneq X$

Egyes szerzők magán a függvényen csak a szűkítését értik, így a függvény teljes egészében a „szűkített” definíciós tartományon van definiálva. Ennek megvannak az előnyei: például lehet írni , ahol - jelen esetben azt jelenti . $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $f(x)=1/x,$ ${\mathop {\rm {Dom}}}f=\mathbb {R} \backslash \{0\}$

Többértékű függvények

Egy adott argumentumértéknek pontosan egy függvényértéknek kell egyeznie, a függvénydefiníció miatt. De ennek ellenére gyakran találkozhatunk az úgynevezett többértékű függvényekkel . Valójában ez nem más, mint egy olyan függvény kényelmes jelölése, amelynek tartománya maga is halmazcsalád.

Legyen , ahol a halmaz részhalmazainak családja . Ezután mindegyikhez lesz egy készlet . $f\colon X\ to \mathbb {B}$ $\mathbb {B}$ $Y$ $f(x)$ $x\X-ben$

Egy függvény akkor egyértékű , ha az argumentum minden értéke a függvény egyetlen értékének felel meg. Egy függvény akkor többértékű , ha legalább egy argumentumérték megfelel két vagy több függvényértéknek [5] .

Lásd még

Jegyzetek

↑ V. A. Zorich . I. fejezet Néhány általános matematikai fogalom és jelölés. 3. § Függvény // Matematikai elemzés. I. rész – negyedik, javítva. - M. : MTsNMO, 2002. - S. 13, 22, 25, 31. - 664 p. — ISBN 5-94057-056-9 .
↑ 1 2 Kolmogorov A. N. , Abramov A. M. , Dudnitsyn Yu. P. Algebra és az elemzés kezdetei. Tankönyv a gimnázium 10-11 évfolyamának. - M., Oktatás, 1994. - ISBN 5-09-006088-6 . - C. 86-87
↑ G. E. Shilov . 2. fejezet A halmazelmélet elemei. § 2.8. A függvény általános fogalma. Grafikon // Matematikai elemzés (egy változó függvényei). - M. : Nauka, 1969. - S. 69. - 528 p.
↑ 1 2 V. A. Zorich . I. fejezet Néhány általános matematikai fogalom és jelölés. 3. § Függvény // Matematikai elemzés. I. rész – negyedik, javítva. - M. : MTsNMO, 2002. - S. 13, 22, 25, 31. - 664 p. — ISBN 5-94057-056-9 .
↑ G. Korn, T. Korn. A matematika kézikönyve. Tudósoknak és mérnököknek. M., 1973 4. fejezet Függvények és határértékek, differenciál- és integrálszámítás. 4.2. Funkciók. 4.2-2. Különleges tulajdonságokkal rendelkező funkciók . ( a ), 99. o. . Hozzáférés dátuma: 2012. január 26. Az eredetiből archiválva : 2015. január 19. (határozatlan)

Irodalom

Funkció. Matematikai enciklopédikus szótár / Ch. szerk. Yu. V. Prokhorov. - M .: "Nagy orosz enciklopédia", 1995.
Klein F. A függvény általános fogalma . In: Elemi matematika magasabb nézőpontból. T. 1. M.-L., 1933.
I. A. Lavrov ésL. L. Maksimova I. rész Halmazelmélet//A halmazelmélet, a matematikai logika és az algoritmuselmélet problémái. -3. kiadás. -M.: Fizmatlit, 1995. - S. 13-21. — 256 p. —ISBN 5-02-014844-X.
J. L. Kelly . 0. fejezet Előzetesek// Általános topológia. -2. kiadás. -M .: Nauka, 1981. - S. 19-27. — 423 p.
A. N. Kolmogorov . Mi a függvény // "Kvantum" : tudományos-pop. Fiz.-Matek. magazin - M . : "Nauka" , 1970. - 1. sz . - S. 27-36 . — ISSN 0130-2221 .
Vilenkin N. Hogyan keletkezett és fejlődött a függvény fogalma // "Kvant" : nauch.-pop. Fiz.-Matek. magazin - M . : "Nauka" , 1977. - 7. sz . - S. 41-45 . — ISSN 0130-2221 .
JJ O'Connor, E. F. Robertson. A funkció fogalma . MacTutor Matematikatörténeti archívum . Matematikai és Statisztikai Iskola, St Andrews Egyetem, Skócia (2005. október). (határozatlan)

Szótárak és enciklopédiák

Bibliográfiai katalógusokban
BNF : 11946892t GND : 4071510-3 J9U : 987007553160705171 LCCN : sh85052327 NDL : 00564960 NKC : ph114594