Az alaptétel ( angolul fundamental theorem , németül Hauptsatz ) egy matematikai tétel , amely a matematika bármely területének fejlesztésében kulcsszerephez kapcsolódóan kapott különleges státuszt. Ez a státusz elsősorban egy adott iparág fontosságát tükrözi, miközben nem feltétlenül kapcsolódik a megfogalmazás vagy a bizonyíték összetettségéhez vagy elemi jellegéhez [1] .
Az alaptételeknek számos közös vonásuk van, így az alapvető minták feltárásán túl gyakran a matematika több különböző ágát kapcsolják össze, gyökeresen eltérő bizonyításokat tesznek lehetővé, gazdag történettel rendelkeznek, és legalább egy ponton a középpontjában álltak. matematikai kutatás.események. Általában a fő tételek a matematika fejlődésével is megőrzik jelentőségüket, általánosításokat és analógokat kapnak a matematika új és kapcsolódó ágaiban. Valamennyi fundamentálisnak minősített tételnek sajátos módszertani jelentősége van: ezekben és azok bizonyításaiban nyilvánulnak meg a legvilágosabban a matematika módszertani megközelítései, filozófiai problémái. Az ilyen tételek a tudomány fejlődésének objektív komponensét tükrözik: gyakran különböző tudósok fedezik fel vagy bizonyítják egyszerre, és nem függenek a különböző megközelítésekre érvényes instrumentális konstrukcióktól, konstrukcióktól. Ez utóbbival kapcsolatban a fő tételeket nem kidolgozzák és kitalálják, hanem felfedezik .
Azok a tételek, amelyek alapstátuszt kaptak a matematika fő ágaiban: az aritmetika alaptétele , az algebra alaptétele , az elemzés alaptétele . Sok részben és alfejezetben külön-külön kiemelik saját fő tételeiket, például a Galois-elmélet főtétele a Galois-elmélet fő eredményét fejezi ki . Vannak helyzetek, amikor egy meglehetősen kiterjedt részben több állítást főtételnek neveznek, például a " Riemann-geometria főtételét " Levi-Civita kapcsolattételnek és Nash-tételnek is nevezik szabályos beágyazásoknál . Ugyanakkor számos általánosan elismert alaptétel nem tükrözi ezt a tényt a nevében, különösen ezek a Pitagorasz-tétel a háromszöggeometriához , Euklidész tétel az elemi számelmélethez , Dirichlet-tétel a prímszámokról aritmetikai progresszióban az analitikai célokra . számelmélet , kínai maradék tétel , tétel az Euler ciklusról ( " Königsberg híd probléma " ) , Euler tétel a poliéderekre , egyenlőtlenség a számtani és geometriai átlag között , a Lindemann - Weierstrass tétel a transzcendentális számok elméletére , a Frobenius tétel asszociatív algebrák elmélete , Tyihonov tömörségi tétele , Stone-Weierstrass tétele , Löwenheim-Skolem tétele , Fermat utolsó tétele és számos más.