A Weierstrass-Stone tétel egy állítás arról, hogy egy Hausdorff - kompakton tetszőleges folytonos függvény reprezentálható egy speciális osztály – a Stone algebra folytonos függvényeinek egyenletesen konvergens sorozatának határértékével .
Eredetileg Karl Weierstrass fogalmazta meg és bizonyította be 1885 -ben a valós egyenes egy szakaszán folytonos függvényekre , lehetővé téve ezek egyenletes közelítését polinomok sorozatával . 1937 -ben Marshall Stone lényegében általánosította az eredményt oly módon, hogy az eredményt kiterjesztette azokra a függvényekre, amelyek folytonosak egy tetszőleges T 2 -elválasztható kompakt térben, gyűrűt alkotva , és egyenletesen konvergens függvénysorozatokként polinomok helyett olyan függvényekre, az algyűrűt alkotó folytonos függvények meghatározott alosztálya.
Később az eredménynek más általánosításait is találtuk .
Legyen az intervallumon definiált folytonos függvény . Ekkor bármelyikre létezik olyan valós együtthatójú polinom , amelyre az [1] feltétel egyidejűleg mindegyikre teljesül .
Ha a körön folytonos (periodikus), akkor az állítás trigonometrikus polinomokra is igaz .
A tétel komplex értékű függvényekre is érvényes , de ekkor a polinom együtthatóit komplex számoknak kell tekinteni, és a komplex konjugációikat hozzá kell adni a polinomokhoz.
A tételt Karl Weierstrass állította fel 1885-ben [2] egy általánosabb állítás eredményeként: valósra mindenhol meghatározott folytonos függvények és , amelyek abszolút értéke nem halad meg egy bizonyos határt, sehol nem változtatja előjelét, és kielégíti az egyenlőséget , és az integrál konvergál hozzá:
,teljesített:
.A közvetlen bizonyításból azonnal következik, hogy a határ nemcsak létezik és egyenlő -val , hanem az is, hogy a konvergencia egyenletes -ben , bármely véges intervallumon változik.
A család minden egyes funkcióját tekintve:
teljesen definiált minden komplexhez és teljes . Ezért tetszőleges sugarú körben egyenletesen közelíthetők polinomokkal ( Abel-tétel ). Ez azonnal azt jelenti, hogy bármely folytonos függvény egyenletesen közelíthető polinomokkal bármely véges intervallumon.
Ha ezen kívül egy periodikus függvény a periódussal , akkor a függvények teljes periodikus függvények. De aztán:
egy egyértékű és holomorf függvény a tartományban , ezért Laurent-sorozattá bővül :
,ezért , és ennélfogva trigonometrikus polinomokkal közelíthető.
A 19. század közepén a függvény , mint analitikus kifejezés gondolata teljesen kiélte magát, az integrál- és differenciálszámítás alapján kialakított elemzés tetszőleges függvényekkel foglalkozott , például Hermann Hankel különösen . megjegyezte: bizonyos intervallum egy bizonyos értéknek felel meg ; ugyanakkor az sem mindegy, hogy a teljes intervallumban egy törvény szerint függ- e, és ez a függés kifejezhető-e matematikai műveletekkel ” [3] , hangsúlyozva, hogy nem minden függvény ábrázolható analitikus kifejezéssel. Weierstrass erre reagálva írta meg "Az úgynevezett tetszőleges függvények analitikus ábrázolásáról" című munkáját, amelyben kimutatták, hogy egy tetszőleges folytonos függvény a polinomok határa. Később kiderült, hogy még a legpatológiásabb függvények, például a Dirichlet-függvény is megengedik az ilyen ábrázolásokat, de csak a végletekig nagy számmal.
A Weierstrass-tétel szerint a folytonos valós vagy komplex értékű függvények tere egy egységes normájú szegmensen szeparálható : a racionális vagy komplex-racionális együtthatójú polinomok tere a mindenhol sűrű altér szükséges megszámlálható .
1935-ben Stone bebizonyította, hogy egy Hausdorff - kompakton folytonos valós értékű függvények gyűrűjéből bármely függvény egyenletesen közelíthető a Stone algebrát alkotó speciális osztály függvényeivel, azaz bármely Stone algebra mindenütt sűrűn található a térben . folyamatos funkciók a kompakton: . Az egyenletes konvergencia normájaként vesszük , és a Stone algebra olyan részalgebra , amelynek elemei elválasztják a pontokat .
Pontosabban, a kőalgebra a gyűrű függvényeinek halmaza, amely teljesíti a következő feltételeket:
A Weierstrass-Stone tételnek számos általánosítása létezik különböző irányban. Például Mergelyan tétele alapján bármely olyan függvény, amely folytonos bármely kompakt halmazon, amelynek a komplex síkon összefüggő komplementere van, és a belső pontjaiban holomorf, egységesen közelíthető komplex polinomokkal. Találtunk olyan általánosításokat is, amelyek lehetővé teszik a Hausdorff-kompakt helyett olyan függvények figyelembevételét, amelyek folytonosak egy tetszőleges Tikhonov-téren .