Weierstrass-Stone tétel

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. április 8-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Weierstrass-Stone tétel egy állítás arról, hogy egy Hausdorff - kompakton tetszőleges folytonos függvény reprezentálható egy speciális osztály – a Stone algebra folytonos függvényeinek egyenletesen konvergens sorozatának határértékével .

Eredetileg Karl Weierstrass fogalmazta meg és bizonyította be 1885 -ben a valós egyenes egy szakaszán folytonos függvényekre , lehetővé téve ezek egyenletes közelítését polinomok sorozatával . 1937 -ben Marshall Stone lényegében általánosította az eredményt oly módon, hogy az eredményt kiterjesztette azokra a függvényekre, amelyek folytonosak egy tetszőleges T 2 -elválasztható kompakt térben, gyűrűt alkotva , és egyenletesen konvergens függvénysorozatokként polinomok helyett olyan függvényekre, az algyűrűt alkotó folytonos függvények meghatározott alosztálya.

Később az eredménynek más általánosításait is találtuk .

Weierstrass-tétel

Legyen az intervallumon definiált folytonos függvény . Ekkor bármelyikre létezik olyan valós együtthatójú polinom , amelyre az [1] feltétel egyidejűleg mindegyikre teljesül . $f$ $[a,b]$ $\varepsilon >0$ $p$ $x$ $[a,\;b]$ $|f(x)-p(x)|<\varepszilon$

Ha a körön folytonos (periodikus), akkor az állítás trigonometrikus polinomokra is igaz . $f(x)$

A tétel komplex értékű függvényekre is érvényes , de ekkor a polinom együtthatóit komplex számoknak kell tekinteni, és a komplex konjugációikat hozzá kell adni a polinomokhoz. $p$

A Weierstrass-bizonyítás vázlata

A tételt Karl Weierstrass állította fel 1885-ben [2] egy általánosabb állítás eredményeként: valósra mindenhol meghatározott folytonos függvények és , amelyek abszolút értéke nem halad meg egy bizonyos határt, sehol nem változtatja előjelét, és kielégíti az egyenlőséget , és az integrál konvergál hozzá: $f(x)$ $\psi(x)$ $\psi(x)$ $\psi(-x)=\psi(x)$

\int \limits _{0}^{\infty }\psi (x)dx=\omega

teljesített:

f(x)=\lim \limits _{k\to 0}{\frac {1}{2k\omega }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\psi \left ({\frac {xy}{k}}\right)f(y)dy

A közvetlen bizonyításból azonnal következik, hogy a határ nemcsak létezik és egyenlő -val , hanem az is, hogy a konvergencia egyenletes -ben , bármely véges intervallumon változik. $f(x)$ $x$

A család minden egyes funkcióját tekintve: $\psi(x)=e^{-x^2}$

F_k(x) = \frac{1}{2k\omega}\int\limits_{-\infty}^\infty \psi\left( \frac{xy}{k}\right)f(y)dy

teljesen definiált minden komplexhez és teljes . Ezért tetszőleges sugarú körben egyenletesen közelíthetők polinomokkal ( Abel-tétel ). Ez azonnal azt jelenti, hogy bármely folytonos függvény egyenletesen közelíthető polinomokkal bármely véges intervallumon. $x$ $f(x)$

Ha ezen kívül egy periodikus függvény a periódussal , akkor a függvények teljes periodikus függvények. De aztán: $f(x)$ $T$ $F_k(x)$

F_k\left(\frac{T}{2\pi i}\ln z\jobb)

egy egyértékű és holomorf függvény a tartományban , ezért Laurent-sorozattá bővül : $z\not=0$

F_k=\sum \limits_{n=-\infty}^\infty c_n z^n = \sum \limits_{n=-\infty}^\infty c_n \exp{\left (\frac{2\pi}{ T}inx\jobbra)}

ezért , és ennélfogva trigonometrikus polinomokkal közelíthető. $F_k(x)$ $f(x)$

A Weierstrass-eredmény jelentősége

A 19. század közepén a függvény , mint analitikus kifejezés gondolata teljesen kiélte magát, az integrál- és differenciálszámítás alapján kialakított elemzés tetszőleges függvényekkel foglalkozott , például Hermann Hankel különösen . megjegyezte: bizonyos intervallum egy bizonyos értéknek felel meg ; ugyanakkor az sem mindegy, hogy a teljes intervallumban egy törvény szerint függ- e, és ez a függés kifejezhető-e matematikai műveletekkel ” [3] , hangsúlyozva, hogy nem minden függvény ábrázolható analitikus kifejezéssel. Weierstrass erre reagálva írta meg "Az úgynevezett tetszőleges függvények analitikus ábrázolásáról" című munkáját, amelyben kimutatták, hogy egy tetszőleges folytonos függvény a polinomok határa. Később kiderült, hogy még a legpatológiásabb függvények, például a Dirichlet-függvény is megengedik az ilyen ábrázolásokat, de csak a végletekig nagy számmal. $y$ $x$ $x$ $y$ $y$ $x$

Topológiai következmények

A Weierstrass-tétel szerint a folytonos valós vagy komplex értékű függvények tere egy egységes normájú szegmensen szeparálható : a racionális vagy komplex-racionális együtthatójú polinomok tere a mindenhol sűrű altér szükséges megszámlálható .

Stone általánosítása

1935-ben Stone bebizonyította, hogy egy Hausdorff - kompakton folytonos valós értékű függvények gyűrűjéből bármely függvény egyenletesen közelíthető a Stone algebrát alkotó speciális osztály függvényeivel, azaz bármely Stone algebra mindenütt sűrűn található a térben . folyamatos funkciók a kompakton: . Az egyenletes konvergencia normájaként vesszük , és a Stone algebra olyan részalgebra , amelynek elemei elválasztják a pontokat . $C(K)$ $K$ $C_{0}$ ${\overline {C_{0}}}=C(K)$ $C(K)$ $\|f\|=\max \limits _{x\in K}|f(x)|$ $C_0 \subseteq C(K)$ $K$

Pontosabban, a kőalgebra a gyűrű függvényeinek halmaza, amely teljesíti a következő feltételeket: $C_{0}$ $C(K)$

bármely elemével együtt a kőalgebra a következő elemeket tartalmazza: ( ), , ; $f, g \in C_0$ $vö$ $c\in \mathbb {R}$ $f+g$ $fg$
a Stone algebra konstans függvényt tartalmaz ; $egy$
minden pár különálló ponthoz van legalább egy olyan függvény , hogy . $x_{1}, x_{2} \in K$ $f\in C_{0},$ $f(x_{1}) \neq f(x_{2})$

További általánosítások

A Weierstrass-Stone tételnek számos általánosítása létezik különböző irányban. Például Mergelyan tétele alapján bármely olyan függvény, amely folytonos bármely kompakt halmazon, amelynek a komplex síkon összefüggő komplementere van, és a belső pontjaiban holomorf, egységesen közelíthető komplex polinomokkal. Találtunk olyan általánosításokat is, amelyek lehetővé teszik a Hausdorff-kompakt helyett olyan függvények figyelembevételét, amelyek folytonosak egy tetszőleges Tikhonov-téren .

Lásd még

Bernstein polinom

Jegyzetek

↑ Fikhtengolts G. M. A differenciál- és integrálszámítás menete. 3. kötet, 734. o
↑ Weierstrass K. // Math. Werke. bd. 3. P. 1.
↑ Idézett. szerző : Koenig F. Kommentierender Anhang // Klein F. Funktionentheorie . Teubner, 1987. S. 261

Irodalom

Weierstrass-Stone tétel – Matematikai enciklopédiás cikk . V. I. Ponomarjov
Dzyadyk VK Bevezetés a függvények polinomokkal történő egyenletes közelítésének elméletébe. — M .: Nauka, 1977. — 512 p.