Norma (matematika)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. június 6-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A norma egy vektortéren definiált funkcionál , amely általánosítja a vektor hosszának vagy egy szám abszolút értékének fogalmát .

Definíció

Vektor norma

A valós vagy komplex számok mezője feletti vektortérben lévő norma a következő tulajdonságokkal rendelkező funkcionális : $V\$ $p\colon V\to \mathbb {R_{+}}$

$p(x)=0\Jobbra x=0_{V};$
$\forall x,y\in V,p(x+y)\leqslant p(x)+p(y)$ ( háromszög egyenlőtlenség );
$\forall \alpha \in \mathbb {C} ,\forall x\in V,p(\alpha \,x)=|\alpha |p(x).$

Ezek a feltételek a norma axiómái .

A normával rendelkező vektorteret normált térnek nevezzük , az (1–3) feltételeket pedig a normált tér axiómáinak is nevezzük.

A norma axiómáiból nyilvánvaló módon következik a norma nem-negativitásának tulajdonsága:

$\forall x\in V,p(x)\geqslant 0$ .

Valóban, a harmadik tulajdonságból következik: , és a 2. tulajdonságból - . $p(0_{V})=p(0\cdot 0_{V})=0\cdot p(0_{V})=0$ $\forall x\in V\colon 0=p(0_{V})=p(xx)\leqslant p(x)+p(-x)=2p(x)$

Leggyakrabban a normát a következő formában jelölik :. Különösen a vektortér egy elemének normája . $\|\cdot \|$ $\|x\|$ $x$ $\mathbb {R}$

Az egységnormával rendelkező vektort egységnek vagy normalizáltnak nevezzük . $\left(\|x\|=1\right)$

Bármely nem nulla vektor normalizálható, azaz osztható a saját normájával: a vektornak egységnormája van. Geometriai szempontból ez azt jelenti, hogy egységnyi hosszúságú együttirányú vektort veszünk. $x$ ${\frac {x}{\|x\|}}$

Mátrix norma

A mátrixnorma egy valós szám , amely teljesíti a következő feltételek közül az első háromat : $A$ $\|A\|$

$\|A\|\geqslant 0$ , és csak a ; $\|A\|=0$ $A=0\$
$\|\alpha A\|=|\alpha |\cdot \|A\|$ , hol ; $\alpha \in \mathbb{R}$
$\|A+B\|\leqslant \|A\|+\|B\|$ ;
$\|AB\|\leqslant \|A\|\cdot \|B\|$ .

Ha a negyedik tulajdonság is teljesül, a normát szubmultiplikatívnak nevezzük . Az operátornormaként összeállított mátrixnormáról azt mondjuk , hogy alárendeltje a vektorterekben használt normának. Nyilvánvaló, hogy minden alárendelt mátrix norma szubmultiplikatív.

A mátrix normát -ból - konzisztensnek nevezzük a vektor normával és a vektor normával , ha igaz: $\|\cdot \|_{{ab}}$ $K^{{m\times n}}$ $\|\cdot \|_{{a}}$ $K^n$ $\|\cdot \|_{{b}}$ $K^{m}$

\|Ax\|_{b}\leqslant \|A\|_{{ab}}\|x\|_{a}

mindenkinek . $A\in K^{{m\times n}},x\in K^{n}$

Operátori norma

Az operátor normája a szám , amely a következőképpen definiálható: $A$

\|A\|=\sup _{{\|x\|=1}}\|Ax\|

, ahol a normált térből normált térbe lépő operátor .

A

L

K

Ez a meghatározás egyenértékű a következővel:

\|A\|=\sup _{{x\neq 0}}{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}

Az operátori normák tulajdonságai:

$\|A\|\geqslant 0$ , és csak a ; $\|A\|=0$ $A=0$
$\|\alpha A\|=|\alpha |\cdot \|A\|$ , hol ; $\alpha \in {\mathbb {R}}$
$\|A+B\|\leqslant \|A\|+\|B\|$ ;
$\|AB\|\leqslant \|A\|\cdot \|B\|$ .

Véges dimenziós esetben egy operátor valamilyen bázison megfelel egy mátrixnak – az operátor mátrixának. Ha azon a tér(ek)en, ahol az operátor cselekszik, a norma elfogadja a bázis egyik standard kifejezését, akkor az operátori norma tulajdonságai megismétlik a mátrixnorma hasonló tulajdonságait.

Norm Properties

$\|x\|-\|y\|\ \leqslant \|x\pm y\|\leqslant \|x\|+\|y\|$
${{\bigl (}\|x\|-\|y\|{\bigr )}}^{2}\leqslant {\|x\pm y\|}^{2}\leqslant {{ \bigr (}\|x\|+\|y\|{\bigl )}}^{2}$
${\frac {\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|xy\|^{2}}{2\|x\|\|y\|}}\in [-1,1]$ [szög koszinusza]
$\|0_{V}\|=\|xx\|=\|0x\|=0\cdot \|x\|=0$
$0=\|xx\|\leqslant \|x\|+\|-x\|=2\|x\|\Rightarrow \|x\|\geqslant 0$

A normák egyenértékűsége

Két normát és egy teret ekvivalensnek nevezünk, ha van két pozitív állandó , és olyan , hogy bármely . Az egyenértékű normák ugyanazt a topológiát határozzák meg a téren. Egy véges dimenziós térben minden norma egyenértékű [1] . $p$ $q$ $V$ $C_{1}$ $C_{2}$ $x \ V-ben$ $C_{1}p(x)\leqslant q(x)\leqslant C_{2}p(x)$

Példák

Lineáris normált terek

Bármely Hilbert előtti tér normáltnak tekinthető , mivel a skaláris szorzat természetes normát generál

\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle )),\quad x\in X.

-dimenziós vektorok Hölder - normái (család): , $n$ $\|x\|_{p}={\left(\sum _{i}|x_{i}|^{p}\right)}^{\frac {1}{p))$

ahol (általában természetes számnak tételezzük fel). Különösen: $p\geqslant 1$

$\|x\|_{1}=\sum _{{i}}|x_{{i}}|$ , amelyet L1 metrikának , normának $\ell _{1}$ vagy Manhattan távolságnak is neveznek . Egy vektor esetében ez az összes eleme moduljainak összege.
$\|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{{i}}|x_{{i}}|^{2}}}$ , amelyet L2 metrikának , normának $\ell _{2}$ vagy euklideszi normának is neveznek . A többdimenziós tér két pontja közötti geometriai távolság, a Pitagorasz-tétel segítségével számítva.
$\|x\|_{\infty }=\max |x_{{i}}|$ (ez extrém eset ). $p\rightarrow \infty$

A függvények normái a valós (vagy komplex) folytonos függvények terében a [0,1] intervallumon : $C[0,1]$
- $\|f\|_{{C[0,1]}}=\sup _{{x\in [0,1]}}|f(x)|$ - e norma értelmében a szegmensen folytonos függvények
tere teljes lineáris teret alkot . Ugyanez nem mondható el a következő két normapéldáról ezen a téren, amelyek mégis jogosak: $C[0,1]$
$\|f\|_{1}=\int \limits _{0}^{1}|f(t)|\,dt$
$\|f\|_{2}={\sqrt {\int \limits _{0}^{1}|f(t)|^{2}\,dt))$

Hasonlóképpen bevezethetünk normákat a véges dimenziós vektorargumentumok véges dimenziós vektorfüggvényeihez, helyettesítve a -val , és a szegmens feletti integrációt tartomány feletti integrációval (a szegmens maximuma a megfelelő esetben a tartomány maximuma ). $|f(x)|\$ $\|f(x)\|\$

"L0 norma"

Egy speciális eset az (L0-"norm"), amely a vektor nullától eltérő elemeinek száma. Szigorúan véve ez nem norma, mivel a norma harmadik axiómája nem állja meg a helyét. Alapvetően ezt a fajta „normát” ritka kódolási problémáknál használják, különösen a tömörítő érzékelésnél , ahol meg kell találni a vektor legritkább reprezentációját (a legtöbb nullával), vagyis a legkisebb -normával. Ezzel a "normával" a Hamming-távolság meghatározható . $\ell _{0}$ $\ell _{0}$

A mátrixnormák bizonyos típusai

Generált normák : $\|A\|_{{p}}=\sup _{{\|x\|_{{p}}=1}}\|Ax\|_{{p}}$
- $p=1$ : -norm, $m$ $\|A\|_{m}=\max _{j}\sum _{i}|a_{{ij}}|$
- $p=2$ ( Euklideszi norma ) és (négyzetmátrixok), a mátrix alárendelt normáját spektrális normának nevezik . Egy mátrix spektrális normája egyenlő a mátrix legnagyobb szinguláris értékével vagy egy pozitív félig meghatározott mátrix legnagyobb sajátértékének négyzetgyökével : ahol a mátrixhoz konjugált mátrixot jelöli . $m=n$ $A$ $A$ $A^{\tőr }A$ $\left\|A\right\|_{2}={\sqrt {\lambda _{({\text{max))))(A^{\tőr }A)))$ $A^{\tőr }$ $A$
- $p=\infty$ : -norm $l$ $\|A\|_{l}=\max _{i}\sum _{j}|a_{{ij}}|$

Itt van a mátrix konjugáltja és a mátrix nyoma .

A^{\tőr }

A

{\mathrm {Tr}}

Elemek -norma ( ): $p$ $p>0$ $\|A\|_{p}=\left(\sum _{i,j}|a_{ij}|^{p}\right)^{\frac {1}{p))$
- Frobenius norma : . $\|A\|_{F}=\|A\|_{2}={\sqrt {\sum _{i,j}|a_{ij}|^{2))}={\ sqrt {\mathrm {Tr} \,A^{\dagger }A))$

Kapcsolódó fogalmak

A tér topológiája és a norma

A norma meghatároz egy metrikát a téren (a metrikus tér távolságfüggvénye értelmében ), így metrikus teret generál, és ezáltal egy topológiát , amelynek alapja mindenféle nyitott golyó, azaz a metrikus tér távolságfüggvénye . forma . Az ilyen topológiában a halmazelméleti topológia nyelvén meghatározott és a norma nyelvén meghatározott konvergencia fogalmai egybeesnek. $B(x,r)=\{y\kettőspont \|xy\|<r\}$

Lásd még

Jegyzetek

↑ M. Verbitsky. Topológia bevezető tanfolyam. Problémák és tételek . Liter, 2018-12-20. - S. 163-164. — 346 p.