Tükörszimmetria (húrelmélet)

A matematikában és az elméleti fizikában a tükörszimmetria a Calabi-Yau sokaságok ekvivalenciája a következő értelemben. Két Calabi-Yau sokaság geometriailag teljesen eltérő lehet, de ugyanazt az elemi részecskefizikát adják, ha a húrelmélet "összehajtott" extra dimenzióiként használják . Magukat az ilyen elosztókat tükörszimmetrikusnak nevezzük .

A tükörszimmetriát eredetileg fizikusok fedezték fel. A matematikusok 1990 körül kezdett érdeklődni e jelenség iránt, amikor Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green és Linda Parks megmutatta, hogy a tükörszimmetria használható eszközként a számítási geometriában , a matematika azon ágában, amely a válaszok számának megszámlálásával foglalkozik. bizonyos geometriai kérdésekre. Candelas és munkatársai kimutatták, hogy a tükörszimmetria segítségével megszámolható a racionális görbék száma egy Calabi-Yau változaton, ami megold egy régóta fennálló problémát. Bár a tükörszimmetria eredeti megközelítése a szigorúság fizikai szintjén megfogalmazott elképzeléseken alapult, a matematikusok szigorúan be tudták bizonyítani a fizikusok előrejelzéseit.

A tükörszimmetria ma már a tiszta matematika kutatásának egyik legnépszerűbb területe , és a matematikusok azon dolgoznak, hogy matematikailag megértsék ezt a fizikai intuíción alapuló jelenséget. Ezenkívül a tükörszimmetria a fő számítási eszköz a húrelméletben; a kvantumtérelmélet részleteinek megértésére is használták , a formalizmusnak, amellyel a fizikusok az elemi részecskéket írják le . A tükörszimmetria főbb megközelítései közé tartozik Maxim Kontsevich homológ tükörszimmetria programja és Strominger , Yau és Zaslow SYZ hipotézise .

Áttekintés

Húrok és tömörítés

A húrelmélet  egy olyan elmélet, amelyben az alapvető objektumok nem pontrészecskék, hanem egydimenziós objektumok, amelyeket karakterláncoknak neveznek. A húrok nyitottak és zártak; a nyitottak szegmenseknek, a zártak huroknak néznek ki. A húrelmélet annak leírásával foglalkozik, hogy ezek az alapvető objektumok – húrok – hogyan terjednek a térben, és hogyan lépnek kölcsönhatásba egymással. A Planck-hossznál nagyobb távolságokon a húr pontrészecskeként néz ki, saját tömegével , töltésével és egyéb tulajdonságaival, amelyek a húr rezgésmódjától függenek. A húrok felosztása és rekombinációja megfelel a részecskék kibocsátásának és abszorpciójának – így van egy karakterlánc-nyelvünk, amely leírja a részecskék kölcsönhatását. [egy]

Jelentős különbség van a húrelmélet által leírt világ és a mindennapi életben találkozunk világ között. A hétköznapi életben három térbeli dimenziót figyelünk meg (fel/le, balra/jobbra és előre/hátra) és egyidejűleg o e (korábban/később). Így a modern fizika nyelvén a téridő négydimenziós. [2] A húrelmélet egyik sajátossága, hogy önkonzisztenciájához a téridő további dimenzióira van szükség. A szuperhúrelmélet (a húrelmélet szuperszimmetriát is magában foglaló változata ) hat további téridődimenziót igényel a szokásos négy mellett. [3]

A jelenlegi húrelméleti kutatások egyik célja olyan modellek kidolgozása, amelyekben a húrok leírják a részecskék viselkedését nagy energiájú fizikai kísérletekben. Négydimenziósnak tűnik számunkra az a világ, amelyben a részecskéket megfigyeljük – ezért meg kell választanunk a módját, hogy az általunk megszokott távolságokon négydimenziósra csökkentsük. A legrealisztikusabb elméletek szerint ezt egy tömörítési folyamattal érik el , amelyben a további dimenziók körben "záródnak" magukhoz. [4] Ha ezek az „összehajtott” további dimenziók nagyon kicsinek bizonyulnak, akkor úgy fogunk tűnni, hogy egy ilyen elméletben a téridőnek kevesebb a dimenziója. A szokásos analógia itt egy kerti tömlő. Kellően nagy távolságból nézve a kerti tömlő egydimenziós tárgy benyomását kelti. Ugyanakkor, ha megközelíted, akkor a körnek megfelelő második dimenziót is látni fogod. Tehát a tömlő felületén mászó hangya valójában két dimenzióban mozog, nem pedig egyben. [5]

Calabi-Yau elosztók

A tömörítés segítségével az így létrejövő elméletileg többdimenziós tereket hatékonyan négydimenzióssá alakíthatjuk. A tömörítésnek azonban nem minden módja vezet olyan négydimenziós térhez, amely leírhatná világunkat. Elérhető, hogy a kompakt kiegészítő méretek Calabi-Yau elosztó alakúak legyenek . [4] A Calabi-Yau sokaság egy (általában összetett háromdimenziós) tér, amelynek fő tulajdonsága a kanonikus köteg trivialitása . Nevét Eugenio Calabiról kapta , aki megfogalmazta a sejtést a megfelelő mérőszám létezéséről és egyediségéről  - a Calabi-sejtésről  - és Shintan Yauról , aki bebizonyította. [6]

Miután a Calabi-Yau sokaság bekerült a fizikába (mint az „extra” méretek tömörítésére), a fizikusok intenzíven tanulmányozni kezdték őket. Az 1980-as évek végén Wafa és mások észrevették, hogy a kapott négydimenziós térből lehetetlen egyedi módon visszaszerezni a Calabi-Yau elosztót, amelyből a tömörítést elvégezték. [7] Ehelyett két különböző húrelmélet – az IIA típusú húrelmélet és a IIB típusú húrelmélet  – teljesen különböző Calabi-Yau sokaságokkal tömöríthető oly módon, hogy az ugyanahhoz a fizikához vezet. [8] Az ilyen két Calabi-Yau sokaságot tükörszimmetrikusnak mondják, és a két eredeti húrelmélet (pontosabban az őket leíró konformmező- elméletek ) közötti megfelelést tükörszimmetriának nevezik. [9]

A tükörszimmetria egy speciális esete annak, amit a fizikusok dualitásnak neveznek . A kettősségek olyan helyzetek, amikor két különböző fizikai elmélet nem triviális módon egyenértékűnek bizonyul. Ha lehetséges olyan transzformációt végezni, hogy az egyik elmélet egyenletei egybeesnek egy másik elmélet egyenleteivel, akkor két ilyen elméletet duálisnak nevezünk erre a transzformációra vonatkozóan. Másképpen is megfogalmazható: két duálelmélet ugyanannak a jelenségnek matematikailag eltérő leírása. [10] Ilyen kettősségek gyakran előfordulnak a modern fizikában, különösen a húrelméletben. [tizenegy]

Függetlenül attól, hogy a húrelmélet Calabi-Yau sokaságokkal történő tömörítése releváns-e a való világban, a tükörszimmetria létezésének jelentős matematikai vonatkozásai vannak. [12] A Calabi-Yau sokaságok a tiszta matematika tanulmányozásának tárgyát képezik , és a tükörszimmetria segítségével lehetővé teszik a matematikusok számára, hogy problémákat oldjanak meg az enumeratív algebrai geometriában . Egy tipikus számítási geometriai probléma az, hogy megszámoljuk a racionális görbék számát egy Calabi-Yau sokaságon (mint amilyen a fent látható). A tükörszimmetria segítségével a matematikusok kimutatták, hogy ennek a problémának van egy tükörszimmetrikus sokaság megfelelője, amely könnyebben megoldható. [13]

A fizikusok matematikai megfontolások nélkül jutottak el a tükörszimmetriához. [14] Ugyanakkor a matematikusokat általában a matematikailag szigorú bizonyítások érdeklik – olyan bizonyítások, amelyekben nincs helye a fizikai intuíciónak. Matematikai szempontból a tükörszimmetria fent leírt változata még mindig feltételezés, de létezik a tükörszimmetriának egy másik változata is – a topológiai húrelmélethez kapcsolódó változat, egy Witten által bevezetett egyszerűsített húrelmélet [15] , amely már a matematikusok szigorúan bebizonyították. [16] A topológiai húrelmélet nyelvén a tükörszimmetria az A-modell és a B-modell egyenértékűségére vonatkozó állítás ; egyenértékűek abban az értelemben, hogy kettősség köti össze őket. [17] Jelenleg a matematikusok aktívan dolgoznak a tükörszimmetria matematikai megértésének fejlesztésén, amelyet a fizikusok fedeztek fel egy olyan nyelven, amelyen kényelmesebb a fizikusok gondolkodása. [18] Különösen a matematikusok még nem teljesen értik, hogyan lehet új példákat építeni tükörszimmetrikus Calabi-Yau sokaságra, annak ellenére, hogy némi előrelépés történt ezen a területen. [19]

Történelem

A tükörszimmetria eredetét az 1980-as évek közepén kell keresni, amikor észrevették, hogy egy sugárkör mentén terjedő zárt húr fizikailag egyenértékű egy sugárkör mentén terjedő zárt húrral (bizonyos mértékegységrendszerben ). [20] Ezt a jelenséget T-dualitásnak nevezik , és szorosan összefügg a tükörszimmetriával. [21] Candelas, Horowitz, Strominger és Witten egy 1985-ös tanulmányában kimutatták, hogy a húrelmélet Calabi-Yau sokaságával történő tömörítésével a részecskefizika standard modelljéhez hasonló elméletet kaphatunk . [22] Ezt a megfontolást követően a fizikusok elkezdték tanulmányozni a Calabi-Yau sokaságok tömörüléseit abban a reményben, hogy a valós világot leíró részecskefizikát hoznak létre, ami a húrelmélet következménye lenne. Vafa és mások észrevették, hogy a 4D részecskefizikai modellből lehetetlen egyértelműen rekonstruálni a tömörödő Calabi-Yau sokaságot. Ehelyett két Calabi-Yau sokaság van, amelyek a részecskefizika ugyanazon négydimenziós elméletéhez vezetnek. [23]

A Calabi-Yau sokaságok és bizonyos konformális térelméletek ( Gepner-modellek ) közötti megfelelések tanulmányozása során Brian Greene és Ronen Plesser nem triviális példákat talált a tükör megfeleltetésre. [24] Ezt a kérdést valamivel később továbbfejlesztették, amikor Philip Candelas és két tanítványa nagyszámú Calabi-Yau elosztót tesztelt számítógépen, és megállapította, hogy mindegyik „tükör-szimmetrikus pár” egy másik számára. [25]

A matematikusok 1990 körül kezdtek érdeklődni a tükörszimmetria iránt, amikor Philippe Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green és Linda Parks fizikusok megmutatták, hogy felhasználható a számítási geometria évtizedes problémáinak megoldására . [26] [27] Ezeket az eredményeket a Berkeley -i konferencián mutatták be 1991 májusában. A konferencia során észrevették, hogy a Candelas által a racionális görbék kiszámításakor kapott számok egyike nem esik egybe Geir Ellingsrud és Stein Arild Stromme norvég matematikusok által kapott számokkal, akik nyilvánvalóan szigorúbb megfontolásokat alkalmaztak. [28] A konferencián résztvevő matematikusok többsége úgy vélte, hogy Candelas munkája hibát tartalmazott, mivel matematikailag laza ítéleteken alapult. Ellingsrud és Stromme azonban hamarosan hibát találtak számítógépes programjukban, és a kód kijavítása után olyan választ kaptak, amely egybeesett Candelas és utóbbi szerzőtársának válaszával. [29]

1990-ben Edward Witten bevezette a topológiai húrelméletet [15]  , a húrelmélet leegyszerűsített változatát, és a fizikusok kimutatták, hogy ennek is megvan a maga tükörszimmetriája. [30] [31] Maxim Kontsevich 1994-ben a Nemzetközi Matematikus Kongresszushoz intézett üzenetében a húrok topológiai elméletében a fizikai nyelvben felfedezett tükörszimmetria jelenségén alapuló matematikai sejtést terjesztett elő. Ez a sejtés homológ tükörszimmetria-sejtés néven ismert, és formalizálja a tükörszimmetria fogalmát két származtatott kategória ekvivalenciájának kijelentéseként: a koherens kévék származtatott kategóriája a Calabi-Yau sokaságon és a tükörből konstruált Fukai származtatott kategóriája. -szimmetrikus elosztó. [32]

Szintén 1995 körül Kontsevich elemezte Candelas munkáját, amely általános képletet adott a racionális görbék háromdimenziós kvintikus megszámlálására , és ezeket az eredményeket szigorú matematikai hipotézisként újrafogalmazta. [33] 1996-ban Givental publikált egy tanulmányt, amely maga Givental szerint bizonyítja ezt a Kontsevich-sejtést. [34] Eleinte sok matematikus rendkívül érthetetlennek tartotta ezt a munkát, ezért kételkedtek helyességében. Valamivel később Lian, Liu és Yau egymástól függetlenül publikálták a bizonyítékot egy sor tanulmányban. [35] Függetlenül attól a vitától, hogy ki publikálta először a bizonyítékot, ezek a dolgozatok ma már széles körben elfogadottak a fizikusok nyelvén a tükörszimmetriával nyert eredmények matematikai bizonyításaként. [36] 2000 -ben Kentaro Hori és Kumrun Wafa bemutatta a T-kettősségen alapuló tükörszimmetria fizikai bizonyítékát. [tizennégy]

Alkalmazások

Számítógépes geometria

A tükörszimmetriát aktívan használják a számítási geometriában – a matematika azon ágában, amely olyan kérdések iránt érdeklődik, mint „hány ilyen vagy ilyen geometriai struktúra létezik”; a számítási geometria fő eszköze az algebrai geometriában kifejlesztett technikák . A számítási geometria egyik első problémáját Kr.e. 200 körül vetették fel. e. ókori görög matematikus Apollonius . “ Hány kör érinti a síkban a három adatpontot? – kérdezte Apollonius. A választ maga Apollonius adta meg; ez a következő: ha három adott kör van - általános helyzetben, akkor az őket érintő kör nyolc. [37]

A matematikai numerikus problémák általában a létező algebrai változatok számával kapcsolatos problémák , amelyeket polinomiális egyenletrendszerek megoldási halmazaiként határoznak meg. Például a Clebsch-kockát (lásd az ábrát) valamilyen harmadik fokú polinom segítségével határozzuk meg négy változóban. Arthur Cayley és George Salmon figyelemreméltó eredményt ért el a maga idejében – pontosan 27 egyenes húzható egy ilyen felületen. [38]

Ezt a problémát általánosítva feltehetjük a kérdést, hogy hány vonal húzható a Calabi-Yau kvintben (lásd a fenti ábrát). Ezt a problémát Hermann Schubert oldotta meg , aki kimutatta, hogy pontosan 2875 ilyen sor létezik. 1986-ban Sheldon Katz bebizonyította, hogy az ehhez a kvintikushoz tartozó kúpok száma 609 250. [37]

1991-re a számítási geometria legtöbb klasszikus problémája megoldódott, és a számítási geometria iránti érdeklődés lanyhulni kezdett. Ahogy Mark Gross matematikus mondta: „Amikor a klasszikus problémákat megoldották, az emberek elkezdték újraszámolni a Schubert-számokat modern módszerekkel, de ez nem tűnt valami frissnek.” [39] Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green és Linda Parks fizikusok 1991 májusában életet leheltek a terepbe, amikor kimutatták, hogy a tükörszimmetria segítségével meg lehet számolni a harmadik fokos görbék számát egy kvintikuson, amely egy Calabi-Yau elosztó... Candelas és munkatársai azt találták, hogy a Calabi-Yau komplex 3-szorosai pontosan 317206375 fokos-három görbét tartalmaznak. [39]

Amellett, hogy háromdimenziós kvintikus háromfokú görbéket számoltak, Candelas és munkatársai sokkal általánosabb eredményeket értek el a racionális görbék megszámlálásával kapcsolatban – sokkal erősebbek, mint azok, amelyeket akkoriban a matematikusok ismertek. [40] Bár a Candelas által alkalmazott módszerek az elméleti fizika nem szigorú elképzelésein alapultak, a matematikusok be tudtak bizonyítani néhány tükörszimmetria-előrejelzést, amelyet a szigorúság fizikai szintjén tettek – különösen a számítási geometriában újonnan kapott eredményeket. . [36]

Az elméleti fizikában

Az enumeratív geometriában való alkalmazások mellett a tükörszimmetria a húrelmélet egyik fő számítási eszköze. A topológiai húrelmélet A-modelljében a fizikailag érdekes mennyiségeket ( korrelátorokat , amelyek bizonyos kölcsönhatási folyamatok valószínűségét határozzák meg) a végtelenül sok, rendkívül nehezen kiszámítható Gromov-Witten invariánsokkal fejezik ki. A B-modellben a számításokat le lehet redukálni klasszikus integrálokra („periódusokra”), így sokkal egyszerűbb. [41] A tükörszimmetria használatával az A-modellben az összetett számítások helyett a B-modellben egyenértékű, de technikailag egyszerűbb számításokat lehet végezni. Használhatja a húrelmélet más kettősségeit is , kombinálhatja velük a tükörszimmetriát, hogy ekvivalens számításokat végezzen az elméletben, ahol azok a legegyszerűbbek. A megfelelő elmélet kiválasztásával a fizikusok olyan mennyiségeket számolhatnak ki, amelyek kiszámítása kettősségek alkalmazása nélkül lehetetlen vagy rendkívül nehéz. [42]

A húrelméleten kívül a tükörszimmetriát használják a kvantumtérelmélet aspektusainak megértésére , a formalizmusra, amellyel a fizikusok az elemi részecskék terjedését és kölcsönhatását magyarázzák . Egyes mérőelméletek , amelyek nem részei a standard modellnek, de elméletileg nem kevésbé fontosak, szinte szinguláris felületeken terjedő húrokból származnak. Az ilyen elméletekben a tükörszimmetria fontos számítási technika. [43] Valójában a tükörszimmetria segítségével lehet számításokat végezni a Nathan Seiberg és Edward Witten által tanulmányozott négydimenziós szelvényelméletben, amely jól ismert a matematikában a Donaldson-invariánsokkal összefüggésben . [44]

Megközelítések

Homológiai tükörszimmetria

A húrelméletben megjelenik a brán fogalma  – egy olyan objektum, amely a részecske (0-dimenziós objektum) fogalmát magasabb dimenziókra általánosítja. Így egy pontrészecskét 0. dimenziójú bránnak, egy húrt 1. dimenziójú bránnak tekinthetünk. Magasabb dimenziójú bránoknak is tekinthetünk. A „brane” szó a „membrán” rövidítése, amelyet néha egy kétdimenziós felületre használnak, amely egy pontrészecske következő dimenziós általánosítása egy karakterlánc után. [45]

A húrelmélet nyitott és zárt húrokat is figyelembe vesz. A D-bránok  a bránok egy fontos osztálya, amelyek a nyitott húrok figyelembevételekor jelennek meg. A "D" betű a D-brán nevében azt a határfeltételt jelenti, amelyet egy ilyen bránnak teljesítenie kell - a Dirichlet-féle peremfeltételt . [46] Ezen peremfeltételek szerint a nyitott húr végeinek a D-bránokon kell lenniük.

Matematikailag a bránok a kategória fogalmával írhatók le . [47] A kategória definíció szerint egy olyan entitás, amely objektumokból és minden objektumpár esetében a köztük lévő morfizmusokból áll . Az objektumok matematikai struktúrák (például halmazok , vektorterek vagy topológiai terek ), a morfizmusok pedig e struktúrák közötti leképezések . [48] ​​Tekinthetünk egy olyan kategóriát is, amelynek tárgyai D-bránok, morfizmusai pedig két különböző D-brán közé feszített nyitott húrok állapotai . [49]

A topológiai húrelmélet B-modelljében a D-bránok  a Calabi-Yau sokaság összetett alsokaságai, azzal a további feltétellel, hogy a húr végei rögzítve vannak rajtuk. [27] [49] A kategória , amelynek tárgyai ilyen bránok, a Calabi-Yau elosztón lévő koherens tárcsák származtatott kategóriájaként ismert. [50] Az A-modellben a D-bránok a Calabi-Yau sokaság részösszetevőinek is tekinthetők. Nagyjából ezeket nevezik a matematikusok speciális speciális Lagrange-alsokaságnak . [50] Ez többek között azt jelenti, hogy méretük fele annak a térnek, amelybe be vannak ágyazva, és minimális térfogatú alváltozatok. [51] Azt a kategóriát, amelynek tárgyai ezek a bránok, Fukai kategóriának nevezik . [ötven]

A koherens tárcsák származtatott kategóriáját a komplex geometria eszközeivel alkotjuk meg . [52] Ami az A-oldalt illeti, Fukai kategóriája kifejezetten a szimplektikus geometriát használja , a matematikának egy olyan ágát, amely a klasszikus mechanikából nőtt ki . A szimplektikus geometria azokat a tereket vizsgálja, amelyeken szimlektikus forma van megadva, egy entitás, amellyel kétdimenziós helyzetekben területet  lehet számítani . [17]

A homológ tükörszimmetria hipotézise , ​​amelyet ebben a formában hirdetett Maxim Kontsevich , kimondja, hogy a koherens tárcsák származtatott kategóriája valamely Calabi-Yau csővezetéken ekvivalens a Fukai származtatott kategóriájával egy olyan elosztón, amely tükörszimmetrikus a választott Calabi-Yau-val. elosztó. [53] Úgy tűnik, hogy ez az ekvivalencia a tükörszimmetria pontos matematikai megfogalmazása a topológiai húrelméletben. Nem várt módon kapcsolja össze az összetett és szimplatikus geometriákat. [54]

SYZ hipotézis

A tükörszimmetria megértésének egy másik megközelítését Strominger , Yau és Zaslow javasolta 1996-ban. [21] Javaslatuk szerint, amelyet ma SYZ-hipotézisként ismernek, a tükörszimmetria megérthető az eredeti Calabi-Yau sokaság egyszerűbb darabokra bontásával, majd az eredeti Calabi-Yau elosztóhoz tükörszimmetrikusan összerakva belőlük. [55] Próbáljuk meg elmagyarázni, mit is jelent ez alatt.

A Calabi-Yau sokaság legegyszerűbb példája egy kétdimenziós tórusz (fánk felület). [56] Tekintsünk egy nem összehúzódó kört a tórusz felületén, amely a fánk belsejét tartalmazza (piros kör az ábrán). A tóruszon végtelenül sok ilyen kör van; valójában az egész tórusz olyan körök egyesüléseként is felfogható . [57] Válasszunk egy tetszőleges rózsaszín kört az ábrán. Ennek a rózsaszín körnek a pontjait pirosra fogjuk paraméterezni , abban az értelemben, hogy a rózsaszín kör egy pontja és a megfelelő piros kör között bijekció van. [51]

A tórusz tetszőleges térrel paraméterezett darabokra való felosztása általánosítható. Gondoljon az összetett kétdimenziós Calabi-Yau elosztókra - K3 felületekre . Ahogy a tórusz körökre bontották, a négydimenziós K3 felület kétdimenziós tóruszra és kétdimenziós gömbre bontható . A gömb minden pontja, a huszonnégy kivételével, egy kétdimenziós tórusznak felel meg; ez a huszonnégy pont speciális torinak felel meg. [51]

A húrelméletben a Calabi-Yau komplex 3. dimenziójú (illetve a 6. valós dimenziójú) sokaságok az elsődlegesek. 3-toriként ábrázolhatók (a tórusz háromdimenziós általánosításával, ), paraméterezve egy háromdimenziós gömbbel (egy gömb háromdimenziós általánosításával). Minden pont egy 3-tórusznak felel meg, kivéve a végtelen számú "rossz" pontot, amelyek egy "rácsot" alkotnak a Calabi-Yaun, és amelyek speciális toriknak felelnek meg. [58]

Az ilyen bővítések segítségével a tükörszimmetria intuitív módon ábrázolható. Vegyünk egy példát egy kétdimenziós tórusszal. Képzeljük el, hogy ez a tórusz valamilyen fizikai elmélet tér-idejét írja le. Egy ilyen elmélet alapvető célja a téridőben terjedő húrok lennének a kvantummechanika törvényei szerint . A húrelmélet egyik alapvető kettőssége a T-dualitás , amely szerint egy sugarú henger mentén terjedő zárt húr egyenértékű egy sugarú henger mentén terjedő zárt húrral abban az értelemben, hogy egy az egyhez megfelelés lehetséges. az egyes leírásokban az összes megfigyelhető között megállapított. [59] Például egy terjedő húrnak impulzusa van , és a húr többször is megtekerheti a hengert (lásd : tekercsek száma ). Az impulzus és a tekercsek száma, amikor egy kezdeti sugarú henger mentén terjed, ha egy fordított sugarú henger mentén halad, a húr lendülete és tekercseinek száma . [59] Ha egyszerre alkalmazzuk a T-dualitást az összes körre, amelyekre a tóruszt felosztottuk, akkor ezeknek a köröknek a sugarait megfordítjuk, és egy új tóruszt kapunk, amely „vastagabb” vagy „vékonyabb” az eredetinél. Ez a tórusz tükörszimmetrikus lesz az eredetivel. [60]

A T-dualitás kiterjeszthető egy n-dimenziós tórusz esetére, amely egy összetett n-dimenziós Calabi-Yau sokaság felbontásakor jelenik meg. Általában a SYZ sejtés a következőket állítja: a tükörszimmetria egyenértékű a T-dualitás egyidejű alkalmazásával ezekre a torikra. A tér minden esetben  egyfajta lenyomat, amely megmutatja, hogyan lehet „összeszerelni” egy Calabi-Yau elosztót ezekből a toriokból. [61]

Lásd még

• Homológiai tükör szimmetria
• Kettősségek a húrelméletben

Jegyzetek

1. ↑ A húrelmélet hozzáférhető bevezetését lásd például Greene, 2000.
2. ↑ Wald 1984, p. négy
3. ↑ Zwiebach 2009, p. nyolc
4. ↑ 1 2 Yau és Nadis 2010, Ch. 6
5. ↑ Ezt a hasonlatot adja például Green, 2000, 186.
6. ↑ Yau és Nadis 2010, p. ix
7. ↑ Dixon 1988; Lerche, Vafa és Warner 1989
8. ↑ Egy adott Calabi-Yau sokaság geometriáját a Hodge-rombusz  - Hodge-számok rombusz formájában írják le. A tükörszimmetrikus elosztók hodge-rombuszai 90 fokkal elforgatva átmennek egymásba. További információkért lásd: Yau és Nadis 2010, p. 160-3.
9. ↑ Aspinwall et al. 2009, p. 13
10. ↑ Hori et al. 2003, p. xvi
11. ↑ A karakterláncelméletben felbukkanó más kettősségek példái az S-dualitás , a T-dualitás , az AdS/CFT megfelelés .
12. ↑ Zaslow 2008, p. 523
13. ↑ Yau és Nadis 2010, p. 168
14. ↑ 12 Hori és Vafa 2000
15. ↑ Witten 1990. 12
16. ↑ Givental 1996, 1998; Lian, Liu, Yau 1997, 1999, 2000
17. ↑ 1 2 Zaslow 2008, p. 531
18. ↑ Hori et al. 2003, p. xix
19. ↑ Zaslow 2008, p. 537
20. ↑ Ezt először Kikkawa és Yamasaki 1984-ben, valamint Sakai és Senda 1986-ban figyelték meg.
21. ↑ 1 2 Strominger, Yau és Zaslow 1996
22. ↑ Candelas et al. 1985
23. ↑ Ezt figyelték meg Dixon 1988-ban és Lerche, Vafa és Warner 1989-ben.
24. ↑ Green és Plesser 1990; Yau és Nadis 2010, p. 158
25. ↑ Candelas, Lynker és Schimmrigk 1990; Yau és Nadis 2010, p. 163
26. ↑ Candelas et al. 1991
27. ↑ 1 2 Yau és Nadis 2010, p. 165
28. ↑ Yau és Nadis 2010, pp. 169-170
29. ↑ Yau és Nadis 2010, p. 170
30. ↑ Vafa 1992; Witten 1992
31. ↑ Hori et al. 2003, p. xviii
32. ↑ Kontsevich 1995a
33. ↑ Kontsevich 1995b
34. ↑ Givental 1996, 1998
35. ↑ Lian, Liu, Yau 1997, 1999a, 1999b, 2000
36. ↑ 1 2 Yau és Nadis 2010, p. 172
37. ↑ 1 2 Yau és Nadis 2010, p. 166
38. ↑ Yau és Nadis 2010, p. 167
39. ↑ 1 2 Yau és Nadis 2010, p. 169
40. ↑ Yau és Nadis 2010, p. 171
41. ↑ Zaslow 2008, pp. 533-4
42. ↑ Zaslow 2008, szek. tíz
43. ↑ Hori et al. 2003, p. 677
44. ↑ Hori et al. 2003, p. 679
45. ↑ Moore 2005, p. 214
46. ↑ Moore 2005, p. 215
47. ↑ Aspinwall et al. 2009
48. ↑ Klasszikus irodalom a kategóriaelmélet területén - MacLane 1998-as könyve.
49. ↑ 1 2 Zaslow 2008, p. 536
50. ↑ 1 2 3 Aspinwal et al. 2009, p. 575
51. ↑ 1 2 3 Yau és Nadis 2010, p. 175
52. ↑ Yau és Nadis 2010, pp. 180-1
53. ↑ Aspinwall et al. 2009, p. 616
54. ↑ Yau és Nadis 2010, p. 181
55. ↑ Yau és Nadis 2010, p. 174
56. ↑ Zaslow 2008, p. 533
57. ↑ Yau és Nadis 2010, p. 175-6
58. ↑ Yau és Nadis 2010, pp. 175-7.
59. ↑ 1 2 Zaslow 2008, p. 532
60. ↑ Yau és Nadis 2010, p. 178
61. ↑ Yau és Nadis 2010, p. 178-9

Irodalom

• Aspinwall, Paul; Bridgeland, Tom; Craw, Alastair; Douglas, Michael; Gross, Mark; Kapustin, Anton; Moore, Gregory; Segal, Graeme; Szendroi, Balázs; Wilson, PMH, szerk. Dirichlet Branes és tükör szimmetria. - American Mathematical Society, 2009. - ISBN 978-0-8218-3848-8 .
• Candelas, Philip; de la Ossa, Xenia; Green, Paul; Parks, Linda. A Calabi–Yau sokaságpár, mint pontosan oldható szuperkonformális térelmélet // Kommunikáció a matematikai fizikában. - 2007. - Vol. 276, 3. sz . - P. 671-689. - .
• Candelas, Philip; Horowitz, Gary; Strominger, Andrew; Witten, Edward. Vákuumkonfigurációk szuperhúrokhoz // Nuclear Physics B. - 1985. - Vol. 258.—P. 46–74. - doi : 10.1016/0550-3213(85)90602-9 . - .
• Candelas, Philip; Lynker, Monika; Schimmrigk, Rolf. Calabi–Yau sokaság súlyozottan  // Nuclear Physics B. - 1990. - Vol. 341, 1. sz . - P. 383-402. — .
• Dixon, Lance. A szupersztring tömörítések néhány világlap-tulajdonsága orbifoldokon és más módon // ICTP Ser. Elmélet. Phys.. - 1988. - Vol. 4. - P. 67-126.
• Givental, Alexander. Ekvivariáns Gromov-Witten invariánsok // International Mathematics Research Notices. - 1996. - 1. évf. 1996, 13. sz . - P. 613-663. - doi : 10.1155/S1073792896000414 .
• Givental, Alexander. Tükörtétel tórikus teljes metszéspontokhoz // Topológiai térelmélet, primitív formák és kapcsolódó témák. - 1998. - P. 141-175. - doi : 10.1007/978-1-4612-0705-4_5 .
• Greene, Brian. Az elegáns univerzum: szuperhúrok, rejtett dimenziók és a végső elmélet keresése. - Random House, 2000. - ISBN 978-0-9650888-0-0 .
• Greene, Brian; Plesser, Ronen. Kettősség a Calabi–Yau moduli térben // Nuclear Physics B. - 1990. - Vol. 338, 1. sz . — P. 15–37. - doi : 10.1016/0550-3213(90)90622-K . - .
• Hori, Kentaro; Katz, Sheldon; Klemm, Albrecht; Pandharipande, Rahul; Thomas, Richard; Vafa, Cumrun; Vakil, Ravi; Zaslow, Eric, szerk. Tükör szimmetria . - American Mathematical Society, 2003. - ISBN 0-8218-2955-6 . Archiválva : 2006. szeptember 19. a Wayback Machine -nél
• Hori, Kentaro; Vafa, Cumrun. Tükör szimmetria. - 2000. - arXiv : hep-th/0002222 .
• Kikkawa, Keiji; Yamasaki, Masami. Casimir-effektusok a szuperhúr-elméletekben // Physics Letters B. - 1984. - Vol. 149, 4. sz . - P. 357-360. - doi : 10.1016/0370-2693(84)90423-4 . — .
• Koncevics, Maxim. Racionális görbék felsorolása tórusz akciókon keresztül  // The Moduli Space of Curves. — 1995a. - P. 335-368.
• Koncevics, Maxim. A tükörszimmetria homológ algebra // Proceedings of the International Congress of Mathematicians. - P. 120-139. - . - arXiv : alg-geom/9411018 .
• Lerche, Wolfgang; Vafa, Cumrun; Warner, Nicholas. Királis gyűrűk a szuperkonformális elméletekben // Nuclear Physics B. - 1989. - Vol. 324, 2. sz . - P. 427-474. - doi : 10.1016/0550-3213(89)90474-4 . - .
• Lian, Bong; Liu, Kefeng; Yau, Shing Tung. Tükörelv, I // Asian Journal of Math. - 1997. - 1. évf. 1. - P. 729-763. - . - arXiv : alg-geom/9712011 .
• Lian, Bong; Liu, Kefeng; Yau, Shing Tung. Tükörelv, II // Asian Journal of Math. – 1999a. — Vol. 3. - P. 109-146. - . - arXiv : math/9905006 .
• Lian, Bong; Liu, Kefeng; Yau, Shing Tung. Tükörelv, III // Asian Journal of Math. — 1999b. — Vol. 3. - P. 771-800. - . - arXiv : math/9912038 .
• Lian, Bong; Liu, Kefeng; Yau, Shing Tung. Tükörelv, III // Felmérések a differenciálgeometriában. - 2000. - Vol. 3. - P. 475-496. - . - arXiv : math/9912038 .
• McLane S. Kategóriák a dolgozó matematikusnak / Per. angolról. szerk. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .

• Moore, Gregory. Mi az... a Brane?  // Az AMS közleményei. - 2005. - 20. évf. 52. - 214. o.
• Sakai, Norisuke; Senda, Ikuo. A tóruszon tömörített húr vákuumenergiái // Progress of Theoretical Physics. - 1986. - 1. évf. 75, 3. sz . — P. 692–705. - doi : 10.1143/PTP.75.692 . - .
• Strominger, Andrew; Yau, Shing-Tung; Zaslow, Eric. A tükörszimmetria a T-kettősség // Nuclear Physics B. - 1996. - Vol. 479, 1. sz . - P. 243-259. - doi : 10.1016/0550-3213(96)00434-8 . — . - arXiv : hep-th/9606040 .
• Vafa, Cumrun. Topológiai tükrök és kvantumgyűrűk // Esszék a tükör sokaságáról. - 1992. - P. 96-119. - . - arXiv : hep-th/9111017 .
• Witten, Edward. A kétdimenziós gravitáció topológiai fázisának szerkezetéről // Nuclear Physics B. - 1990. - Vol. 340, 2-3 . - P. 281-332. - doi : 10.1016/0550-3213(90)90449-N . — .
• Witten, Edward. Tükörsokaságok és topológiai térelmélet // Esszék a tükör sokaságokról. - 1992. - P. 121-160.
• Yau, Shing-Tung; Nadis, Steve. A belső tér alakja: húrelmélet és az Univerzum rejtett dimenzióinak geometriája. - Alapvető könyvek, 2010. - ISBN 978-0-465-02023-2 .
• Zaslow, Eric. Tükör szimmetria. – Gowersben, Timothy. A Princeton Companion to Mathematics.. - 2008. - ISBN 978-0-691-11880-2 .
• Zwiebach, Barton. Első húrelmélet tanfolyam. - Cambridge University Press, 2009. - ISBN 978-0-521-88032-9 .

További olvasnivaló

Népszerű

• Yau, Shing-Tung; Nadis, Steve. A belső tér alakja: húrelmélet és az Univerzum rejtett dimenzióinak geometriája. - Alapvető könyvek, 2010. - ISBN 978-0-465-02023-2 .
• Zaslow, Eric. Fizmatika. - 2005. - arXiv : fizika / 0506153 .
• Zaslow, Eric. Tükör szimmetria. – Gowersben, Timothy. A Princeton Companion to Mathematics.. - 2008. - ISBN 978-0-691-11880-2 .

Oktatási irodalom

• Aspinwall, Paul; Bridgeland, Tom; Craw, Alastair; Douglas, Michael; Gross, Mark; Kapustin, Anton; Moore, Gregory; Segal, Graeme; Szendroi, Balázs; Wilson, PMH, szerk. Dirichlet Branes és tükör szimmetria. - American Mathematical Society, 2009. - ISBN 978-0-8218-3848-8 .
• Cox, David; Katz, Sheldon. Tükörszimmetria és algebrai geometria. - American Mathematical Society, 1999. - ISBN 978-0-8218-2127-5 .
• Hori, Kentaro; Katz, Sheldon; Klemm, Albrecht; Pandharipande, Rahul; Thomas, Richard; Vafa, Cumrun; Vakil, Ravi; Zaslow, Eric, szerk. Tükör szimmetria . - American Mathematical Society, 2003. - ISBN 0-8218-2955-6 . Archiválva : 2006. szeptember 19. a Wayback Machine -nél

Szótárak és enciklopédiák	Britannica (online)