Négyzet-kocka törvény

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2018. január 30-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 23 szerkesztést igényelnek .

A négyzet - kocka törvény a következő elvből áll:

ha az objektum arányosan (vagyis hasonlósági transzformációt alkalmazva ) növekszik (csökken) a mérete, akkor új térfogata arányos lesz a léptéktényező kockájával, új felülete pedig a négyzettel:

v_{2}=v_{1}\left({\frac {\ell _{2}}{\ell _{1}}}\right)^{3},\qquad A_{2}= A_{1}\left({\frac {\ell _{2}}{\ell _{1}}}\right)^{2},

ahol: az eredeti objektum térfogata, az új térfogat, az eredeti objektum felülete, az új felület, az eredeti objektum lineáris mérete és az új lineáris mérete. $v_{1}$ $v_{2}$ $A_{1}$ $A_{2}$ $\ell _{1}$ $\ell _{2}$

Például egy 1 méter oldalhosszúságú kocka felülete 6 m² és térfogata 1 m³. Ha az oldalhosszat megduplázzuk , akkor felülete négyszeresére , 24 m²- re, térfogata pedig nyolcszorosára 8 m³ - re nő . Ez az elv minden testre vonatkozik.

Ez a törvény a technológiában és a biomechanikában alkalmazható, és a méretek matematikai újraszámításán alapul. Galileo Galilei mutatta be először 1638-ban a Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze (" Két új tudomány beszélgetései és matematikai bizonyítékai ") című művében.

Technika

Ha egy fizikai tárgy méretét megnöveljük, miközben megtartjuk annak az anyagnak a sűrűségét, amelyből készült, akkor tömege a harmadik hatvány növekedési tényezőjével arányosan nő, míg a felülete a tárgy négyzetével arányosan nő. a léptéktényező. Ez különösen azt jelenti, hogy ha egy kinagyított tárgy felületének egy szegmense ugyanolyan gyorsulást kap, mint az eredeti, akkor nagyobb nyomás fog hatni a kinagyított tárgy felületére .

Tekintsünk egy egyszerű példát - egy tömegű testnek van egy gyorsulása és egy felülete , amelyre hatással van egy erő ezzel a gyorsulással. A gyorsulás által kiváltott erő , a felületre ható nyomás pedig Tekintsünk egy tárgyat, amelynek méreteit megszorozzuk egy tényezővel úgy, hogy új tömege , és a felület, amelyre az erő hat, új területtel rendelkezik, . Ekkor a gyorsulás okozta új erő egyenlő és a felületre ható nyomás: $m$ $a$ $S$ $F=ma$ $T={\tfrac {F}{S}}={\tfrac {ma}{S}}.$ $x$ $m'=x^{3}\cdot m$ $S'=x^{2}\cdot S$ $F'=x^{3}\cdot ma,$

{\begin{aligned}T'&={\frac {F'}{S'}}={\frac {x^{3}\cdot ma}{x^{2}\cdot S}} =\\&=x{\frac {ma}{S}}=x\cdot T.\\\end{igazított}}

Így egy tárgy méretének növekedésével, miközben megőrzi ugyanazt az anyagot, amelyből a tárgy alkotja (és így a sűrűségét ) és a gyorsulást, az általa a felületen kifejtett nyomás ugyanazzal a tényezővel nő. Ez azt mutatja, hogy ha egy tárgyat megnagyobbítanak, akkor csökken a stressz -ellenállási képessége, és könnyebb lesz elpusztítani a gyorsulás során.

Ez megmagyarázza, hogy a nagyméretű járművek miért nem teljesítenek jól a törésteszteken, és miért vannak magassági korlátok a sokemeletes épületekre. Hasonlóképpen, minél nagyobb egy objektum, annál kevésbé fognak más tárgyak ellenállni a mozgásnak, ami lelassul.

Biomechanika

Ha egy állat méretét jelentősen megnöveljük, akkor az izomereje jelentősen csökken, mivel izomkeresztmetszete a méretezési tényező négyzetével arányosan , míg a tömege ennek a kockájával arányosan nő. tényező. Ennek eredményeként a szív- és érrendszeri funkciók erősen korlátozottak. Emiatt például a rovarok sokkal többet tudnak emelni, mint a saját súlyuk. Ha megnövekszik a repülő élőlények mérete, akkor a szárnyterhelésüknek növekednie kell, és ezért, hogy ugyanazt a felhajtóerőt fenntartsák , nagyobb gyakorisággal kell csapkodniuk . Ez nem lesz könnyű, mivel az izmok ereje csökken. Ez azt is megmagyarázza, hogy a darázs testmérete miért lehet nagyobb a szárnyfesztávolságához képest, míg egy poszméhnél jóval nagyobb repülő állat esetében ez lehetetlen lenne. Ezenkívül a kis méretű élőlények tömegegységenkénti légellenállása nagy, ezért nem halnak meg, ha bármilyen magasságból esnek.

Ezenkívül a rovarok légzőrendszerének munkája a testfelület méretétől függ. A testtérfogat növekedésével a felülete nem lesz képes légzést biztosítani.

Ezen okokból kifolyólag a horrorfilmekben bemutatott óriási rovarok, pókok és más állatok valószerűtlenek, mivel ekkora méretük miatt megfulladnának és összeesnének. Ez alól kivételt képeznek az óriás vízi állatok ( mélytengeri gigantizmus ), mivel a víz elég nagy lényeket is képes eltartani [1] .

J. B. S. Haldane a következő véleményt nyilvánította az óriásokról [1] :

Tegyük fel, hogy van egy 60 láb magas emberóriás, mint a pápa és a pogány óriások gyerekkorom meséiből. Az ilyen óriások nemcsak 10-szer magasabbak az átlagembernél, hanem 10-szer szélesebbek és 10-szer sűrűbbek is, azaz összsúlyuk 1000-szerese az átlagember súlyának, tehát 80-90 tonna. Az ilyen óriások csontjainak keresztmetszete 100-szor nagyobb, mint egy átlagos ember csontjainak metszete; ezért egy óriás csontjának minden négyzetcentiméterének 10-szer nagyobb terhelést kell viselnie, mint egy átlagos ember csontjának négyzethüvelykének. Figyelembe véve, hogy az emberi sípcsont a súlyának 10-szeresét meghaladó terhelés hatására eltörik , az óriások sípcsontjának minden lépésüknél el kellene törnie. Nem ezért vannak a képeken, amelyekre még emlékszem, ülve?

Hőfolyamatok

A termikus folyamatokra is érvényes a négyzetkocka törvény: a méret négyzetével arányosan növekszik a hőcserélő felület , a kockával arányosan nő a hőt tartalmazó vagy hőt termelő térfogat. Következésképpen az objektum egységnyi térfogatára jutó hővesztesége csökken a méretének növekedésével, és fordítva, a méret csökkenésével nő. Ezért például a raktár egységnyi térfogatának fűtéséhez vagy hűtéséhez szükséges energia a raktár méretének növekedésével csökken.

Technológiában

A törvény széles körben alkalmazható a technológiában. Például ez az oka annak, hogy kétszeres hasznos teherbírású repülőgépek létrehozásához értelmetlen lenne egyszerűen arányosan megduplázni az alkatrészeinek méretét - a közvetlen méretezés tilalmát a négyzetkocka törvény írja elő.

Elektromos autók

Ha feltételezzük, hogy egy elektromos gép skálázásakor az áramsűrűség , a mágneses indukció és a forgási sebesség megmarad , akkor minden dimenzió egy - szeres növekedésével az áramerősség kétszeresére nő (a keresztmetszettel arányosan). a karmesterek). A mágneses fluxus is 2 -szeresére nő ( a mágneses áramkör keresztmetszeti területének arányában ), aminek következtében a tekercsekben indukált EMF is 2 - szeresére nő.

Vagyis mind az áramerősség, mind a feszültség (EMF) a 2 -szeresére nő, aminek következtében az elektromos teljesítmény (amely megegyezik az áramerősség és a feszültség szorzatával) a 4 - szeresére nő. Ebben az esetben a hőveszteség csak háromszorosára nő ( a vezetékek térfogatával arányosan állandó áramsűrűség mellett).

Így egy elektromos gép méretének növekedésével arányosan nő a fajlagos teljesítménye (tömegegységre vetítve) és a fajlagos hőveszteség (tömegegységre vetítve) nem változik, ami azt jelenti, hogy a hatásfok nő . Ezzel párhuzamosan a hőelvonás is bonyolultabbá válik, mivel a fajlagos hőáram minden felületen arányosan növekszik.

Mindez igaz a transzformátorokra (állandó áramfrekvencián ).

Belső égésű motorok

Ha egyszerűen megnöveljük a belső égésű motor összes méretét egy faktorral állandó fordulatszám mellett, akkor a mozgó alkatrészek tömege 3 -szorosára nő , és a gyorsulás , amellyel mozognak , egy faktorral nő. Ezért az összes tehetetlenségi erő [ pontosítás ] 4 -szeresére nő, és mivel a súrlódó felületek területe csak 2 - szeresére nő , a rájuk ható fajlagos terhelés 2 - szeresére nő, ami gyors kopásukhoz vezet. Ezen túlmenően a gázok szelepeken keresztüli mozgásának sebessége a szeresére nő, ami jelentősen megnöveli a gázdinamikus ellenállást és rontja a hengerek töltését.

Ezért a belső égésű motor arányos növelésével arányosan csökkenteni kell a fordulatszámot (az átlagos dugattyúfordulatszám változatlan tartása). Ekkor a súrlódó felületek fajlagos terhelése és a szelepeken áthaladó gázok sebessége változatlan marad. A fajlagos teljesítmény (tömegegységenként) és a literteljesítmény azonban arányosan csökken. A motornak ez a „súlyozása” megoldható a hengerszám növelésével, de ez bonyolítja a tervezést.

Hajóépítés

Körülbelül azt feltételezhetjük, hogy a hajó mozgásával szembeni ellenállás (állandó sebesség mellett) arányos a hajótest keresztmetszeti területével a hajó közepén . Így az edény minden méretének egy -szeres növekedésével a tömege a 3 -szorosára, a mozgással szembeni ellenállása pedig csak a 2 - szeresére nő. Következésképpen az egységnyi tömegre jutó üzemanyag-fogyasztást tekintve a nagyobb hajók gazdaságosabbak. Ezen túlmenően, ha az üzemanyag-tartalékok aránya a hajó össztömegében nem változik, akkor a tankolás nélküli utazótáv is megnövekszik .

Ugyanezen okból a léghajók üzemanyag-hatékonysága és repülési hatótávja méretükkel arányosan növekszik (ellentétben a repülőgépekkel , amelyeknél ezeket a paramétereket elsősorban az aerodinamikai minőségük határozza meg ).

Egy vitorlás hajónál fontos a vitorlák által keltett borulási nyomatékkal szembeni ellenállás . A hajó összes méretének egy - szeres növekedésével a vitorlák területe kétszeresére , az általuk létrehozott felborulási nyomaték pedig háromszorosára nő (mivel az erő karja szintén egy- szeresére nő). Ugyanakkor a dobást kiegyenlítő és a hajótest miatt fellépő nyomaték 4 - szeresére nő (a hajótest és a kiszorított víz tömege háromszorosára nő , míg az erő karja a szeresére nő) . Ezért egyszerű geometriai méretezésnél a nagy vitorlás hajók jobban ellenállnak a vitorlanyomaték által létrehozott dőlésszögnek. Emiatt a nagy vitorlásoknak nincs szükségük a kis vitorlás jachtokra jellemző fejlett ballaszt gerincekre . Másrészt, egy nagyobb hajón, ha a kialakítás változatlan marad, akkor aránytalanul nagyobb területű vitorlákat lehet rakni, és ennek megfelelően sebességnövekedést kapni.

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 J. B. S. Haldane a méret célszerűségéről Archiválva : 2021. május 22. a Wayback Machine -nél

Linkek

Wayne Throop. Szauropodák, elefántok, súlyemelők: Vegyes problémák .
"World Builders: Az állatok méretének határai – a méret és a térfogat aránya" . (Angol)
Michael C. LaBarbera. "A B-film szörnyek biológiája "