Mechanikai feszültség

Mechanikai feszültség
$Q={\frac FS}$
Dimenzió	L −1 MT− 2
Egységek
SI	Pa
GHS	g cm −1 s −2

A kontinuummechanikában a mechanikai feszültség olyan fizikai mennyiség , amely a folytonos közegben lévő szomszédos részecskék egymásra gyakorolt belső erőit fejezi ki , az alakváltozás pedig a közeg geometriai méreteinek változásának mértéke. Például, ha egy tömör függőleges rúd megtámaszt egy terhelést , a rúdban lévő minden egyes részecske nekiütközik a közvetlenül alatta lévő részecskéknek. Amikor egy folyadék egy zárt, túlnyomásos tartályban van , minden részecske ütközik a környező részecskékkel. A tartály falai és a nyomást létrehozó felület (pl. dugattyú) a reakcióerőnek megfelelően rányomódnak (Newton harmadik törvénye szerint). Ezek a makroszkopikus erők valójában nagyon sok intermolekuláris erő és a részecskék közötti ütközések nettó eredménye ezekben a környezetekben. A mechanikai igénybevételt vagy a továbbiakban feszültséget gyakran a kis görög szigma σ betűvel jelöljük .

A deformáció, azaz az anyag belső részeinek kölcsönös elmozdulása különböző mechanizmusok, például feszültség hatására fordulhat elő, amikor külső erők hatnak egy ömlesztett anyagra (például gravitáció ) vagy annak felületére (például érintkezési erők, külső nyomás , vagy súrlódás ). A szilárd anyag bármilyen deformációja belső rugalmas feszültséget hoz létre, amely hasonló a rugó reakcióerejéhez , amely hajlamos az anyagot visszaállítani az eredeti, deformálatlan állapotába, amelyet a külső erők alkalmazása előtt figyeltek meg. Folyadékokban és gázokban csak a térfogatot megváltoztató alakváltozások hoznak létre állandó rugalmas feszültséget. Ha azonban a törzs fokozatosan változik az idő múlásával, még a folyadékokban is általában van valami viszkózus feszültség , amely megakadályozza ezt a változást. A rugalmas és viszkózus feszültségeket általában mechanikai igénybevétel néven kombinálják .

Jelentős feszültség akkor is fennállhat, ha csekély vagy nincs deformáció (egy általános feltételezés a vízáramlási szimulációkban). Feszültség létezhet külső erők hiányában; ilyen beépített feszültség lép fel például feszített betonban és edzett üvegben . Stressz figyelhető meg egy anyagban általános erők alkalmazása nélkül , például a hőmérséklet vagy a kémiai összetétel változása vagy a külső elektromágneses mezők (például piezoelektromos és magnetostrikciós anyagok) hatására.

A mechanikai igénybevétel, alakváltozás és alakváltozási sebesség közötti kapcsolat meglehetősen összetett lehet, bár a gyakorlatban gyakran megfelelő a lineáris közelítés , ha azok nagysága elég kicsi. Az anyag bizonyos szilárdsági határait meghaladó igénybevétel visszafordíthatatlan deformációhoz (például képlékeny áramláshoz , pusztuláshoz, kavitációhoz ) vagy akár a kristályszerkezet és a kémiai összetétel megváltozásához vezet .

A mérnöki tudomány egyes ágaiban a stressz kifejezést néha szélesebb körben használják a "belső erő" szinonimájaként. Például a rácsostartók elemzésekor ez a gerendára ható teljes feszítő- vagy nyomóerőre utalhat, nem pedig a keresztmetszeti területtel elosztott erőre .

Történelem

Ősidők óta az emberek tudatában voltak az anyagokon belüli feszültségek jelenlétének. A 17. századig a hangsúlyok megértése többnyire intuitív vagy empirikus volt; és mégis olyan összetett technológiákat eredményezett, mint a kompozit íj és az üvegfúvás technológia. [egy]

Több évezred során az építészek és az építők különösen megtanulták kombinálni a gondosan megformált fagerendákat és kőtömböket, hogy a leghatékonyabb módon támogassák, továbbítsák és elosszák a terhelést, olyan ötletes eszközökkel, mint a tőkék , boltívek , kupolák , rácsos tartó és repülés . a gótikus katedrálisok támpillérei .

Az ókori és középkori építészek kidolgoztak néhány geometriai módszert és egyszerű képletet az oszlopok és gerendák szükséges méreteinek kiszámítására, de az egyszerű testek feszültségi állapotának tudományos megértése csak azután vált lehetségessé, hogy a 17. és 18. században feltalálták a szükséges tudományos elveket: Galileo . Galilei szigorú kísérleti módszerről szóló koncepciója , René Descartes koordinátái és analitikai geometriája , valamint Newton mozgás- és egyensúlyi törvényei és az infinitezimális számítás alapja . Ezekkel az eszközökkel Augustin Louis Cauchy meg tudta alkotni a rugalmas feszültség első szigorú és általános matematikai modelljét homogén közegben. Cauchy észrevette, hogy a képzeletbeli felületre ható erő annak normálvektorának lineáris függvénye.

A folyadékok feszültségének megértése Newtonnal kezdődött, aki egy differenciálképletet származtatott a súrlódási erőkre (nyírófeszültségre) párhuzamos lamináris áramlásban .

Áttekintés

Definíció

A feszültséget úgy határozzuk meg, mint az az erő, amely egy "kis" határon keresztül hat a határ területén, a határ minden irányában. Egy alapvető fizikai mennyiség (erő) és egy tisztán geometriai mennyiség (terület) származékaként a feszültség is olyan alapvető mennyiség, mint például a sebesség, a nyomaték vagy az energia , amely számszerűsíthető és elemezhető anélkül, hogy kifejezetten figyelembe vennénk akár az anyag természetét, akár a természetét. fizikai okai..

A kontinuummechanika alapelveit követve a stressz makroszkopikus fogalom. Ugyanis a testet alkotó részecskéknek a meghatározása és elemzése során figyelembe kell venni, hogy elég kicsiknek kell lenniük ahhoz, hogy összetételükben és állapotukban homogénnek lehessenek tekinteni, de még mindig elég nagyok ahhoz, hogy figyelmen kívül hagyják a kvantumhatásokat és a közeg molekuláinak részletes mozgását. . Így a két részecske közötti erő valójában a molekuláik közötti nagyon sok atomi erő átlaga; és feltételezzük, hogy a fizikai mennyiségek, mint a tömeg, a sebesség és a háromdimenziós testek térfogatán keresztül ható erők, például a gravitáció, egyenletesen oszlanak el rajtuk. :90–106. o . A szövegkörnyezettől függően azt is feltételezhetjük, hogy a részecskék elég nagyok ahhoz, hogy lehetővé tegyék más mikroszkopikus szerkezeti jellemzők átlagolását, például egy fémrúd szemcséit vagy egy fadarab rostjait .

Kvantitatív értelemben a feszültséget a Cauchy feszültségvektor T fejezi ki , amelyet az anyag szomszédos részei közötti F erőként határozunk meg egy képzeletbeli S elválasztó felületen keresztül , osztva az S területtel , mivel ez a felület nullára hajlik , ez az ismert nyomást jelenti . Szilárd vagy viszkózus folyadékáramban az F erő nem lehet merőleges az S felületre ; ezért a felületi feszültséget vektormennyiségnek kell tekinteni, nem pedig skalárnak. Ezenkívül az irány és a nagyság általában az S felület orientációjától függ . Így az anyag feszültségi állapotát egy (második rangú) tenzorral kell leírni, amelyet (Cauchy) feszültségtenzornak neveznek ; amely egy lineáris függvény , amely az n normálvektort az S felülethez kapcsolja a T feszültséghez . Bármilyen választott koordináta-rendszerhez képest a Cauchy-féle feszültségtenzor ábrázolható valós számok 3 × 3 szimmetrikus mátrixaként . Még egy homogén testen belül is , a feszültségtenzor változhat a koordinátáktól és az időtől függően; ezért az anyagban lévő feszültség jellemzően egy időben változó tenzormező .

Normál feszültség és nyírófeszültség

Általánosságban elmondható, hogy az a T feszültség , amelyet egy P részecske egy másik Q részecskére kifejt egy összefüggő S felület mentén , tetszőleges irányban lehet S-hez képest . A T vektor két komponens összegeként fogható fel: a normálfeszültség (nyomó- ill . húzó) a felületre merőleges és a nyírófeszültség .a felülettel párhuzamos.

Ha a felület n egységnyi normálvektorát ( Q -ból P -be irányítva) rögzítettnek tételezzük fel, akkor a normálkomponens egyetlen számmal, a T · n pontszorzattal fejezhető ki . Ez a szám pozitív lesz, ha P „nyújtja” Q -t (húzófeszültség), és negatív, ha P „nyomja” Q -t (nyomófeszültség). Az eltolási komponens ekkor egy T − ( T · n ) n vektor .

Mértékegységek

A feszültség dimenziója a nyomás , ezért nagyságát általában ugyanabban az egységben mérik, mint a nyomást: nevezetesen pascalban (Pa, azaz newton per négyzetméter ) a nemzetközi rendszerben , vagy font per négyzethüvelykben (psi) birodalmi rendszer. Mivel a szilárd testekben a mechanikai feszültségek könnyen meghaladják az egymillió pascalt, az MPa (megapascal) a feszültség szokásos mértékegysége.

Okok és következmények

A rugalmas testben fellépő stresszt számos fizikai ok okozhatja, beleértve a külső hatásokat és a belső fizikai folyamatokat is. Néhány ilyen ágens (mint például a gravitáció, a hőmérséklet- és termodinamikai fázisváltozások , valamint az elektromágneses mezők) az anyag nagy részére hatnak, folyamatosan változnak a koordinátákkal és az idővel. Más szerek (például külső terhelések és súrlódások, környezeti nyomás és érintkezési erők) feszültségeket és erőket hozhatnak létre, amelyek bizonyos felületekre, vonalakra vagy pontokra koncentrálódnak; és esetleg nagyon rövid időközönként is (pl. ütközések és ütközések miatti impulzusokban ). A hatóanyagban az önjáró mikroszkopikus részecskék makroszkopikus feszültségprofilokat generálnak [2] . Általános esetben a feszültségek eloszlását a testben a koordináták és az idő darabonkénti folytonos függvényében fejezzük ki .

Ezzel szemben a feszültség általában az anyagra gyakorolt különféle hatásokkal korrelál, beleértve a fizikai tulajdonságok változásait, például a kettős törést , a polarizációt és az áteresztőképességet . A külső tényező hatására bekövetkező igénybevétel általában akkor is létrehoz némi feszültséget (húzódást) az anyagban, ha az túl kicsi ahhoz, hogy észlelhető legyen. Szilárd anyagban az ilyen deformáció viszont belső rugalmas feszültséget okoz, amely hasonló a megfeszített rugó reakcióerejéhez , és az anyag eredeti, deformálatlan állapotát visszaállítja. A folyékony anyagok (folyadékok, gázok és plazmák ) értelemszerűen csak olyan alakváltozásoknak tudnak ellenállni, amelyek megváltoztathatják térfogatukat. Ha azonban az alakváltozás idővel megváltozik, még folyadékokban is általában van valamilyen viszkózus feszültség, amely megakadályozza ezt a változást. Az ilyen feszültségek nyírási és normál feszültségek is lehetnek. A folyadékokban jelentkező nyírófeszültségek molekuláris természetét a viszkozitásról szóló cikk ismerteti . Ugyanez a normál viszkózus feszültségek esetében megtalálható Sharma (2019). [3]

A stressz és annak hatásai, okai, köztük a feszültség és az alakváltozás sebessége közötti kapcsolat meglehetősen összetett lehet (bár a gyakorlatban lineáris közelítést alkalmaznak , ha a mennyiségek elég kicsik). Az anyag bizonyos szilárdsági határait meghaladó igénybevétel visszafordíthatatlan deformációhoz (például képlékeny áramláshoz , pusztuláshoz, kavitációhoz ) vagy akár a kristályszerkezet és a kémiai összetétel megváltozásához vezet .

Egyszerű stressz

Egyes helyzetekben a testen belüli stressz megfelelően leírható egyetlen vektorral. Három ilyen egyszerű feszültséghelyzet , amelyek gyakran előfordulnak a szerkezettervezésben: az egytengelyű normálfeszültség , az egyszerű nyírófeszültség és az izotróp normálfeszültség .

Egytengelyű normálfeszültség

A szokásos helyzet egyszerű feszültségszerkezettel egy homogén anyagú és keresztmetszetű egyenes rúdnál figyelhető meg, amely tengelye mentén ellentétes irányú erők hatására feszültségnek van kitéve. Ha a rendszer egyensúlyban van és nem változik az idő múlásával, és a rúd súlya elhanyagolható, akkor a rúd minden keresztmetszetén keresztül a felső résznek azonos erővel, F , folyamatosan kell húznia az alsó részt. A teljes A keresztmetszeti területen . Ezért a σ feszültség a teljes rúdban bármely vízszintes felületen egyszerűen kifejezhető egyetlen σ számmal, amelyet ezen erők nagyságából ( F ) és az A keresztmetszeti területből számítunk ki . $F$

σ = F A {\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}}

\sigma ={\frac {F}{A}}

Másrészt, ha azt képzeli, hogy a rúd hosszában, a tengellyel párhuzamosan van vágva, akkor nem lesz erő (és így feszültség sem) a két fél között.

Ezt a fajta feszültséget (egyszerű) normálfeszültségnek vagy egytengelyű feszültségnek nevezhetjük; különösen (egytengelyű, egyszerű) húzófeszültség. Ha a rúd terhelése nem feszítés, hanem összenyomás, akkor az elemzés ugyanaz, kivéve, hogy az F erő és a feszültség előjelet vált, és a feszültséget nyomófeszültségnek nevezzük. $\sigma$

Ez az elemzés azt feltételezi, hogy a feszültség egyenletesen oszlik el a teljes keresztmetszeten. A gyakorlatban ez a feltételezés nem biztos, hogy igaz, attól függően, hogy a rúd hogyan van rögzítve a végén, és hogyan készült. Ebben az esetben az = F / A érték csak az átlagos feszültséget jelenti, amelyet műszaki feszültségnek vagy névleges feszültségnek neveznek . Ha azonban az L rúd hossza többszöröse a D átmérőjének , és nincsenek durva hibái vagy beépített feszültségei, akkor feltételezhető, hogy a feszültség egyenletesen oszlik el bármely keresztmetszeten, amelynek távolsága kb. több mint többszörös D -szer nagyobb, mint a távolság mindkét végétől. (Ez a megfigyelés Saint-Venant-elvként ismert ). $\sigma$

Az axiális feszültségen és összenyomódáson kívül a normál feszültség sok más helyzetben is fellép. Ha egy egyenletes és szimmetrikus keresztmetszetű rugalmas rudat meghajlítunk valamelyik szimmetriasíkban, akkor a keletkező hajlítófeszültség továbbra is normális (a keresztmetszetre merőleges), de a keresztmetszetben változó: a külső rész húzófeszültség alatt, míg a belső rész összenyomódik. A normál feszültség másik változata a karikafeszültség , amely nyomás alatti folyadékkal töltött hengeres cső vagy edény falán lép fel .

Egyszerű nyírófeszültség

Egy másik egyszerű feszültségtípus akkor lép fel, ha egy egyenletes vastagságú rugalmas anyagréteg, például ragasztó vagy gumi, szilárdan rögzítve van két merev testhez, amelyeket az adott réteggel párhuzamos erők ellentétes irányba húznak; vagy egy darab puha fémrúd, amelyet ollólapátok vágnak le. Legyen F ezen erők nagysága, M pedig ennek a rétegnek a középsíkja. A normál feszültséghez hasonlóan az M egyik oldalán lévő réteg egy részének ugyanolyan F erővel kell húznia a másik részét . Feltételezve, hogy az erők iránya ismert, az M feszültsége egyetlen számmal kifejezhető , amelyet ezen F erők nagyságából és az A keresztmetszeti területből számítunk ki . $\tau$

τ = F A {\displaystyle \tau ={\frac {F}{A}}}

\tau ={\frac {F}{A}}

A normál feszültségtől eltérően azonban ez az egyszerű nyírófeszültség a kérdéses keresztmetszettel párhuzamosan, nem arra merőlegesen irányul. Bármely S síkra , amely merőleges a rétegre, az S síkban a teljes belső erő és így a feszültség nulla lesz.

Akárcsak egy axiálisan terhelt rúd esetében, a gyakorlatban a nyírófeszültség nem oszlik el egyenletesen a rétegen; így, mint korábban, az F / A arány az átlagos ("névleges", "mérnöki") feszültséget jelenti. Gyakorlati célokra azonban ez az átlag gyakran elegendő : 292. o . Nyírófeszültség akkor is megfigyelhető, ha egy hengeres rudat, például egy tengelyt , a végein ellentétes nyomatékok érnek. Ebben az esetben a nyírófeszültség minden keresztmetszetben párhuzamos a keresztmetszettel, de a tengelyhez képest tangenciálisan orientált, és a tengelytől való távolság növekedésével növekszik. Az I-gerendák középső síkjában ("fal") fellépő hajlító terhelés hatására jelentős nyírófeszültség keletkezik, amiatt, hogy a fal korlátozza a véglemezeket ("polcokat").

Izotróp feszültség

Egy másik egyszerű feszültségtípus akkor lép fel, amikor egy anyagi test minden irányban ugyanazt a nyomást vagy feszültséget tapasztalja. Ez történik például egy nyugalmi folyadék vagy gáz egy részében, valamilyen tartályba zárva, vagy nagyobb tömegű folyadék részeként; vagy egy elasztikus anyagból készült kocka belsejében, amely egyenletes nyomás alatt van, vagy a lapokra merőlegesen egyenlő erővel mind a hat oldalán feszített - feltéve, hogy az anyag mindkét esetben homogén, nincs beépített feszültség, és a gravitáció és egyéb a külső erők figyelmen kívül hagyhatók.

Ezekben a helyzetekben bármely képzeletbeli belső felületre ható feszültség egyenlő nagyságú, és mindig a felületre merőlegesen irányul, tekintet nélkül annak orientációjára. Ezt a fajta stresszt nevezhetjük izotróp normálnak vagy egyszerűen izotrópnak ; ha nyomófeszültséget észlelünk, akkor azt hidrosztatikus nyomásnak vagy egyszerűen nyomásnak nevezzük . A gázok értelemszerűen nem képesek ellenállni a húzófeszültségeknek, de egyes folyadékok bizonyos körülmények között meglepően nagy izotróp húzófeszültséget képesek ellenállni (lásd a Z-csövet).

Hengerfeszültségek

A tengelyirányban szimmetrikus részek , például kerekek, tengelyek, csövek, tárcsák és rugóstagok nagyon gyakoriak a mérnöki munkában. Az ilyen részeken előforduló feszültségmintázatok gyakran forgási (axiális) vagy akár hengeres szimmetriával rendelkeznek. Az ilyen hengeres feszültségek elemzésekor a szimmetriát használjuk a tartomány és/vagy a feszültségtenzor méretének csökkentésére.

A feszültségtenzor általános nézete

Gyakran előfordul, hogy a mechanikus testek egyidejűleg egynél több típusú terhelést tapasztalnak; ezt kombinált feszültségnek nevezzük . Normál feszültség és nyírófeszültség esetén a feszültség nagysága egy bizonyos irányra merőleges felületeknél a legnagyobb, és nulla bármely párhuzamos felületen. Ha a nyírófeszültség csak egy adott irányra merőleges felületeken nulla, a feszültséget biaxiálisnak nevezzük , és figyelembe vehető . mint két normálfeszültség vagy nyírófeszültség összege. A legáltalánosabb esetben, az úgynevezett triaxiális feszültségben a feszültség minden felületi elemen nem nulla. $d,$ $d.$

Cauchy stressz tenzor

A kombinált feszültségek nem írhatók le egyetlen vektorral. Ezért még akkor is, ha az anyag a test teljes térfogatában azonos feszültségnek van kitéve, bármely képzeletbeli felületre ható feszültség nem triviális módon függ a felület orientációjától.

Cauchy azonban észrevette, hogy a felületen megadott feszültségvektor mindig a felület normálvektorának lineáris függvénye lesz - egy egységnyi hosszúságú vektor, amely merőleges rá. Vagyis ahol a függvény kielégíti a relációt $T$ $n,$ $T={\boldsymbol {\sigma }}(n),$ ${\boldsymbol {\sigma ))$

{\boldsymbol {\sigma }}(\alpha u+\beta v)=\alpha {\boldsymbol {\sigma }}(u)+\beta {\boldsymbol {\sigma }}(v)

tetszőleges vektorokra és bármely valós számra A ma feszültségtenzornak nevezett függvény (Cauchy) teljes mértékben leírja egy egyenletesen feszített test feszültségi állapotát. (Általában minden lineáris összefüggést két fizikai vektormennyiség között tenzornak nevezünk , ami megfelel Cauchy eredeti „feszültségeinek” leírásának egy anyagban.) A tenzorszámításban a (0,2) típusú második rangú tenzorok közé sorolják. . $u,\v$ $\alpha ,\ \beta .$ ${\boldsymbol {\sigma )),$ ${\boldsymbol {\sigma ))$

Mint minden vektorok közötti lineáris leképezés, a feszültségtenzor bármely kiválasztott derékszögű koordinátarendszerben ábrázolható valós számokból álló 3 × 3-as mátrixszal. Attól függően, hogy a koordinátákat számozzuk , vagy a mátrixot használjuk, a következőképpen írható fel: ${\displaystyle x_{1},\ x_{2},\ x_{3))$ $x,\y,\z$

{\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23 }\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\quad \quad \quad

vagy

\quad \quad \quad {\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy} &\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{bmatrix}}

A koordinátákkal rendelkező normálvektorral adott felületen adott feszültségvektort ezután mátrixszorzatként ábrázoljuk . Ennek eredményeként egy kovariáns (sorvektor) vektort kapunk (hasonlítsa össze a Cauchy-féle feszültségtenzorral ), azaz. $T={\boldsymbol {\sigma }}(n)$ $n$ $n_1,\ n_2,\ n_3$ $T=n\cdot {\boldsymbol {\sigma }}$

{\begin{bmatrix}T_{1}&T_{2}&T_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{bmatrix }}\cdot {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{21}&\sigma _{31}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}&\sigma _{ 32}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}

Az impulzusmegmaradás és az erők statikus egyensúlyának alaptörvényei közötti lineáris kapcsolat és azokból is következik , ezért matematikailag pontos minden anyagi és feszültségi helyzetre. A Cauchy-féle feszültségtenzor összetevői a test minden pontjában kielégítik az egyensúlyi egyenleteket ( a nulla gyorsulású mozgás Cauchy-egyenletei). Ráadásul a szögimpulzus megmaradásának elvéből az következik, hogy a feszültségtenzor szimmetrikus , azaz Ezt tükrözi a bejegyzés: $T$ $n$ $\sigma _{12}=\sigma _{21},$ $\sigma _{13}=\sigma _{31},$ $\sigma _{23}=\sigma _{32}.$

{\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{xy}&\sigma _{y}&\tau _{yz }\\\tau _{xz}&\tau _{yz}&\sigma _{z}\end{bmatrix}}

ahol az elemeket ortogonális normálfeszültségeknek (a választott koordinátarendszerhez képest) és ortogonális nyírófeszültségeknek nevezzük . ${\displaystyle \sigma _{x},\ \sigma _{y},\ \sigma _{z))$ ${\displaystyle \tau _{xy},\ \tau _{xz},\ \tau _{yz))$

Koordináta transzformáció

A Cauchy-féle feszültségtenzor betartja a tenzortranszformációs törvényt, amikor a koordinátarendszer megváltozik. Ennek a transzformációs törvénynek a grafikus ábrázolásához a Mohr - féle feszültségkört használjuk .

3×3 szimmetrikus valós mátrix esetén a feszültségtenzornak három egymásra merőleges egységnyi hosszúságú sajátvektora és három valós sajátértéke van , így egy tengelyes koordinátarendszerben a feszültségtenzor egy átlós mátrix, és csak három normálkomponense van, amelyeket főnek neveznek. hangsúlyozza . Ha a három sajátérték egyenlő, akkor a feszültség izotróp összenyomás vagy feszültség, és mindig merőleges bármely felületre, és nincs nyírófeszültség, és a tenzor egy átlós mátrix bármely koordinátarendszerben. ${\boldsymbol {\sigma ))$ ${\displaystyle e_{1},\ e_{2},\ e_{3))$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ \lambda _{2},\ \lambda _{3))$ ${\boldsymbol {\sigma }}e_{i}=\lambda _{i}e_{i}.$ $e_{1},\ e_{2},\ e_{3},$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ \lambda _{2},\ \lambda _{3))$

A stressz mint tenzormező

A feszültség jellemzően egyenetlenül oszlik el az anyagtest térfogatában, és idővel változhat. Ezért a feszültségtenzort minden egyes pontra és időpillanatra meg kell határozni, figyelembe véve az ezt a pontot körülvevő közeg egy végtelenül kicsi részecskéjét, és az ebben a részecskében lévő átlagos feszültségeket ebben a pontban feszültségeknek tekintve.

Feszültség vékony lemezekben

Az ember alkotta tárgyakat gyakran olyan szabványos alkatrészekből állítják elő, amelyek különféle anyagokból készülnek olyan műveletekkel, amelyek nem változtatják meg alapvetően kétdimenziós jellegüket, például vágás, fúrás, sima hajlítás és élhegesztés. Az ilyen testekben fellépő feszültségek leírása leegyszerűsíthető, ha ezeket az alkatrészeket nem háromdimenziós testként, hanem kétdimenziós felületként modellezzük.

Ebből a szempontból a "részecske" újradefiniálható a lemez felületének végtelenül kicsi szakaszaként úgy, hogy a szomszédos részecskék közötti határ egy végtelenül kicsi vonalelemmé (kontúr) válik; mindkettő implicit módon kiterjesztve van a harmadik dimenzióban, merőlegesen a lemezre. A „feszültséget” ezután újradefiniáljuk a két szomszédos „részecske” közötti belső erők mértékeként, közös vonalelemük mentén, osztva az elem hosszával. A feszültségtenzor egyes összetevői figyelmen kívül hagyhatók, de mivel a részecskék nem végtelenül kicsik a harmadik dimenzióban, többé nem hagyhatjuk figyelmen kívül azt a forgatónyomatékot, amelyet egy részecske a szomszédos részecskékre gyakorol. Ezt a nyomatékot hajlítófeszültségként modellezték, amely hajlamos megváltoztatni a lemez görbületét . Előfordulhat azonban, hogy ezek az egyszerűsítések nem vonatkoznak a hegesztésekre vagy éles hajlításokra és hajtásokra (ahol a görbületi sugár összemérhető a lemez vastagságával).

Feszültség vékony gerendákban

Az egyenletes (vagy egyenletesen változó) összetételű és keresztmetszetű vékony rudak, gerendák vagy huzalok feszültséganalízise is jelentősen leegyszerűsödik, amelyek mérsékelten hajlításnak és csavarodásnak vannak kitéve. Ezeknél a testeknél csak a rúd tengelyére merőleges keresztmetszeteket lehet figyelembe venni, és a "részecskét" újradefiniálni egy huzaldarabként, amelynek két ilyen keresztmetszete között végtelenül kicsi a hossza. A szokásos feszültség tehát skalárisra csökken (a rúd megnyújtása vagy összenyomása), de figyelembe kell venni a hajlítófeszültséget (amely a rúd görbületét a tengelyre merőleges irányba próbálja megváltoztatni) és a torziós feszültséget (amely megpróbálja elforgatni vagy letekerni a tengelye körül).

Egyéb stresszleírások

A Cauchy feszültségtenzort a kis alakváltozásokat átélő anyagi testek feszültségeinek elemzésére használják, ahol a feszültségeloszlásbeli különbségek a legtöbb esetben figyelmen kívül hagyhatók. Nagy alakzatokhoz vagy véges alakzatokhoz más feszültségleíró módszerekre van szükség, mint például az első és második Piola-Kirchhoff feszültségtenzor, a Biot feszültségtenzor és a Kirchhoff feszültségtenzor.

A szilárd anyagok, folyadékok és gázok feszültségmezővel rendelkeznek. A statikus folyadékok fenntartják a normál feszültséget, de nyírófeszültség alatt áramlanak . A mozgó viszkózus folyadékok ellenállnak a nyírófeszültségnek (dinamikus nyomás). A szilárd anyagok ellenállnak a nyírási és a normál igénybevételnek is, a képlékeny anyagok nyírás hatására, a rideg anyagok pedig normál feszültség esetén tönkremennek. Minden anyag hőmérsékletfüggő változást mutat a feszültséggel kapcsolatos tulajdonságokban, míg a nem newtoni anyagok sebességgel változnak.

Stresszelemzés

A feszültségelemzés az alkalmazott fizika egyik ága , amely a belső erők szilárd testekben való eloszlásának meghatározásával foglalkozik. Ez egy fontos technika a mérnökökben az olyan szerkezetek tanulmányozására és tervezésére, mint alagutak, gátak, mechanikai részek és szerkezeti keretek adott vagy várható terhelés mellett. A stresszelemzés sok más tudományágban is fontos; például a geológiában olyan jelenségek tanulmányozására, mint a lemeztektonika , a vulkanizmus és a lavinák ; a biológiában pedig az élőlények anatómiájának megértése.

Célok és feltételezések

A stresszelemzés általában olyan tárgyakkal és struktúrákkal foglalkozik, amelyekről feltételezhető, hogy makroszkopikus statikus egyensúlyban vannak . A Newton-féle mozgástörvények szerint az ilyen rendszerre ható külső erőket belső reakcióerőknek kell kiegyenlíteniük : 97. o. , amelyeket szinte mindig a szomszédos részecskék közötti felületi érintkezési erők, azaz feszültségek okoznak. Mivel minden részecskének egyensúlyban kell lennie, ez a reakcióerőhöz kapcsolódó feszültség általában részecskéről részecskére terjed, és a feszültség eloszlását hozza létre a testben.

A feszültségelemzés tipikus problémája ezen belső feszültségek meghatározása a rendszerre ható külső erők alapján. Ez utóbbi lehet mindkét testerõ (például gravitáció vagy mágneses kölcsönhatás), amelyek az anyag teljes térfogatában hatnak; :42–81. o. vagy koncentrált terhelések (például súrlódás a tengely és a csapágy között, vagy a vonatkerék nyomása a sínre), amelyekről feltételezik, hogy egy kétdimenziós tartományban, egy vonal mentén vagy egy pontban hatnak .

A feszültségelemzés általában nem veszi figyelembe az erőhatások fizikai okait vagy az anyagok pontos természetét. Ehelyett feltételezzük, hogy a feszültségek az anyag alakváltozásához (és nem stacionárius problémák esetén az alakváltozási sebességhez) kapcsolódnak ismert anyagviszonyok alapján.

Módszerek

A feszültségelemzést kísérletileg is el lehet végezni úgy, hogy egy tényleges alkatrészre vagy egy méretezett modellre terhelést adunk, és a keletkező feszültségeket a rendelkezésre álló módszerek bármelyikével megmérjük. Ezt a megközelítést gyakran használják nagyméretű építmények biztonságának tanúsítására és ellenőrzésére. A legtöbb stresszelemzés azonban matematikailag történik, különösen a tervezés során. A feszültségelemzés fő feladatához a szilárd testekre vonatkozó Euler-mozgásegyenleteket (amelyek az impulzus és a szögimpulzus megőrzésére vonatkozó Newton-törvények következményei ) és az Euler-Cauchy feszültségelvet a megfelelő anyagi összefüggésekkel együtt kell meghatározni. felvázol. Így egy parciális differenciálegyenlet -rendszert kapunk , amely a feszültségtenzormezőt és a deformációs tenzormezőt tartalmazza, mint ismeretlen függvényeket . A külső testerők független ("jobb oldali") tagként jelennek meg a differenciálegyenletekben, a koncentrált erők pedig peremfeltételként lépnek be az egyenletekbe. Így a stresszelemzés fő feladata egy határérték probléma .

A rugalmas szerkezetek feszültségeinek számítása a rugalmasság elméletén és az infinitezimális alakváltozások elméletén alapul. Ha az alkalmazott terhelés maradandó alakváltozást okoz, akkor bonyolultabb anyagviszonyokat kell alkalmazni, amelyek figyelembe vehetik a fontos fizikai folyamatokat ( plasztikus áramlás , meghibásodás, fázisátalakulás stb.).

A mérnöki szerkezeteket azonban általában úgy tervezik, hogy a várható maximális feszültségek a lineáris rugalmasság tartományán belül legyenek (a Hooke-törvény kontinuumokra vonatkozó általánosítása); vagyis a belső feszültségek okozta alakváltozásoknak lineárisan össze kell kapcsolódniuk velük. Ebben az esetben a feszültségtenzort meghatározó differenciálegyenletek lineárisak, és a probléma nagymértékben leegyszerűsödik. Először is, a feszültség bármely ponton a terhelés lineáris függvénye is lesz. Kellően alacsony feszültség mellett általában még a nemlineáris rendszerek is lineárisnak tekinthetők.

A feszültségelemzés leegyszerűsödik, ha a fizikai méretek és a terheléseloszlás lehetővé teszi, hogy a szerkezetet egydimenziósnak vagy kétdimenziósnak tekintsük. Például a rácsostartók számításakor feltételezhető, hogy a feszültségtér egyenletes és egytengelyű minden elemre. Ezután a differenciálegyenleteket egy véges egyenletrendszerre (általában lineárisra) redukáljuk véges számú ismeretlennel. Más megközelítések csökkenthetik a 3D-s problémát 2D-re, és/vagy helyettesíthetik az általános feszültség- és alakváltozási tenzorokat egyszerűbb modellekkel, amelyek a probléma szimmetriáját használják, például egytengelyű feszítést/kompressziót, egyszerű nyírást stb.

2D vagy 3D esetekhez azonban parciális differenciálegyenletrendszert kell megoldani. Differenciálegyenletek analitikus vagy zárt megoldása akkor nyerhető, ha az összefüggéseket és a peremfeltételeket meghatározó geometria kellően egyszerű. Ellenkező esetben általában numerikus módszereket kell alkalmazni, például a végeselemes módszert, a véges különbség módszerét és a határelem módszert .

Elméleti alapok

A kontinuummechanika deformálható testekkel foglalkozik, nem abszolút merev testekkel. A kontinuummechanikában csak a külső erők hatásából és a test későbbi alakváltozásából eredő feszültségeket veszik figyelembe; más szóval, a relatív alakváltozásokat veszik figyelembe, nem pedig azok abszolút értékét. Egy testet feszültségmentesnek nevezünk, ha csak az atomközi erők (ionos, fémes vagy van der Waals természetűek) szükségesek ahhoz, hogy a testet egyben tartsák és alakját minden külső hatás, így a gravitációs vonzás hiányában is megtartsák. [4] [5] . Szintén nem tartoznak ide azok a feszültségek, amelyek egy adott testforma gyártása során a megmunkálás során keletkeznek.

A klasszikus newtoni és Euler-dinamikát követve az anyagi test mozgását kívülről ható erők hatása idézi elő, amelyeknek két fajtája van: felületi és testerők [6] .

Felületi erők vagy érintkezési erők hatnak a test határoló felületére más testekkel való mechanikai érintkezés következtében, vagy a testrészeket összekötő képzeletbeli belső felületekre a testrészek két oldalán lévő mechanikai kölcsönhatás eredményeként. felület (Euler-Cauchy feszültségelv) . Amikor külső érintkezési erők hatnak egy testre, a belső érintkezési erők a testen belüli pontról pontra kerülnek átadásra, hogy kiegyenlítsék hatásukat Newton második mozgástörvényének megfelelően, amely a lendület és a szögimpulzus megmaradását jelenti. Ezeket a törvényeket folytonos közegekre vonatkozó Euler-mozgásegyenleteknek nevezzük. A belső érintkezési erők konstitutív egyenletek révén kapcsolódnak a test deformációjához. Ez a cikk matematikai leírást ad a belső érintkezési erőkről és azok kapcsolatáról a test mozgásával, függetlenül annak anyagösszetételétől [7] .

A feszültség a testrészecskék között képzeletbeli belső felületeken keresztül ható belső érintkezési erők intenzitásának mértékeként tekinthető [8] . Más szóval, a feszültség a felület egységnyi területére kifejtett átlagos erő mértéke, amelyre ezek a belső erők hatnak. Az érintkezési erők intenzitása fordítottan arányos az érintkezési felülettel. Például, ha egy kis területen kifejtett erőt összehasonlítunk egy nagyobb területen kifejtett azonos eredő nagyságú megosztott terheléssel, akkor a két erő hatása vagy intenzitása lokálisan eltérő, mivel a közegben lévő feszültségek nem ugyanaz.

A test erői a testen kívüli források miatt keletkeznek [9] , amelyek a test térfogatára (vagy tömegére) hatnak. Ez azt jelenti, hogy a belső erők csak érintkezési erők révén nyilvánulnak meg [10] . Ezek az erők a test különböző erőterekben (például gravitációs térben) való jelenléte miatt keletkeznek. Mivel a szilárd test tömegét folyamatos eloszlásnak tételezzük fel, a tömegből származó erő is folyamatosan eloszlik. Így feltételezzük, hogy a testerők folytonosak a test térfogata felett [11] .

A belső erők sűrűsége a deformálható test egyes pontjain nem feltétlenül egyenletes, vagyis feszültségeloszlás van. A belső erők ezen változását a lineáris és a szögimpulzus megmaradásának törvényei szabályozzák, amelyeket általában egy nagy tömegű részecskére alkalmaznak, de a kontinuummechanikában kiterjesztik a folytonosan elosztott tömegű testre. Ha a testet diszkrét részecskék halmazaként ábrázoljuk, amelyek mindegyike engedelmeskedik Newton mozgástörvényeinek, akkor az Euler-egyenletek Newton törvényeiből származnak. Az Euler-egyenletek azonban a kiterjesztett testek mozgási törvényeit leíró axiómáknak tekinthetők, függetlenül bármely részecske szerkezetétől [12] .

Az Euler-Cauchy feszültségelv

Az Euler-Cauchy feszültségelv kimondja, hogy „a test belsejében mentálisan megrajzolt minden keresztmetszetben olyan erők kölcsönhatása lép fel, amelyek ugyanolyan természetűek, mint a felületen eloszló terhelések” [13] , és ezt a kölcsönhatást egy vektormező reprezentálja. T ( n ) , az S felületen definiált és az n felület egységvektorától folyamatosan függő feszültségvektornak nevezzük [11] [14] .

Ennek az elvnek a magyarázatához tekintsünk egy képzeletbeli S felületet , amely áthalad a P test belső pontján, és a folytonos testet két szegmensre osztja, amint az az ábrán látható. 2.1a vagy 2.1b (használhat vágósík diagramot, vagy tetszőleges térfogatú diagramot az S felületen belül zárt közegben ). A testre F külső felületi erők és b testerők hatnak . Az őket elválasztó síkon keresztül a test egyik szegmenséből a másikba átvitt belső érintkezési erők a közeg egyik részének a másikra való ütközése következtében kis Δ S erőeloszlást hoznak létre n normál egységvektorral , az S vágósíkon látható . Az erőeloszlás megegyezik a ΔF érintkezési erővel és a hozzá tartozó kapcsolt feszültséggel ΔM , amint azt a 2.1a és 2.1b ábra mutatja. A Cauchy feszültségelv kimondja [4] , hogy amint Δ S nullára megy, a Δ F / Δ S arány d F / d S lesz , és a Δ M nyomatéki feszültségvektor eltűnik. A kontinuummechanika egyes területein feltételezik, hogy a pillanatnyi feszültség nem tűnik el; a kontinuummechanika klasszikus ágai azonban a nem poláris anyagokra vonatkoznak, amelyek nem veszik figyelembe a páros feszültségeket. A kapott d F /d S vektort úgy definiáljuk, mint a T ( n ) = T i ( n ) e i feszültségvektort az n normálvektorral rendelkező síkhoz tartozó P ponthoz :

T_{i}^{(\mathbf {n} )}=\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{i)){\Delta S))={dF_{ i}\over dS}.

Ez az egyenlet azt jelenti, hogy a feszültségvektor a testben elfoglalt helyzetétől és annak a síknak az irányától függ, amelyen hat.

A szóban forgó sík tájolásától függően a feszültségvektornak nem kell merőlegesnek lennie arra a síkra, azaz párhuzamosnak kell lennie n -el, és két komponensre bontható (2.1c ábra):

a síkra merőleges komponens, az úgynevezett normálfeszültség

\mathbf {\sigma _{\mathrm {n} }}=\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{\mathrm {n} }}{\Delta S}} ={\frac {dF_{\mathrm {n} }}{dS)),

ahol d F n a d F erő normál összetevője a d S differenciálplatformra

a másikat pedig, amely ezzel a síkkal párhuzamos, nyírófeszültségnek nevezzük .

\mathbf {\tau } =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{\mathrm {s} )){\Delta S))={\frac {dF_{\ matematika {s} }}{dS}},

ahol d F s a d F erő érintőleges összetevője a d S területi különbséghez . A nyírófeszültség tovább bontható két egymásra merőleges vektorra.

Cauchy posztulátuma

Cauchy posztulátuma szerint a T ( n ) feszültségvektor ugyanaz marad minden olyan felületre, amely áthalad a P ponton, és ugyanazzal az n normálvektorral rendelkezik a P pontban [10] [15] , azaz közös érintővel rendelkezik a P pontban . Ez azt jelenti, hogy a feszültségvektor csak az n normálvektor függvénye, és nem függ a belső felületek görbületétől.

Cauchy fő lemmája

A Cauchy-féle posztulátum magában foglalja az alapvető Cauchy-lemmát [5] [9] [10] , más néven Cauchy reciprocitási tételt [16] , amely kimondja, hogy ugyanazon felület ellentétes oldalain ható feszültségvektorok nagysága egyenlő, irányuk pedig ellentétes. A Cauchy-féle alapvető lemma ekvivalens Newton cselekvés és reakció harmadik törvényével, és így fejeződik ki

-\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {T} ^{(-\mathbf {n} )}.\,\!

Cauchy-féle feszültségtétel - feszültségtenzor

A feszültség állapotát a test egy pontjában az összes olyan T ( n ) feszültségvektor határozza meg , amely ezen a ponton áthaladó összes síkhoz (végtelen szám) kapcsolódik [8] . A fő Cauchy-tétel [5] , más néven Cauchy feszültségtétel [9] szerint azonban három egymásra merőleges síkon lévő ismert feszültségvektorokból a koordináta segítségével megtalálhatja a feszültségvektort bármely más, ezen a ponton áthaladó síkon. transzformációs egyenlet.

A Cauchy-féle feszültségtétel kimondja, hogy létezik egy második rangú σ ( x , t ) tenzormező, az úgynevezett Cauchy feszültségtenzor , amely független n -től, és T lineárisan függ n -től :

\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\quad {\text{or}}\quad T_{j}^ {(n)}=\sigma _{ij}n_{i}.\,\!

Ez az egyenlet azt jelenti, hogy a T ( n ) feszültségvektor a közeg bármely P pontjában, amely egy n normál egységvektorral rendelkező síkhoz kapcsolódik, kifejezhető a három koordinátatengelyre merőleges síkon lévő feszültségvektorok függvényében, azaz a σ feszültségtenzor σ ij komponensein keresztül .

Ennek a kifejezésnek a bizonyításához tekintsünk egy tetraédert, amelynek három lapja a koordinátasíkban van orientálva, és egy végtelenül kicsi területű d A , amely az n normálegységvektor által megadott tetszőleges irányban orientált (2.2. ábra). Tetraédert úgy hozunk létre, hogy egy végtelenül kicsi elemet tetszőleges sík mentén vágunk az n normálissal . Ezen a síkon a feszültségvektort T ( n ) -ként jelöljük . A tetraéder felületére ható feszültségvektorokat T ( e1 ) , T ( e2 ) és T ( e3 ) -ként jelöljük , és értelemszerűen a σ feszültségtenzor σ ij komponensei . Ezt a tetraédert néha Cauchy-tetraédernek is nevezik . Az erők egyensúlya, azaz Euler első mozgástörvénye (Newton második mozgástörvénye) a következőket adja:

\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,dA-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\,dA_{1}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\,dA_{2}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\,dA_{3}= \rho \left({\frac {h}{3}}dA\right)\mathbf {a} ,\,\!

ahol a jobb oldal a tetraéderben lévő tömeg és gyorsulása szorzata: ρ a sűrűség, a a gyorsulás, h a tetraéder magassága, ha az n síkot vesszük alapul. A tetraéder lapjainak a tengelyekre merőleges területét úgy találhatjuk meg, hogy d A -t vetítünk mindegyik lapra (a pontszorzat segítségével):

dA_{1}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{1}\right)dA=n_{1}\;dA,\,\!

dA_{2}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{2}\right)dA=n_{2}\;dA,\,\!

dA_{3}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{3}\right)dA=n_{3}\;dA,\,\!

majd behelyettesítve az egyenletbe d A törléséhez :

\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}-\mathbf {T} ^{ (\mathbf {e} _{2})}n_{2}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}=\rho \left({\frac { h}{3}}\right)\mathbf {a} .\,\!

Annak a határesetnek a figyelembevételéhez, amikor a tetraéder egy pontra zsugorodik, h -nak 0-ra kell irányulnia (intuitív módon a normál n -vel rendelkező sík az n vektor mentén az O oldalra mozog ). Ennek eredményeként az egyenlet jobb oldala 0-ra hajlik, tehát

\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}+\mathbf {T} ^{ (\mathbf {e} _{2})}n_{2}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}.\,\!

Tekintsünk egy elemet (2.3. ábra), amelynek síkjai merőlegesek a derékszögű koordináta-rendszer koordinátatengelyeire. Ennek az elemnek az egyes síkjaihoz tartozó feszültségvektorok, azaz a T ( e 1 ) , a T ( e 2 ) és a T ( e 3 ) egy normál részre és két nyírási komponensre, azaz irányú komponensekre bonthatók. a három koordinátatengely. Az x 1 tengely irányába orientált normál egységvektorral rendelkező felület speciális esetére a normálfeszültséget σ 11 -ként, a két nyírófeszültséget σ 12 -ként és σ 13 -ként jelöljük (a második index a párhuzamos koordinátát jelöli tengely):

\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{1} +T_{2}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf { e} _{3}=\sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3},

\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{1} +T_{2}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf { e} _{3}=\sigma _{21}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{22}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{23}\mathbf {e} _{3},

\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{1} +T_{2}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf { e} _{3}=\sigma _{31}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{32}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{33}\mathbf {e} _{3}.

Indexbejegyzés használata:

\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{i})}=T_{j}^{(\mathbf {e} _{i})}\mathbf {e} _{j} =\sigma _{ij}\mathbf {e} _{j}.

A feszültségvektorok kilenc σ ij komponense a Descartes-koordináta-rendszerben a második rangú tenzor, az úgynevezett Cauchy-féle feszültségtenzor komponense , amely teljes mértékben meghatározza egy pont feszültségi állapotát, és a mátrix adja meg.

{\boldsymbol {\sigma }}=\sigma _{ij}=\left[{\begin{matrix}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\\\ mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\\\end{mátrix}}\jobbra] =\left[{\begin{mátrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{ 23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{mátrix}}\jobbra]\equiv \left[{\begin{mátrix}\sigma _{ xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _ {zy}&\sigma _{zz}\\\end{mátrix}}\jobbra]\equiv \left[{\begin{mátrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{ xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end {mátrix}}\jobbra],

ahol σ 11 , σ 22 és σ 33 normál feszültségek, σ 12 , σ 13 , σ 21 , σ 23 , σ 31 és σ 32 nyírófeszültségek (tangenciális feszültségek). Az első i index azt jelzi, hogy a feszültség az x i tengelyre merőleges síkban hat, a második j index pedig azt az irányt, amelyben a feszültség hat. A feszültségvektor-komponens akkor pozitív, ha a koordinátatengelyek pozitív irányában hat, és ha a síkban, amelyben hat, van egy kifelé irányuló normálvektor, amely a koordináták pozitív irányába mutat.

Így a feszültségtenzor összetevőit felhasználva felírhatjuk:

{\begin{aligned}\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}&=\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}+ \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}n_{2}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}\\& =\sum _{i=1}^{3}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{i})}n_{i}=\left(\sigma _{ij}\mathbf {e } _{j}\right)n_{i}=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\end{aligned}},

vagy ami ugyanaz:

T_{j}^{(\mathbf {n} )}=\sigma _{ij}n_{i}.

Alternatívaként mátrix formában:

\left[{\begin{mátrix}T_{1}^{(\mathbf {n} )}&T_{2}^{(\mathbf {n} )}&T_{3}^{(\mathbf { n} )}\end{mátrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{mátrix}}\jobbra]\cdot \left[{ \begin{mátrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\ sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{mátrix}}\jobbra].

A Cauchy-féle feszültségtenzorábrázolás Voigt-jelölését a kényelem kedvéért használjuk feszültségtenzor szimmetria jelenlétében, hogy a feszültséget hatdimenziós vektorformaként fejezzük ki:

{\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&\sigma _{2}&\sigma _{3}&\sigma _{4}&\sigma _{ 5}&\sigma _{6}\end{bmatrix}}^{T}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{22}&\sigma _{33}&\sigma _{23}&\sigma _{31}&\sigma _{12}\end{bmatrix}}^{T}.\,\!

A Voigt-féle jelölést széles körben használják a feszültség-nyúlás összefüggések ábrázolására a szilárd mechanikában és a számítási hatékonyság javítására a szerkezeti mechanikai szoftverekben.

Stressztenzor transzformációs szabály

Megmutatható, hogy a feszültségtenzor egy második rangú kontravariáns tenzor. Amikor az x i koordinátarendszerből az x i ' koordinátarendszerbe lépünk , az eredeti rendszerben lévő σ ij komponensek az új rendszerben σ ij ' komponensekké alakulnak a tenzor transzformációs szabálynak megfelelően (2.4. ábra):

\sigma _{ij}^{'}=a_{im}a_{jn}\sigma _{mn}\quad {\text{or}}\quad {\boldsymbol {\sigma }}'=\ mathbf {A} {\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {A} ^{T},

ahol A egy forgási mátrix a ij komponensekkel . Mátrix formában ez így van írva

\left[{\begin{mátrix}\sigma _{11}^{'}&\sigma _{12}^{'}&\sigma _{13}^{'}\\\sigma _{ 21}^{'}&\sigma _{22}^{'}&\sigma _{23}^{'}\\\sigma _{31}^{'}&\sigma _{32}^{' }&\sigma _{33}^{'}\\\end{mátrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21 }&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{mátrix}}\jobbra]\left[{\begin{mátrix}\sigma _{11}& \sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32} &\sigma _{33}\\\end{mátrix}}\jobbra]\left[{\begin{mátrix}a_{11}&a_{21}&a_{31}\\a_{12}&a_{22}&a_ {32}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\\\end{mátrix}}\jobbra].

A mátrixművelet kiterjesztése és a kifejezések feszültségtenzorszimmetriával történő egyszerűsítése a következőket eredményezi:

\sigma _{11}'=a_{11}^{2}\sigma _{11}+a_{12}^{2}\sigma _{22}+a_{13}^{2}\ szigma _{33}+2a_{11}a_{12}\sigma _{12}+2a_{11}a_{13}\sigma _{13}+2a_{12}a_{13}\sigma _{23} ,

\sigma _{22}'=a_{21}^{2}\sigma _{11}+a_{22}^{2}\sigma _{22}+a_{23}^{2}\ sigma _{33}+2a_{21}a_{22}\sigma _{12}+2a_{21}a_{23}\sigma _{13}+2a_{22}a_{23}\sigma _{23} ,

\sigma _{33}'=a_{31}^{2}\sigma _{11}+a_{32}^{2}\sigma _{22}+a_{33}^{2}\ sigma _{33}+2a_{31}a_{32}\sigma _{12}+2a_{31}a_{33}\sigma _{13}+2a_{32}a_{33}\sigma _{23} ,

{\begin{aligned}\sigma _{12}'=&a_{11}a_{21}\sigma _{11}+a_{12}a_{22}\sigma _{22}+a_{13 }a_{23}\sigma _{33}\\&+(a_{11}a_{22}+a_{12}a_{21})\sigma _{12}+(a_{12}a_{23} +a_{13}a_{22})\sigma _{23}+(a_{11}a_{23}+a_{13}a_{21})\sigma _{13},\end{igazított}}

{\begin{aligned}\sigma _{23}'=&a_{21}a_{31}\sigma _{11}+a_{22}a_{32}\sigma _{22}+a_{23 }a_{33}\sigma _{33}\\&+(a_{21}a_{32}+a_{22}a_{31})\sigma _{12}+(a_{22}a_{33} +a_{23}a_{32})\sigma _{23}+(a_{21}a_{33}+a_{23}a_{31})\sigma _{13},\end{aligned}}

{\begin{aligned}\sigma _{13}'=&a_{11}a_{31}\sigma _{11}+a_{12}a_{32}\sigma _{22}+a_{13 }a_{33}\sigma _{33}\\&+(a_{11}a_{32}+a_{12}a_{31})\sigma _{12}+(a_{12}a_{33} +a_{13}a_{32})\sigma _{23}+(a_{11}a_{33}+a_{13}a_{31})\sigma _{13}.\end{aligned}}

A feszültségek Mohr-köre ennek az átalakulásnak a grafikus ábrázolása.

Normál és nyírófeszültségek

Bármely T ( n ) feszültségvektor tetszőleges síkon ható n normálegységvektorral egy adott pontban σ ij feszültségtenzorral kifejezett σ σ komponensekkel kifejezett normálfeszültség -komponensének értéke a feszültség skaláris szorzata. vektor és a normál egységvektor:

\sigma _{\mathrm {n} }=\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\cdot \mathbf {n} =T_{i}^{(\mathbf {n} ) }n_{i}=\sigma _{ij}n_{i}n_{j}.

A két T ( n ) és n vektor által áthidalt síkban ható τ n nyírófeszültség komponens nagysága a Pitagorasz-tétel segítségével meghatározható :

{\begin{aligned}\tau _{\mathrm {n} }&={\sqrt {\left(T^{(\mathbf {n} )}\right)^{2}-\sigma _ {\mathrm {n} }^{2}}}\\&={\sqrt {T_{i}^{(\mathbf {n} )}T_{i}^{(\mathbf {n} )}- \sigma _{\mathrm {n} }^{2}}},\end{aligned}}

ahol $\left(T^{(\mathbf {n} )}\right)^{2}=T_{i}^{(\mathbf {n} )}T_{i}^{(\mathbf {n } )}=\left(\sigma _{ij}n_{j}\right)\left(\sigma _{ik}n_{k}\right)=\sigma _{ij}\sigma _{ik}n_ {j}n_{k}.$

Egyensúlyi egyenletek és feszültségtenzorszimmetria

Amikor a test egyensúlyban van, a feszültségtenzor komponensek a test minden pontjában kielégítik az egyensúlyi egyenleteket:

\sigma _{ji,j}+F_{i}=0\,\!

Például egy hidrosztatikus folyadéknál egyensúlyi körülmények között a feszültségtenzor a következőképpen alakul:

{\sigma _{ij}}=-p{\delta _{ij}}),\

ahol a hidrosztatikus nyomás, és a Kronecker szimbólumot jelöli. $p$ ${\delta _{ij}}\$

Ugyanakkor az egyensúly megköveteli, hogy egy tetszőleges pont körüli nyomatékok összege nullával egyenlő legyen, ami arra a következtetésre vezet, hogy a feszültségtenzornak szimmetrikusnak kell lennie, azaz

\sigma _{ij}=\sigma _{ji}\,\!

A nyomatékelméletekben, vagyis az egységnyi térfogatra jutó momentumok jelenlétében azonban a feszültségtenzor nem szimmetrikus. Ez akkor is igaz, ha a Knudsen-szám közel van 1 -hez, vagy olyan közegekre, mint például a nem-newtoni folyadék, amely egy forgásilag nem invariáns folyadékhoz, például polimerhez vezethet. $K_{n}\rightarrow 1\,\!$

Főfeszültségek és feszültséginvariánsok

A feszített test minden pontjában legalább három olyan sík található, amelyeket fősíknak nevezünk , és normálvektorokkal , úgynevezett főirányokkal , ahol a megfelelő feszültségvektor merőleges a síkra, azaz párhuzamos vagy azzal azonos irányú. normálvektor és ahol nincsenek normál nyírófeszültségek . Az ezekre a fősíkra merőleges három feszültséget főfeszültségnek nevezzük . $\mathbf {n} \,\!$ $\mathbf {n} \,\!$ $\tau _{\mathrm {n} }\,\!$

A feszültségtenzor összetevői a koordinátarendszernek a vizsgált pontban való tájolásától függenek. Maga a feszültségtenzor azonban egy fizikai mennyiség, és mint ilyen, független az ábrázolására választott koordinátarendszertől. Minden tenzor bizonyos invariánsokhoz van társítva, amelyek szintén nem függenek a választott koordináta-rendszertől. Például egy vektor az első rangú egyszerű tenzor. Három dimenzióban három összetevőből áll. Ezen összetevők értéke a vektor ábrázolására választott koordinátarendszertől függ, de a vektor nagysága fizikai mennyiség (skalár), és független a derékszögű koordináta-rendszertől. Hasonlóképpen, minden második rangú tenzorhoz (például a feszültség- és nyúlási tenzorokhoz) három független invariáns mennyiség tartozik. Az ilyen invariánsok egyik halmaza a feszültségtenzor főfeszültségei, amelyek a feszültségtenzor mátrix sajátértékei. Irányvektoraik főirányok vagy sajátvektorok. $\sigma _{ij}\,\!$

Az egységnyi normálvektorral párhuzamos feszültségvektor : $\mathbf {n} \,\!$

\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\lambda \mathbf {n} =\mathbf {\sigma } _{\mathrm {n} }\mathbf {n} \,\!

ahol az arányossági állandó, amely ebben az esetben megfelel a normálfeszültségek vagy főfeszültségek vektorainak értékeinek. $\lambda \,\!$ $\sigma _{\mathrm {n} }\,\!$

Ennek ismeretében és a következőt írhatjuk: $T_{i}^{(n)}=\sigma _{ij}n_{j}\,\!$ $n_{i}=\delta _{ij}n_{j}\,\!$

{\begin{aligned}T_{i}^{(n)}&=\lambda n_{i}\\\sigma _{ij}n_{j}&=\lambda n_{i}\\\ sigma _{ij}n_{j}-\lambda n_{i}&=0\\\left(\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right)n_{j}&=0\ \\vége{igazított}}\,\!

Ez egy homogén rendszer, azaz három lineáris egyenletből álló rendszer, amelyekben az ismeretlenek nullával egyenlők. Ahhoz, hogy a determinánsokra nem triviális (nem nulla) megoldást kapjunk , az együtthatókból álló mátrixnak nullának kell lennie, vagyis a rendszernek szingulárisnak kell lennie. Ilyen módon: $n_{j}\,\!$ $n_{j}\,\!$

\left|\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right|={\begin{vmatrix}\sigma _{11}-\lambda &\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}-\lambda &\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33 }-\lambda \\\end{vmatrix}}=0\,\!

A determináns felírása a karakterisztikus egyenlethez vezet :

\left|\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right|=-\lambda ^{3}+I_{1}\lambda ^{2}-I_{2}\lambda +I_{3}=0\,\!

ahol

{\begin{aligned}I_{1}&=\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}\\&=\sigma _{kk}\\I_{2 }&={\begin{vmatrix}\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{vmatrix}}+{\begin{ vmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{13}\\\sigma _{31}&\sigma _{33}\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\sigma _{11 }&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\\\end{vmatrix}}\\&=\sigma _{11}\sigma _{22}+\sigma _{22}\sigma _{33}+\sigma _{11}\sigma _{33}-\sigma _{12}^{2}-\sigma _{23}^{2}-\sigma _{ 31}^{2}\\&={\frac {1}{2}}\left(\sigma _{ii}\sigma _{jj}-\sigma _{ij}\sigma _{ji}\right )\\I_{3}&=\det(\sigma _{ij})\\&=\sigma _{11}\sigma _{22}\sigma _{33}+2\sigma _{12}\ sigma _{23}\sigma _{31}-\sigma _{12}^{2}\sigma _{33}-\sigma _{23}^{2}\sigma _{11}-\sigma _{ 31}^{2}\sigma _{22}\\\end{igazított}}\,\!

A karakterisztikus egyenletnek három valós gyöke van, a feszültségtenzor szimmetriája miatt. , és a főfeszültségek a sajátértékektől függően . A főfeszültségek egyediek egy adott feszültségtenzorra. Ezért a karakterisztikus egyenletből a feszültségtenzor első, második és harmadik invariánsának nevezett , és együtthatók mindig azonos értékűek, függetlenül a koordináta-rendszer tájolásától. $\lambda _{i}\,\!$ $\sigma _{1}=max\left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)\,\!$ $\sigma _{3}=min\left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\jobbra)\,\!$ $\sigma _{2}=I_{1}-\sigma _{1}-\sigma _{3}\,\!$ $\lambda _{i}\,\!$ $I_{1}\,\!$ $I_{2}\,\!$ $I_{3}\,\!$

Minden sajátértékhez van egy nem triviális megoldása az egyenletrendszernek . Ezek a megoldások főirányokat vagy sajátvektorokat jelentenek, amelyek meghatározzák azt a síkot, amelyben a főfeszültségek hatnak. A főfeszültségek és főirányok egy pontban a feszültséget jellemzik, és függetlenek az orientációtól. $n_{j}\,\!$ $\left(\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right)n_{j}=0\,\!$

A főirányok mentén orientált tengelyekkel rendelkező koordinátarendszerben, ami azt jelenti, hogy a normál feszültségek főfeszültségek, a feszültségtenzort a következő alakú átlós mátrix képviseli:

\sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0&0\\0&\sigma _{2}&0\\0&0&\sigma _{3}\end{bmatrix}}\, \!

A , és feszültségtenzor invariánsok főfeszültségekkel fejezhetők ki. Konkrétan, az első és a harmadik invariáns a feszültségtenzor mátrix nyoma és meghatározója: $I_{1}\,\!$ $I_{2}\,\!$ $I_{3}\,\!$

{\begin{aligned}I_{1}&=\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}\\I_{2}&=\sigma _{1}\ sigma _{2}+\sigma _{2}\sigma _{3}+\sigma _{3}\sigma _{1}\\I_{3}&=\sigma _{1}\sigma _{2 }\sigma _{3}\\\end{igazított}}\,\!

Egyszerűsége miatt a főfeszültségekhez kapcsolódó koordinátarendszer gyakran hasznos, ha egy rugalmas közeg állapotát vizsgáljuk egy adott pontban. A főfeszültségeket gyakran használják a következő egyenletben az x és y irányú feszültségek vagy egy alkatrész tengelyirányú és hajlítófeszültségeinek értékelésére [17] . Ezután a fő normálfeszültségek alapján számítják ki a von Mises-feszültségeket, és végül a biztonsági tényezőt és a biztonsági tényezőt.

\sigma _{1},\sigma _{2}={\frac {\sigma _{x}+\sigma _{y}}{2}}\pm {\sqrt {\left({\ frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}}\right)^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\,\!

A kifejezésnek csak a négyzetgyök alatti részeit használva megkaphatja a maximális (plusz) és minimális (mínusz) nyírófeszültséget. Ez így van írva:

\tau _{max},\tau _{min}=\pm {\sqrt {\left({\frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}}\right )^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\,\!

Maximális és minimális nyírófeszültségek

A maximális nyírófeszültség vagy a legnagyobb fő nyírófeszültség egyenlő a legnagyobb és legkisebb főfeszültség különbségének felével, és egy olyan síkban hat, amely felezi a főfeszültségek közül a legnagyobb és legkisebb főfeszültség iránya közötti szöget, azaz a maximális nyíróerőt. a feszültség a fő feszültségsíkoktól θ szöget zár be. A maximális nyírófeszültséget a következőképpen fejezzük ki $45^{\circ }$

\tau _{\mathrm {max} }={\frac {1}{2}}\left|\sigma _{\mathrm {max} }-\sigma _{\mathrm {min} }\jobbra |\,\!

Feltéve, hogy akkor: $\sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma _{3}\,\!$

\tau _{\mathrm {max} }={\frac {1}{2}}\left|\sigma _{1}-\sigma _{3}\right|\,\!

A maximális nyírófeszültség síkjára ható feszültség normálkomponense nem egyenlő nullával és egyenlő

$\sigma _{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}\left(\sigma _{1}+\sigma _{3}\right)\,\!$

A feszültségeltérés tenzor

A feszültségtenzor két feszültségtenzorként ábrázolható: $\sigma _{ij}\,\!$

az átlagos hidrosztatikus feszültségtenzor vagy az átlagos normálfeszültség tenzor , amely egy igénybevett test térfogatának változásához kapcsolódik; szintén $\pi \delta _{ij}\,\!$
deviátor komponens, az úgynevezett feszültség deviátor tenzor, amely az első torzulásához kapcsolódik. $s_{ij}\,\!$

Matematikai megfogalmazásban

\sigma _{ij}=s_{ij}+\pi \delta _{ij},\,

ahol a következőképpen definiált átlagos feszültség $\pi\,\!$

\pi ={\frac {\sigma _{kk}}{3}}={\frac {\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}}{3} }={\tfrac {1}{3}}I_{1}.\,

A nyomást ( ) általában a feszültségtenzor nyomának negatív harmadaként definiálják, mínusz minden olyan feszültség, amelyet a sebességdivergencia okoz, pl. $p$

p=\nabla \cdot {\vec {u}}-\pi =\lambda \,{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{k}}}-\pi =\sum _{k}\lambda \,{\frac {\partial u_{k)){\partial x_{k))}-\pi ,

ahol az arányossági állandó, a nabla operátor , a k- adik derékszögű koordináta, a sebesség és a sebesség k - adik komponense derékszögű koordinátákban. $\lambda$ $\nabla$ $x_k$ ${\vec {u}}$ $u_{k}$ ${\vec {u}}$

A deviatorikus feszültségtenzort úgy kaphatjuk meg, hogy a hidrosztatikus feszültségtenzort kivonjuk a Cauchy feszültségtenzorból:

{\begin{aligned}\ s_{ij}&=\sigma _{ij}-{\frac {\sigma _{kk)){3))\delta _{ij},\,\\\ balra \end{mátrix}}\jobbra]&=\left[{\begin{mátrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\ sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{mátrix}}\jobbra]-\balra[{ \begin{mátrix}\pi &0&0\\0&\pi &0\\0&0&\pi \\\end{mátrix}}\jobbra]\\&=\left[{\begin{mátrix}\sigma _{11}- \pi &\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}-\pi &\sigma _{23}\\\sigma _{31}& \sigma _{32}&\sigma _{33}-\pi \\\end{mátrix}}\jobbra].\\\vége{igazított}}

Stress deviator tenzor invariánsok

Mivel ez egy második rangú tenzor, a feszültségeltérés-tenzornak is van invariánskészlete, amelyet ugyanazzal az eljárással kaphatunk meg, mint amit a feszültségtenzor invariánsok kiszámításához használtunk. Megmutatható, hogy a feszültségeltérés-tenzor főirányai egybeesnek a feszültségtenzor főirányaival . Így a karakterisztikus egyenletének van alakja $s_{ij}\,\!$ $\sigma _{ij}\,\!$

\left|s_{ij}-\lambda \delta _{ij}\right|=\lambda ^{3}-J_{1}\lambda ^{2}-J_{2}\lambda -J_{ 3}=0,\,

ahol , és a feszültségeltérés tenzorának első, második és harmadik invariánsa. Értékeik azonosak (rögzítettek), függetlenül a kiválasztott koordinátarendszer irányától. A feszültségeltérés-tenzor ezen invariánsai a komponensek vagy főértékei függvényeiként vannak kifejezve , és , vagy hasonló módon a , és főértékei függvényeiként vagy főértékeiként . Valóban $J_{1}\,\!$ $J_{2}\,\!$ $J_{3}\,\!$ $s_{ij}\,\!$ $s_{1}\,\!$ $s_{2}\,\!$ $s_{3}\,\!$ $\sigma _{ij}\,\!$ $\sigma _{1}\,\!$ $\sigma _{2}\,\!$ $\sigma _{3}\,\!$

{\begin{aligned}J_{1}&=s_{kk}=0,\,\\J_{2}&=\textstyle {\frac {1}{2}}s_{ij}s_{ ji}\\&={\tfrac {1}{2}}(s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+s_{3}^{2})\\&={\ tfrac {1}{6}}\left[(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2} +(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}\jobbra]+\sigma _{12}^{2}+\sigma _{23}^{2}+\sigma _{ 31}^{2}\\&={\tfrac {1}{6}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2} -\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]\\&={\tfrac {1}{3}}I_ {1}^{2}-I_{2},\,\\J_{3}&=\det(s_{ij})\\&={\tfrac {1}{3}}s_{ij}s_ {jk}s_{ki}\\&=s_{1}s_{2}s_{3}\\&={\tfrac {2}{27}}I_{1}^{3}-{\tfrac { 1}{3}}I_{1}I_{2}+I_{3}.\,\end{igazított}}

Mivel a feszültségeltérés tenzora a tiszta nyírási állapotnak felel meg. $s_{kk}=0\,\!$

Az ekvivalens feszültségnek vagy von Mises-feszültségnek nevezett mennyiséget általában a szilárd mechanikában használják. Úgy van meghatározva

\sigma _{\mathrm {e} }={\sqrt {3~J_{2))}={\sqrt ({\tfrac {1}{2))~\left[(\sigma _{ 1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1}) ^{2}\jobbra]}}\,.

Oktaéder feszültségek

Ha a főirányokat koordinátatengelynek tekintjük, azt a síkot, amelynek normálvektora minden főtengellyel egyenlő szöget zár be (vagyis iránykoszinusza egyenlő -vel ), oktaédersíknak nevezzük . Összesen nyolc oktaéderes sík van (6. ábra). A feszültségtenzor normál- és nyírókomponenseit ezeken a síkon oktaéderes normálfeszültségeknek, illetve oktaéderes nyírófeszültségeknek nevezzük . $|1/{\sqrt {3}}|\,\!$ $\sigma _{\mathrm {oct} }\,\!$ $\tau _{\mathrm {oct} }\,\!$

Mivel a feszültségtenzor az O pontban (6. ábra) a főtengelyeken egyenlő

\sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0&0\\0&\sigma _{2}&0\\0&0&\sigma _{3}\end{bmatrix}}\, \!

akkor az oktaédersíkon a feszültségvektort a következő képlet adja meg:

{\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _ {j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _ {3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1} +\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{igazított}}\,\!

A feszültségvektor normálkomponense az O pontban, az oktaédersíkhoz társítva egyenlő

{\begin{aligned}\sigma _{\mathrm {oct} }&=T_{i}^{(n)}n_{i}\\&=\sigma _{ij}n_{i}n_ {j}\\&=\sigma _{1}n_{1}n_{1}+\sigma _{2}n_{2}n_{2}+\sigma _{3}n_{3}n_{3 }\\&={\tfrac {1}{3}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})={\tfrac {1}{3}}I_{ 1}\end{igazított}}\,\!

amely megegyezik az átlagos normálfeszültséggel vagy hidrosztatikus feszültséggel. Ez az érték mind a nyolc oktaéderes síkon azonos. A nyírófeszültség az oktaéder síkban ekkor egyenlő

{\begin{aligned}\tau _{\mathrm {oct} }&={\sqrt {T_{i}^{(n)}T_{i}^{(n)}-\sigma _{ \mathrm {n} }^{2}}}\\&=\left[{\tfrac {1}{3}}(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2 }+\sigma _{3}^{2})-{\tfrac {1}{9}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2} \right]^{1/2}\\&={\tfrac {1}{3}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _ {2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\jobbra]^{1/2}={\tfrac {1 }{3}}{\sqrt {2I_{1}^{2}-6I_{2}}}={\sqrt {{\tfrac {2}{3}}J_{2}}}\end{igazított} }\,\!

A feszültségek ábrázolásának alternatív módjai

A stressz ábrázolásának további hasznos módjai közé tartozik az első és második Piola-Kirchhoff feszültségtenzor, a Biot feszültségtenzor és a Kirchhoff feszültségtenzor.

Piola-Kirchhoff feszültségtenzor

Véges alakzatok esetén a Piola-Kirchhoff feszültségtenzorok valamilyen referenciakonfigurációhoz képest fejezik ki a feszültséget. Ez ellentétben áll a Cauchy feszültségtenzorral, amely az aktuális konfigurációhoz viszonyított feszültséget fejezi ki. Infinitezimális deformációk és elforgatások esetén a Cauchy-tenzorok és a Piola-Kirchhoff-tenzorok azonosak.

Mivel a Cauchy-féle feszültségtenzor az aktuális konfiguráció feszültségeit viszonyítja, a deformációs gradienst és a deformációs tenzort a test mozgásának egy referenciakonfigurációval való összehasonlításával írják le; így nem minden, az anyag állapotát leíró tenzor van referencia vagy aktuális konfigurációban. A feszültségek, alakváltozások és alakváltozások referencia- vagy aktuális konfigurációban való leírása leegyszerűsítené a konstitutív modellek meghatározását (például a Cauchy-féle feszültségtenzor a tiszta forgás egyik változata, míg a nyúlási tenzor invariáns; így problémák merülnek fel a konstitutív definiálása során modell, amely egy változó tenzort úgy viszonyít, hogy tiszta forgatás esetén invariáns; mivel a definíció szerint a konstitutív modelleknek invariánsnak kell lenniük tiszta forgatás esetén). Az 1. Piola-Kirchhoff feszültségtenzor, az egyik lehetséges megoldás erre a problémára. Tenzorok családját határozza meg, amelyek leírják a test konfigurációját annak jelenlegi vagy referenciaállapotában. ${\boldsymbol {\sigma ))$ ${\boldsymbol {P}}$

Az 1. Piola-Kirchhoff feszültségtenzor az aktuális ("térbeli") konfigurációban lévő erőket a referencia ("anyag") konfigurációban lévő területekhez viszonyítja. ${\boldsymbol {P}}$

{\boldsymbol {P}}=J~{\boldsymbol {\sigma }}~{\boldsymbol {F}}^{-T}~

hol van a deformációs gradiens és a Jacobi - determináns . ${\boldsymbol {F}}$ $J=\det {\boldsymbol {F}}$

Az ortonormális bázishoz viszonyított komponensek tekintetében az első Piola-Kirchhoff feszültségtenzort a

P_{iL}=J~\sigma _{ik}~F_{Lk}^{-1}=J~\sigma _{ik}~{\cfrac {\partial X_{L)){\partial x_{k}}}~\,\!

Mivel különböző koordinátarendszereket kapcsol össze, az első Piola-Kirchhoff feszültségtenzor egy kétpontos tenzor. Általában szimmetrikus. Az első Piola–Kirchhoff feszültségtenzor az egydimenziós mérnöki feszültségfogalom háromdimenziós általánosítása.

Ha a közeg a feszültségállapot megváltoztatása nélkül forog (merev forgás), akkor az 1. Piola-Kirchhoff feszültségtenzor összetevői a közeg orientációjától függően változnak.

A második Piola-Kirchhoff feszültségtenzor

Míg az 1. Piola-Kirchhoff feszültségtenzor az aktuális konfigurációban lévő erőket a referenciakonfiguráció tartományaihoz viszonyítja, a 2. Piola-Kirchhoff feszültségtenzor a referenciakonfigurációban lévő erőket a referencia konfigurációban lévő tartományokhoz viszonyítja. A referenciakonfigurációban lévő erőt egy olyan leképezéssel számítják ki, amely megőrzi az erő iránya és a referenciakonfigurációban lévő terület normálértéke közötti relatív kapcsolatot. ${\bold symbol {S}}$

{\boldsymbol {S}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}~ .

Index jelölésben az ortonormális alaphoz képest

S_{IL}=J~F_{Ik}^{-1}~F_{Lm}^{-1}~\sigma _{km}=J~{\cfrac {\partial X_{I)) {\partial x_{k))}~{\cfrac {\partial X_{L)){\partial x_{m))}~\sigma _{km}\!\,\!

Ez egy szimmetrikus egypontos tenzor.

Ha a közeg a feszültségi állapot megváltoztatása nélkül forog (merev forgás), akkor a 2. Piola-Kirchhoff feszültségtenzor összetevői állandóak maradnak, függetlenül az anyag orientációjától.

Linkek

↑ Gordon, JE Structures vagy Miért nem esnek le a dolgok. — 2. Da Capo Press. - Cambridge, MA: Da Capo Press, 2003. - ISBN 0306812835 .
↑ Marchetti, M.C. (2013). „Lágy aktív anyag hidrodinamikája”. Szemle a modern fizikáról . 85 (3): 1143-1189. DOI : 10.1103/RevModPhys.85.1143 .
↑ Sharma, B és Kumar, R "Hígított gázok térfogati viszkozitásának becslése nem egyensúlyi molekuladinamikai megközelítéssel." Physical Review E ,100, 013309 (2019)
↑ 12 tömeg _
↑ 1 2 3 4 Atanackovic
↑ Smith és Truesdell, 1993 , p. 97
↑ Vágás
↑ 1 2 3 Chen és Han, 2007
↑ 123 Irgens _ _
↑ 1 2 3 Liu
↑ 12 Chadwick _
↑ Lubliner
↑ Truesdell és Topin, 1960
↑ Gomba
↑ Basar
↑ Hjelmstad
↑ Hamrock
↑ Wu
↑ Chatterjee
↑ Jaeger
↑ Ameen, 2005
↑ Prager

Irodalom

Ameen, Mohammed. Számítási rugalmasság: rugalmasságelmélet és véges- és határelem-módszerek . - Alpha Science Int'l Ltd., 2005. - P. 33-66. — ISBN 1-84265-201-X .
Atanackovic, Teodor M. Rugalmasságelmélet tudósok és mérnökök számára . - Springer, 2000. - P. 1-46. — ISBN 0-8176-4072-X .
Sör, Ferdinand Pierre. Anyagmechanika . - McGraw-Hill Professional, 1992. - ISBN 0-07-112939-1 .
Brady, BHG Rock Mechanics a földalatti bányászathoz . — Harmadik. - Kluwer Akadémiai Kiadó, 1993. - P. 17–29. - ISBN 0-412-47550-2 .
Chadwick, Péter. Kontinuummechanika: tömör elmélet és problémák . - 2. - Dover Publications, 1999. - P. 90-106. — ISBN 0-486-40180-4 .
Chakrabarty, J. A plaszticitás elmélete . - 3. - Butterworth-Heinemann, 2006. - P. 17–32. - ISBN 0-7506-6638-2 .
Chatterjee, Rabindranath. A kontinuummechanika matematikai elmélete . - Alpha Science Int'l Ltd., 1999. - P. 111-157. — ISBN 81-7319-244-8 .
Chen, Wai-Fah. Plasztikusság szerkezeti mérnökök számára / Wai-Fah Chen, Da-Jian Han. - J. Ross Kiadó, 2007. - P. 46-71. — ISBN 1-932159-75-4 .
Chou, Pei Chi. Rugalmasság: tenzoros, diadikus és mérnöki megközelítések . - Dover Publications, 1992. - P. 1-33. - ISBN 0-486-66958-0 .
Davis, R. O. Rugalmasság és geomechanika . - Cambridge University Press, 1996. - P. 16-26. - ISBN 0-521-49827-9 .
Dieter, G.E. (3 kiadás). (1989). Mechanikai Kohászat . New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-100406-8 .
Fung, Yuan-cheng. Klasszikus és számítási szilárdtestmechanika . – World Scientific, 2001. – P. 66–96. - ISBN 981-02-4124-0 .
Hamrock, Bernard. A gépelemek alapjai . - McGraw-Hill, 2005. - P. 58-59. — ISBN 0-07-297682-9 .
Hjelmstad, Keith D. A szerkezeti mechanika alapjai . - 2. - Springer, 2005. - P. 103-130. — ISBN 0-387-23330-X .
Holtz, Robert D. Bevezetés a geotechnikai tervezésbe . - Prentice-Hall, 1981. - ISBN 0-13-484394-0 .
Irgens, Fridtjov. Continuum mechanika . – Springer, 2008. – P. 42–81. — ISBN 3-540-74297-2 .
Jaeger, John Conrad. A kőzetmechanika alapjai . — Negyedik. - Wiley-Blackwell, 2007. - P. 9-41. — ISBN 0-632-05759-9 .
Jones, Robert Millard. A plaszticitás deformációelmélete . - Bull Ridge Corporation, 2008. - P. 95–112. - ISBN 0-9787223-1-0 .
Jumikis, Alfreds R. Elméleti talajmechanika: gyakorlati alkalmazásokkal a talajmechanikában és az alapozásban . - Van Nostrand Reinhold Co., 1969. - ISBN 0-442-04199-3 .
Landau, LD és EMLifshitz. (1959). Rugalmasság elmélete .
Szerelem, A.E.H. (4. kiadás). (1944). Értekezés a rugalmasság matematikai elméletéről . New York: Dover Publications. ISBN 0-486-60174-9 .
Liu, I-Shih. Continuum mechanika . - Springer, 2002. - P. 41-50. — ISBN 3-540-43019-9 .
Lubliner, Jacob. Plaszticitáselmélet (átdolgozott kiadás) . - Dover Publications, 2008. - ISBN 0-486-46290-0 . Archivált: 2010. március 31. aWayback Machine
Mase, George E. Continuum Mechanics . - McGraw-Hill, 1970. - P. 44-76. — ISBN 0-07-040663-4 .
Mase, G. Thomas. Continuum Mechanics for Engineers . — Másodszor. - CRC Press, 1999. - P. 47-102. — ISBN 0-8493-1855-6 .
Marsden, JE A rugalmasság matematikai alapjai . - Dover Publications, 1994. - P. 132-142. — ISBN 0-486-67865-2 .
Parry, Richard Hawley Grey. Mohr-körök, stresszpályák és geotechnika . - 2. - Taylor & Francis, 2004. - P. 1–30. - ISBN 0-415-27297-1 .
Prager, William. Bevezetés a kontinua mechanikájába . - Dover Publications, 2004. - P. 43-61. — ISBN 0-486-43809-0 .
Rees, David. Alapvető mérnöki plaszticitás – Bevezetés a mérnöki és gyártási alkalmazásokba . – Butterworth-Heinemann, 2006. – P. 1–32. — ISBN 0-7506-8025-3 .
Smith, Donald Ray. Bevezetés a kontinuummechanikába – Truesdell és Noll nyomán . - Springer, 1993. - ISBN 0-7923-2454-4 .
Timosenko , Stephen P. A rugalmasság elmélete. — Harmadik. - McGraw-Hill International Editions, 1970. - ISBN 0-07-085805-5 .
Timoshenko, Stephen P. Az anyagok szilárdságának története: a rugalmasságelmélet és a szerkezetelmélet történetének rövid ismertetésével. - Dover Publications, 1983. - ISBN 0-486-61187-6 .
Wu, Han-Chin. Kontinuum mechanika és plaszticitás . – CRC Press, 2005. – P. 45–78. — ISBN 1-58488-363-4 .
C. Truesdell és R. A. Topin. A klasszikus terepelméletek // Fizikai Enciklopédia. - Berlin: Springer-Verlag, 1960. - 20. évf. III/I.