Négyzet

Négyzet
$S$ , fr. felszínes
Dimenzió	l²
Egységek
SI	m²
GHS	cm²
Megjegyzések
skalár

Terület – szűken értelmezve az ábra területe – a lapos geometriai alakzatok egy bizonyos osztályára bevezetett numerikus jellemző (történelmileg sokszögeknél , majd a fogalmat kiterjesztették a négyzet alakú alakzatokra is), és egy terület [1] . Ezekből a tulajdonságokból intuitív módon az következik, hogy egy figura nagyobb területe megfelel a „nagyobb méretének” (például egy papírból kivágott nagyobb területű négyzet teljesen lefedhet egy kisebb négyzetet), és Egy ábra megbecsülhető úgy, hogy a rajzán egy azonos vonalakat képező vonalak rácsát rakjuk egymásra. négyzetek ( területegységek ), és megszámoljuk az ábrán belülre eső négyzetek számát és azok arányát [2](jobb oldali képen). Tágabb értelemben a terület fogalmát általánosítják [1] az n - dimenziós tér k - dimenziós felületeire ( euklideszi vagy riemann ), különösen a háromdimenziós tér kétdimenziós felületére .

Történelmileg a terület számítását kvadratúrának hívták . A terület fajlagos értéke az egyszerű ábrák esetében egyértelműen következik az ehhez a fogalomhoz kapcsolódó, gyakorlatilag fontos követelményekből ( lásd alább ). Az azonos területű ábrákat egyenlő területeknek nevezzük.

A geometriai alakzatok területének kiszámításának általános módszere az integrálszámítás . A terület fogalmának általánosítása a halmazmérték elmélete lett , amely a geometriai objektumok szélesebb osztályára alkalmas.

A terület hozzávetőleges kiszámításához a gyakorlatban palettát vagy speciális mérőeszközt használnak - egy planimétert .

A terület fogalmának meghatározása

Tulajdonságok

A terület egy függvény, amely a következő tulajdonságokkal rendelkezik [3] [1] :

A pozitivitás, vagyis a terület egy nem negatív ( skaláris ) mennyiség;
Additivitás , azaz az ábra területe megegyezik a közös belső pontok nélküli, alkotó alakzatok területének összegével;
Az invariancia, vagyis az egybevágó alakzatok területei egyenlőek;
Normalizált, azaz egy egységnégyzet területe 1.

A terület ezen meghatározásából a monotonitása következik, vagyis az ábra egy részének területe kisebb, mint a teljes ábra területe [3] .

Négyzetes alakok

Kezdetben a terület definícióját sokszögekre fogalmazták meg , majd kiterjesztették négyzet alakú figurákra. A sokszögbe írható és sokszöget beírható alakzatot négyzetes alaknak nevezzük, és mindkét sokszög területe tetszőlegesen kis mértékben tér el egymástól. Az ilyen számokat Jordan mérhetőnek is nevezik [1] . A síkban lévő olyan ábrák esetében, amelyek nem egész számú egységnégyzetből állnak , a területet a határértékhez való áthaladás alapján határozzuk meg ; szükséges, hogy mind az ábra, mind a határa darabonként sima legyen [4] . Vannak nem négyzetes síkfigurák [1] . A síkfigurák esetében javasolt terület fentebb javasolt axiomatikus meghatározása általában kiegészül egy konstruktív definícióval, amelyben a terület tényleges számítása paletta segítségével történik. Ugyanakkor a további lépésekben történő pontosabb számítások érdekében olyan palettákat használnak, amelyekben a négyzet oldalának hossza tízszer kisebb, mint az előző paletta [5] .

A négyzet alakú síkfigura területe létezik és egyedi. A terület fogalma általánosabb halmazokra kiterjesztve a Lebesgue mérhető halmazok meghatározásához vezetett , ami a mértékelmélet feladata . A jövőben olyan általánosabb osztályok keletkeznek, amelyek számára a terület adottságai nem garantálják annak egyediségét [1] .

Általános módszer a terület meghatározására

Egy síkidom területe

A gyakorlatban leggyakrabban egy behatárolt ábra területét darabonként sima határvonallal kell meghatározni. A matematikai elemzés egy univerzális módszert kínál az ilyen problémák megoldására.

Derékszögű koordináták

Az intervallumon lévő folytonos függvény grafikonja és a vízszintes tengely közé bezárt terület ennek a függvénynek a határozott integráljaként számítható ki : $[a,b]$

S=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx

Az intervallumon két folytonos függvény grafikonjai közé bezárt terület e függvények egyes integráljainak különbségeként található: $f(x),\,g(x)$ $[a,b]$

$S=\int \limits _{a}^{b}\left|f(x)-g(x)\right|\,dx$

Poláris koordináták

Polárkoordinátákban : a függvény és a sugarak grafikonja által határolt terület a következő képlettel számítható ki: $r=r(\théta)$ $\theta =\theta _{1},\theta =\theta _{2},\theta _{1}<\theta _{2}$

S={1 \over 2}\int \limits _{{\theta _{1}}}^{{\theta _{2}}}r^{2}(\theta )\,d\theta

Felületi terület

A háromdimenziós térben egy darabonként sima felület területének meghatározásához minden pontban az érintősíkokra merőleges vetületeket használnak, amelyek után a határértékre való áthaladást hajtják végre. Ennek eredményeként az A görbe felület vektorfüggvény által adott területét a kettős integrál adja meg [1] : ${\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(u,v),$

S=\iint \limits _{A}\left|{\frac {\partial {\mathbf {r}}}{\partial u}}\times {\frac {\partial {\mathbf {r}}}{ \partial v}}\right|\,du\,dv.

Ugyanez koordinátákban:

S=\iint \limits _{A}{\sqrt {\left({\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\ frac {D(y,z)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D(z,x)}{D(u,v)))\ jobb)^{2))\;{\mathrm {d}}\,u\,{\mathrm {d}}\,v

itt . ${\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}y'_{u}&y'_{v}\\z'_{u}&z'_ {v}\end{vmátrix)),\quad {\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}z'_{u}&z'_{v }\\x'_{u}&x'_{v}\end{vmátrix)),\quad {\frac {D(x,y)}{D(u,v)))={\begin{vmátrix ) }x'_{u}&x'_{v}\\y'_{u}&y'_{v}\end{vmatrix}}$

Területelmélet

A területelmélet a k-dimenziós terület definíciójának kiterjesztésével kapcsolatos általánosítások vizsgálatával foglalkozik a darabonkénti sima merítésről az általánosabb terekre. A darabonként sima f bemerüléshez a területet a fentebb jelzetthez hasonló módon határozzuk meg, miközben a terület megtartja az olyan tulajdonságokat, mint a pozitivitás, additivitás , normalizálás, valamint számos új tulajdonság.

Terület mértékegységei

Metrikus mértékegységek

A négyzetméter , a Nemzetközi Mértékegységrendszer (SI) származtatott mértékegysége ; 1 m² = 1 sa ( santiar );
Négyzetkilométer , 1 km² = 1 000 000 m²;
Hektár , 1 ha = 10 000 m²;
Ar (szövés), 1 a \u003d 100 m²:
Négyzet deciméter , 100 dm² = 1 m²;
Négyzetcentiméter , 10 000 cm² = 1 m²;
Négyzetmilliméter , 1 000 000 mm² = 1 m²;
Pajta , 1 b \u003d 10 -28 m².

Orosz elavult

Négyzetszög = 1,13806 km²
Tized = 10925,4 m²
Széna = 0,1 tized - a széna kaszálását szénában mérték
Sazhen négyzet = 4,55224 m²

Az adószámításban a föld mértéke a üvöltés, az eke, az obzha volt, amelyek mérete a föld minőségétől és a tulajdonos társadalmi helyzetétől függött. Különféle helyi mértékek is voltak: dobozok, kötél, telek stb.

Ősi

Egyéb

Acre
Paradicsom = 1600 m² (40 m × 40 m).
négyzet parszek
Planck terület ( ) ≈ 2,612099 10 −70 m 2 $S_{P},{\ell }_{{P}}^{{2}}$

Képletek a legegyszerűbb alakzatok területeinek kiszámításához

Sokszögek

Ábra	Képlet	Változók
derékszögű háromszög	$a^{2}{\frac {\sqrt {3}}{4}}$	$a$ - a háromszög oldalának hossza
Derékszögű háromszög	${\frac {ab}{2))$	$a$ és - a háromszög lábai $b$
Önkényes háromszög	${\frac {1}{2}}ah$	$a$ - a háromszög oldala, - az erre az oldalra húzott magasság $h$
	${\frac {1}{2}}ab\sin \alpha$	$a$ és - bármely két oldal, - a köztük lévő szög $b$ $\alpha$
	${\sqrt {p(pa)(pb)(pc)))$ ( Gém képlete )	$a$ , és a háromszög oldalai, a félperiméter $b$ $c$ $p$ $\left(p={\frac {a+b+c}{2}}\jobb)$
	${\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{ vmatrix}}$	$(x_{0};y_{0})$ _ _ _ $(x_{1};y_{1})$ $(x_{2};y_{2})$
Négyzet	$a^2$	$a$ - a négyzet oldalhossza
Téglalap	$ab$	$a$ és a téglalap oldalainak hossza (hossza és szélessége) $b$
Rombusz	${\frac {1}{2}}cd$	$c$ és a rombusz átlóinak hossza $d$
Paralelogramma	$Ah$	$a$ és - az oldal hossza és a ráeresztett magassága, ill $h$
Paralelogramma	$ab\sin\alpha$	$a$ és - a paralelogramma szomszédos oldalai, - a köztük lévő szög $b$ $\alpha$
Trapéz	${\frac {1}{2}}(a+b)h$	$a$ és - a trapéz alapja, - a trapéz magassága $b$ $h$
Önkényes négyszög	${\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)-abcd\cos \alpha }}$ ( Brahmagupta képlet )	$a$ , , , a négyszög oldalai, a fél kerülete, a négyszög szemközti szögeinek fele összege $b$ $c$ $d$ $p$ $\alpha$
Szabályos hatszög	$a^{2}{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}$	$a$ a hatszög oldalának hossza
Szabályos nyolcszög	$2a^{2}(1+{\sqrt {2)))$	$a$ a nyolcszög oldalának hossza
szabályos sokszög	${\frac {P^{2}/n}{4\operatorname {tg}(\pi /n)))$	$P$ - kerület, - oldalak száma $n$
Tetszőleges sokszög (konvex és nem konvex)	${\frac {1}{2}}\left\|\sum _{{i=1}}^{{n}}(x_{{i+1}}-x_{i})(y_{{i+ 1 }}+y_{i})\right\|$ ( trapéz módszer )	$(x_{i};y_{i})$ a sokszög csúcsainak koordinátái a kihagyás sorrendjében, az utolsót az elsővel zárva: ; ha vannak lyukak, akkor azok megkerülésének iránya ellentétes a sokszög külső határának megkerülésével $(x_{{n+1}};y_{{n+1}})=(x_{1};y_{1})$
Tetszőleges sokszög (konvex és nem konvex)	Sokszögek területének számítása Sarron módszere szerint [6] . Van egy analitikai képlet.	Adott a sokszög oldalainak hossza és az oldalak irányszögei

A kör területei, részei, körülírt és beírt ábrák

Ábra	Képlet	Változók
Egy kör	$\pi r^{2}$ vagy ${\frac {\pi d^{2}}{4}}$	$r$ - sugár, - kör átmérő $d$
kör szektor	${\frac {\alpha r^{2}}{2}}$	$r$ a kör sugara, a szektor középponti szöge ( radiánban ) $\alpha$
körszakasz	${\frac {r^{2}}{2}}(\alpha -\sin \alpha )$	$r$ a kör sugara, a szakasz középponti szöge ( radiánban ) $\alpha$
Ellipszis	$\pi ab$	$a$ , az ellipszis nagy és kis féltengelyei $b$
Körbe írt háromszög	${\frac {abc}{4R))$	$a$ , és a háromszög oldalai, a körülírt kör sugara $b$ $c$ $R$
Körbe írt négyszög	${\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)))$ ( Brahmagupta képlet )	$a$ , , , a négyszög oldalai, a fél kerülete $b$ $c$ $d$ $p$
Kör körül körülírt sokszög	${\frac {1}{2}}Pr$	$r$ - a sokszögbe írt kör sugara, - a sokszög kerülete $P$
Kör körül körülírt téglalap alakú trapéz	$ab$	$a$ , - a trapéz alapjai $b$

A testek felületi területei a térben

Test	Képlet	Változók
Egy jobb oldali körhenger teljes felülete	$2\pi r(r+h)$	$r$ és a sugár, illetve a magasság $h$
Egy jobb oldali körhenger oldalfelülete	$2\pi rh$	$r$ és a sugár, illetve a magasság $h$
Egy jobb oldali körkúp teljes felülete	$\pi r(l+r)$	$r$ és az oldalfelület sugara, illetve generatrixa $l$
Egy jobb oldali körkúp oldalfelülete	$\pi rl$	$r$ és az oldalfelület sugara, illetve generatrixa $l$
Egy gömb ( golyó ) felülete	$4\pi r^{2}$ vagy $\pi d^{2}$	$r$ és a sugár, illetve az átmérő $d$
Egyenes prizma oldalfelülete	$Ph$	$P$ - alap kerület, - magasság $h$
Egy tetszőleges prizma teljes felülete	${\displaystyle 2A_{1}+A_{2))$	$A_{1}$ - alapterület - oldalfelület $A_{2}$

Történelmi vázlat

Síkfigurák területe

A terület hosszú éveken át elsődleges fogalomnak számított, amely nem igényel definíciót. A matematikusok fő feladata a terület kiszámítása volt, miközben ismertek voltak a terület alapvető tulajdonságai [3] . Az ókori Egyiptomban a téglalapok, derékszögű háromszögek és trapézok területének kiszámításának pontos szabályait használták, egy tetszőleges négyszög területét megközelítőleg az ellentétes oldalpárok fele összegének szorzataként határozták meg. Egy ilyen közelítő képlet alkalmazása annak köszönhető, hogy azok a területek, amelyek területét mérni kellett, többnyire közel voltak a téglalaphoz, és a hiba ebben az esetben kicsi maradt. A. P. Juskevics matematikatörténész azt sugallja, hogy az egyiptomiak nem tudhatták, hogy közelítő képletet használnak. A Rhind papirusz 50. feladata egy képletet tartalmaz egy kör területének kiszámítására, amelyet egyenlőnek tekintettek egy négyzet területével, amelynek oldala a kör átmérőjének 8/9-e [7] . Ugyanezeket a képleteket használták Babilonban is , de a kör területére vonatkozóan a közelítés kevésbé volt pontos. Ezenkívül a babilóniaiak hozzávetőlegesen ki tudták számítani a szabályos öt-, hat- és hétszögek területét , amelyek oldala eggyel egyenlő. A hatéves rendszerben ezek 1,40 , 2,37,20 és 3,41 értékeknek feleltek meg [8] .

A terület kiszámításának fő módszere ebben az esetben egy négyzet felépítése volt, amelynek területe megegyezik az adott sokszögű alak területével, különösen Eukleidész I. könyvében. Az egyenes alakzatok planimetriájának szentelt Beginnings című könyvében bebizonyosodott, hogy egy háromszög egyenlő egy olyan téglalap felével, amelynek alapjai és magasságai egyenlőek [9] . A bővítési módszer, amely azon alapul, hogy két egyforma összetételű ábra egyenlő méretű, lehetővé tette a paralelogrammák és az esetleges sokszögek területeinek kiszámítását is [5] .

A következő lépés a kör, körszektor, lyukak és egyéb figurák területeinek kiszámítása volt. A számítások alapja ebben az esetben a poligonok általi kimerítés módszere [1] [5] , amelyből a határok elmélete származik . A módszer a területek sorozatának felépítéséből áll, amely fokozatos növekedéssel "kimeríti" a szükséges területet. A kimerítési módszer, amely nevét csak a 17. században kapta, az Eudoxus-Arkhimédész folytonossági axiómán alapul, és Cnidus Eudoxusának tulajdonítják , aki megmutatta vele, hogy a körök területei a körök négyzeteiként kapcsolódnak egymáshoz. átmérőjüket. A módszert Euklidész elemei ismertetik: Eudoxus axiómája az V. könyvben van megfogalmazva, magát a kimerítési módszert és az arra épülő összefüggéseket pedig a XII. könyv [9] . A módszer alkalmazásában különös tökéletességet ért el Archimedes , aki segítségével kiszámította egy parabola és mások egy szakaszának területét [10] [11] . Arkhimédész "A spirálokról" című munkája számos kijelentést tartalmaz a spirál különböző fordulatainak területeiről és azok arányairól [12] . Arkhimédész azzal az ötlettel állt elő, hogy mind a beírt, mind a körülírt alakzatok területeit vagy térfogatait használja a szükséges terület vagy térfogat meghatározásához [13] .

Az indiánok eleinte ugyanazt a képletet használták a négyszögek kiszámításához, mint az egyiptomiak és a görögök. Brahmagupta a négyszögek területének képletét használta a fél kerületével kifejezve, ami igaz egy körbe írt négyszögre. A területszámítási képleteket általában nem igazolták, hanem vizuális rajzokkal demonstrálták [14] . Brahmagupta képlete a háromszög területére vonatkozó Heron-képlet analógja , amelyet a "Metrics"-ben [15] idézett .

A kimerülési módszer kialakítása és általánossá válása csak a XVII. 1604-ben Valerio a testek súlypontjáról szóló három könyvében széles körben alkalmazza azt a tételt, amely szerint a paralelogrammákból összeállított beírt és körülírt alakzatok területei közötti különbség bármely adott területnél kisebbre tehető [16]. . Az igazi áttörést Kepler hozta meg , akinek ki kellett tudnia számítani egy ellipszis területét csillagászati számításokhoz. Kepler a területet „egyenesek összegének” tekintette, és az ellipszist egy fokos lépésekben szabályozva megmutatta [17] , hogy . Cavalieri egy hasonló módszert, az úgynevezett " oszthatatlanok módszerét " támasztja alá , összehasonlította a síkidomok területeit a párhuzamos egyenesek által készített ábrametszet segítségével [18] . A legsokoldalúbb módszer az antiderivatív használata egy sík figura területének megkeresésére. Az antiderivált segítségével igazolható a Cavalieri-elv , amely szerint két sík alaknak egyenlő területe van, ha mindegyik egy fixtel párhuzamos egyenest metszve azonos hosszúságú szakaszokat kapunk. Az elv már jóval az integrálszámítás kialakulása előtt ismert volt [1] [5] . $\int \limits _{0}^{\varphi }\sin xdx=1-\cos \varphi$

Felületi terület

Archimedes az ívelt felületek területének kiszámításával foglalkozott, különösen a labda felületének meghatározásával [13] . Általános esetben a felület meghatározásához nem használható sem sweep (gömbhöz nem alkalmas), sem poliéderes felületekkel történő közelítés, vagyis a kimerítési módszer analógja. Ez utóbbit Schwartz mutatta meg úgy, hogy egy henger oldalszekvenciájához szekvenciákat szerkesztett, amelyek különböző eredményekhez vezetnek (az úgynevezett Schwartz-csizma ) [1] [19] .

A 19-20. század fordulóján a felület kiszámításának általános módszerét Minkowski javasolta , aki minden felületre kis állandó vastagságú „burkolóréteget” épített, ekkor a felület megközelítőleg ennek térfogatával lesz egyenlő. réteg osztva a vastagságával. A határértékre való áthaladás, amikor a vastagság nullára hajlik, megadja a terület pontos értékét. Minkowski szerint azonban az additív tulajdonság nem mindig teljesül a területen. Ennek a definíciónak az általánosítása Minkowski és mások [20] szerint a vonal fogalmához vezet .

Jegyzetek

↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Terület // Mathematical Encyclopedia (5 kötetben) . - M . : Szovjet Enciklopédia , 1982. - T. 4.
↑ Csirkova, Natalja Ivanovna és Valentina Nyikolajevna Zinovjeva. Elképzelések formálása az objektumok területéről és annak méréséről általános iskolásoknál Archív példány 2019. április 28-án a Wayback Machine -nél // Bulletin of Kaluga University 1 (2017): 92-97.
↑ 1 2 3 Geometry, 1966 , p. 7-13.
↑ Fikhtengolts G. M. A differenciál- és integrálszámítás menete. - Szerk. 6. - M. : FIZMATLIT, 1966. - T. 2. - S. 186-224. — 800 s.
↑ 1 2 3 4 Boltyansky V. A terület és térfogat fogalmairól. Archiválva : 2017. május 5. itt: Wayback Machine Kvant , No. 5, 1977, pp.2-9
↑ Khrenov L. S. A sokszögek területének kiszámítása Sarron-módszerrel // Matem. oktatás. 1936. 6. szám S. 12-15
↑ A matematika története, I. kötet, 1970 , p. 30-32.
↑ A matematika története, I. kötet, 1970 , p. 47-53.
↑ 1 2 A matematika története, I. kötet, 1970 , p. 111-114.
↑ Kimerülési módszer // Mathematical Encyclopedia (5 kötetben) . - M . : Szovjet Enciklopédia , 1982. - T. 2.
↑ A matematika története, I. kötet, 1970 , p. 101-105.
↑ Boyer és Merzbach, 2010 , p. 127-128.
↑ 1 2 A matematika története, I. kötet, 1970 , p. 117-124.
↑ A matematika története, I. kötet, 1970 , p. 197-198.
↑ Boyer és Merzbach, 2010 , p. 172, 219.
↑ A matematika története, II. kötet, 1970 , p. 131-135.
↑ A matematika története, II. kötet, 1970 , p. 166-171.
↑ A matematika története, II. kötet, 1970 , p. 174-181.
↑ V. N. Dubrovsky, A felszín meghatározásának keresésében 2017. június 27-i archív másolat a Wayback Machine -nél . Kvantum . 1978. 5. szám P. 31-34.
↑ V. N. Dubrovsky, Felületi terület Minkowski szerint Archiválva : 2017. február 15., a Wayback Machine -nél . Kvantum . 1979. No. 4. S.33-35.

Irodalom

Az elemi matematika enciklopédiája. Ötödik könyv. Geometria / szerkesztette: P. S. Aleksandrov , A. I. Markushevich és A. Ya. Khinchin. — M .: Nauka, 1966. — 624 p.
Rashevsky PK Riemann geometria és tenzoranalízis. Szerk. 3., M.: Nauka, 1967.
Fikhtengol'ts G. M. A differenciál- és integrálszámítás menete. - M. : FIZMATLIT, 1960. - T. 2. - 680 p. - ISBN 5-9221-0155-2 .
Matematika története: 3 kötetben / szerkesztette : A. P. Juskevics . - M . : Nauka, 1970. - T. I: Az ókortól az újkor kezdetéig.
Matematika története: 3 kötetben / szerkesztette A. P. Juskevics. - M . : Nauka, 1970. - T. II: A 17. század matematikája.
Boyer CB, Merzbach UC A matematika története . – John Wiley & Sons, 2010. – 640 p. Archiválva : 2019. július 9. a Wayback Machine -nél