Schwarz csizmája

A Schwarz-csizma (a német Schwarzscher Stiefel szóból ) egy körhenger poliéderes felületeket használó közelítéseinek családja .

Ezeknek a közelítéseknek a határterülete tetszőlegesen nagyra tehető. Ez a konstrukció lehetővé teszi, hogy a felületet a benne írt poliéderfelületek területének legkisebb felső korlátjaként határozzuk meg, szemben azzal, hogy egy görbe hossza a görbe legkisebb felső határaként definiálható. beleírt poliéderes felületek hossza.

Történelem

Az építkezést 1890-ben Hermann Schwartz javasolta ellenpéldaként a felület hibás meghatározására Joseph Serret könyvében [1] . Schwartztól függetlenül ugyanazt a példát találta Giuseppe Peano . Tanára , Angelo Genocchi is megvitatta ezt a kérdést Schwartzcal. Genocchi tájékoztatta Charles Hermite -ot, aki Serret hibás definícióját használta kurzusában. Hermite ezután felülvizsgálta tanfolyamát, és előadásainak második kiadásában közzétette Schwartz jegyzetét. [2]

Építkezés

A henger magasságát az alapokkal párhuzamos síkok egyenlő részekre osztják. A szabályos -gonok illeszkednek a kialakított szakaszokba (körök) , a szomszédos -gonok pedig egymáshoz képest olyan szögben vannak elforgatva , hogy a fedő -gon csúcsai az alatta lévő -gon oldalainak felezőpontjai felett legyenek . Ekkor a -gonok csúcsait úgy kapcsoljuk össze, hogy háromszögek felülete alakul ki; minden „rétege” egy antiprizma . Az így kapott poliéder felületet Schwartz-csizmának nevezik . $n$ $k$ $k$ $\pi /k$ $k$ $k$ $k$ $2nk$

Ha , akkor ezeknek a háromszögeknek a méretei tetszőlegesen kicsik lesznek, vagyis a Schwartz csizma a hengerhez hajlik. $n,k\to \infty$

Tulajdonságok

Egy egyszerű számítás ezt mutatja
- amikor a terület, vagyis a Schwartz csizma összes háromszöglapjának területeinek összege a végtelenbe hajlik. $k,n/k^{2}\to \infty$
- Schwarz csomagtartójának területén egy körhenger területére hajlik. $n,k^{2}/n\to \infty$
Ami a belső metrikáját illeti, Schwarz csomagtartója izometrikus egy körhengerhez képest.

Jegyzetek

↑ JA Serret, Cours de calcul differentiel et integral (az első kiadás 296. oldala és a második kiadás 298. oldala)
↑ Schwarz, HA, "Sur une définition erronée de l'aire d'une surface courbe", Gesammelte Mathematische Abhandlungen, 1 (1890), 309-311

Irodalom

Dubrovsky, V.N., A felszín meghatározására keresve , Kvant . - 1978. - 5. sz. - S. 31-34.
Fikhtengol'ts, G. M. A differenciál- és integrálszámítás menete. - M .: Mir , 1969. - T. 3.(623. §).