Algebrai számmező diszkrimináns

Az algebrai számmező diszkriminánsa egy száminvariáns , amely durván szólva egy algebrai számmező méretét ( integers ) méri. Pontosabban, ez arányos az egész számok gyűrűjének alapterületének térfogatának négyzetével , és meghatározza, hogy melyik prímszám ága .

A diszkrimináns a számmező legfontosabb invariánsa, és megjelenik néhány fontos analitikai képletben, például egy K mező Dedekind zéta függvényének funkcionális egyenletében és a K mező osztályainak számának képletében. . A régi Hermite -tétel kimondja, hogy csak véges számú számmező létezik korlátos diszkriminánssal, de ennek a számnak a meghatározása továbbra is nyitott probléma , és kutatás tárgya [1] .

A K mező diszkriminánsát a K mező abszolút diszkriminánsának nevezhetjük , hogy meg lehessen különböztetni a számmezők K / L kiterjesztésének relatív diszkriminánsától . Ez utóbbi ideális az L mező egész számainak gyűrűjében, és az abszolút diszkriminánshoz hasonlóan megmutatja, hogy melyik prímszám ágazik el K / L -ben . Ez az abszolút diszkrimináns általánosítása, amely lehetővé teszi, hogy az L mező nagyobb legyen, mint . Valójában amikor , a relatív diszkrimináns a K mező abszolút diszkriminánsa által generált gyűrű főideálja . $\mathbb {Q}$ $L=\mathbb {Q}$ $K/\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z}$

Definíció

Legyen K algebrai számmező, O K pedig egész számokból álló gyűrűje . Legyen az O K gyűrű integrálbázisa (azaz egy bázis mint Z -modul ), és legyen a K mező komplex számok beágyazódásainak halmaza (vagyis gyűrűk injektív homomorfizmusai ). A K mező diszkriminánsa egyenlő a B mátrix n x n determinánsának négyzetével , amelynek ( i , j )-elemei egyenlők -vel . szimbolikus formában, ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n))$ $\{\sigma _{1},\dots ,\sigma _{n}}\}$ $K\rightarrow \mathbb {C}$ $\sigma _{i}(b_{j})$

\Delta _{K}=\det \left({\begin{array}{cccc}\sigma _{1}(b_{1})&\sigma _{1}(b_{2})& \cdots &\sigma _{1}(b_{n})\\\sigma _{2}(b_{1})&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\vdots \\\sigma _ {n}(b_{1})&\cdots &\cdots &\sigma _{n}(b_{n})\end{array}}\right)^{2}.

Ezzel egyenértékűen használhatjuk a K -től a -ig tartó nyomkövetést . Konkrétan a nyomformát olyan mátrixként definiáljuk, amelynek ( i , j )-elemei egyenlőek -vel . Ez a mátrix egyenlő B T B -vel , tehát a K mező diszkriminánsa ennek a mátrixnak a determinánsa. $\mathbb {Q}$ $\mathbf {Tr} _{K/\mathbb {Q} }(b_{i}b_{j})$

Példák

Másodfokú számmezők : legyen d négyzet nélküli szám , akkor a mező diszkriminánsa [ 2] $K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d)))$

\Delta _{K}=\left\{{\begin{array}{ll}d&d\equiv 1{\pmod {4}}\\4d&d\equiv 2,3{\pmod {4}}. \\\end{tömb}}\jobbra.

A másodfokú számmező diszkriminánsaként megjelenő egész számot alapvető diszkriminánsnak nevezzük [3] .

Körmezők : legyen n > 2 egy egész szám, legyen az egység primitív n- edik gyöke , és legyen az n- edik körmező. A meződiszkriminánst a következő képlet adja meg: [2] [4] $\zeta _{n}$ $K_{n}=\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ $K_n$

{\displaystyle \Delta _{K_{n}}=(-1)^{\varphi (n)/2}{\frac {n^{\varphi (n)}}{\displaystyle \prod _{p| n}p^{\varphi (n)/(p-1)))))

ahol az Euler-függvény , és a nevezőben lévő szorzat minden p prímszámon fut, osztva n -t .

\varphi (n)

Hatványalapok: Abban az esetben, ha az egész számok gyűrűjének hatványalapja , azaz így írható fel, akkor a K mező diszkriminánsa egyenlő a -ben lévő minimális polinom diszkriminánsával . Ennek megtekintéséhez kiválaszthatjuk, hogy a gyűrű egész alapja legyen . Ekkor a definícióban szereplő mátrix a -hoz társított Vandermonde-mátrix , amelynek a determináns négyzete $O_{K}=\mathbb {Z} [\alpha ]$ $\alpha$ $O_{K}$ ${\displaystyle b_{1}=1,b_{2}=\alpha ,b_{3}=\alpha ^{2},\dots ,b_{n}=\alpha ^{n-1))$ $\alpha _{i}=\sigma _{i}(\alpha )$

{\displaystyle \prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2))

ami pontosan megegyezik egy minimális polinom diszkriminánsának definíciójával.

Legyen a polinom gyökének összeadásával kapott számmező . Ez a példa Dedekind eredeti példája egy olyan számmezőre, amelynek egész számok gyűrűjének nincs hatványalapja. Az egész bázist így adjuk meg , a K mező diszkriminánsa pedig −503 [5] [6] . $K=\mathbb {Q} (\alpha )$ $\alpha$ $x^{3}-x^{2}-2x-8$ ${\displaystyle \{1,\alpha ,\alpha (\alpha +1)/2\))$
Duplikált diszkriminánsok: A másodfokú mező diszkriminánsa egyedileg határozza meg, de ez általában nem igaz a magasabb fokú numerikus mezőkre. Például van két nem izomorf köbmező [ 3969 diszkriminánssal. Ezeket az x 3 − 21 x + 28 vagy x 3 − 21 x − 35 polinom gyökének összeadásával kapjuk [7] .

Fő eredmények

Brill tétel [8] : A diszkrimináns előjele , ahol r 2 a K mező komplex pontjainak száma [9] . ${\megjelenítési stílus (-1)^{r_{2))}$
Egy p prímszám akkor és csak akkor ágazik el K -ben , ha p osztja [10] . $\Delta _{K}$
Stickelberger tétele [11] :

\Delta _{K}\equiv 0

vagy

1{\pmod {4)).

Minkowski kötött [12] : Jelöljenakiterjesztésének fokát ,r2Kmező komplex helyeinek számát, akkor $K/\mathbb {Q}$

|\Delta _{K}|^{1/2}\geqslant {\frac {n^{n}}{n!)}}\left({\frac {\pi }{4}}\ jobbra )^{r_{2}}\geqslant {\frac {n^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi }{4}}\jobbra)^{n/2}.

Minkowski tétele [13] : Ha K nem egyenlő akkor (ez közvetlenül következik a Minkowski-korlátból). $\mathbb {Q}$ $|\Delta _{K}|>1$
Hermite-Minkowski tétel [14] : LegyenNpozitív egész szám. A Kalgebrai számmezőknek csak véges számú (izomorfizmusig)van. Ez ismét a Minkowski-korlátból következik, és Hermite tételével együtt (hogy csak véges számú algebrai mező van előírt diszkriminánssal). $|\Delta _{K}|<N$

Történelem

A K általános algebrai számmező diszkriminánsának meghatározását Dedekind adta meg 1871-ben [15] . Ekkor már tudott a diszkrimináns és az elágazás kapcsolatáról [16] .

Hermite tétele megelőzte a diszkrimináns általános definícióját és bizonyítását Charles Hermite publikálta 1857-ben [17] . 1877-ben Alexander von Brill meghatározta a determináns jelét [18] . Leopold Kronecker 1882-ben fogalmazta meg Minkowski tételét [19] , bár Hermann Minkowski csak 1891-ben adta meg a bizonyítékát [20] . Ugyanebben az évben Minkowski közzétette a determinánsra vonatkozó kötését [21] . A tizenkilencedik század végére Stickelberger Ludwig megkapta a négyes modulo [22] [23] diszkrimináns maradéktételt .

Relatív diszkrimináns

A fent definiált diszkriminánst néha a K mező abszolút diszkriminánsának is nevezik, hogy megkülönböztessük a K / L számmezőkiterjesztés relatív diszkriminánsától , ami az OL -ban ideális . A relatív diszkriminánst ugyanúgy definiáljuk, mint az abszolút diszkriminánst, de figyelembe kell venni, hogy az O L -beli ideál nem lehet fő, és az O L nem lehet az O K alapja . Legyen K beágyazásainak halmaza -be , amelyek L egységei . Ha egy K mező valamilyen bázisa L felett , akkor legyen ) egy n x n mátrix determinánsának négyzete, amelynek ( i , j )-elemei egyenlőek -vel . Ekkor a K / L kiterjesztés relatív diszkriminánsa az által generált ideál , ahol a K / L kiterjesztés összes egész bázisán végigfut . (azaz bázisok felett azzal a tulajdonsággal, hogy minden i .) Alternatív megoldásként a K / L kiterjesztés relatív diszkriminánsa megegyezik a trim K / L [24] normájával ] . Amikor a relatív diszkrimináns az abszolút diszkrimináns által generált gyűrű főideálja . A K / L / F mezők tornyában a relatív diszkriminánsok összefüggenek $\Delta _{K}/L$ $\{\sigma _{1},\dots ,\sigma _{n}}\}$ $\mathbb {C}$ ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n))$ ${\displaystyle d(b_{1},\dots ,b_{n))$ $\sigma _{i}(b_{j})$ $d(b_{1},\dots ,b_{n})$ $\{b_{1},\dots ,b_{n}\}$ $b_{i}\in O_{K}$ $L=\mathbb {Q}$ $\Delta _{K/\mathbb {Q} }$ $\mathbb {Z}$ $\Delta _{K}$

\Delta _{K/F}={\mathcal {N}}_{L/F}\left({\Delta _{K/L}}\right)\Delta _{L/F}^ {[K:L]}

ahol a relatív normát jelöli [25] [26] . $\mathcal{N}$

Elágazás

A relatív diszkriminans határozza meg a K / L mezőkiterjesztés elágazását . Egy L mező p főideálja akkor és csak akkor ágazik K -be , ha osztja a relatív diszkriminánst . Egy kiterjesztés akkor és csak akkor ágazik el, ha a diszkrimináns az egységideális [24] . A fenti Minkowski-kötés azt mutatja, hogy nincsenek nem triviális, elágazó mezőbővítmények . A , nagyobb mezőknek nem elágazó kiterjesztései lehetnek. Például minden olyan mező esetében, amelyben az osztályok száma nagyobb, mint egy, a Hilbert-osztály mezője egy nem triviális, szétágazó kiterjesztés. $\Delta _{K/L}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$

Gyökér diszkrimináns

Az n fokú K számmező gyökdiszkriminánsát, amelyet gyakran rd K -vel jelölnek, a K mező (abszolút) diszkriminánsának abszolút értékének n- edik gyökeként határozzuk meg [27] . A relatív diszkriminánsok közötti kapcsolat a mezőtoronyban azt mutatja, hogy a gyökérdiszkrimináns nem változik elágazás nélküli kiterjesztéssel. Az osztálymezőkből álló torony léte határokat ad a gyökérdiszkriminánsnak – a feletti osztálymezőkből álló végtelen torony létezése , ahol m = 3 5 7 11 19, azt mutatja, hogy van egy végtelenül különböző mező 2 √ m ≈ gyökérdiszkriminánssal . 296.276 [28] . Ha r és 2 s egyenlő a valós és összetett beágyazások számával , akkor , beállítjuk és . Jelölje az infimum rd K értékkel, ha a K mezőket -val . Van (elég nagy) [28] $\mathbb {Q} ({\sqrt {-m)))$ $n=r+2s$ $\rho =r/n$ $\sigma =2s/n$ $\alpha (\rho ,\sigma )$ $(r',2s')=({\rho }n,{\sigma }n)$

{\displaystyle \alpha (\rho ,\sigma )\geqslant 60.8^{\rho }22.3^{\sigma ))

és feltételezve az általánosított Riemann-hipotézis érvényességét

\alpha (\rho ,\sigma )\geqslant 215.3^{\rho }44.7^{\sigma }.

Így van nekünk . Martinet megmutatta, hogy és [28] [29] . Voight [27] bebizonyította, hogy a tisztán valós mezőkre a gyökérdiszkrimináns > 14, 1229 kivétellel. $\alpha (0,1)<296,276$ $\alpha (0,1)<93$ $\alpha (1,0)<1059$

Kapcsolat más mennyiségekkel

A gyűrű alapterületének térfogatába ágyazva O K egyenlő (néha más mértéket használunk , és a térfogat egyenlő -vel , ahol r 2 a K mező komplex helyeinek száma ). $K\otimes _{\mathbf {Q} }\mathbf {R}$ ${\sqrt {|\Delta _{K}|}}$ $2^{-r_{2}}{\sqrt {|\Delta _{K}|}}$
Mivel a diszkrimináns megjelenik ebben a térfogati képletben, megjelenik a K mező Dedekind zéta függvényének funkcionális egyenletében is, így az analitikus osztályszám képletben és a Brouwer–Siegel tételben is .
A K / L kiterjesztésének relatív diszkriminánsa megegyezik a K / L kiterjesztésű Galois csoport reguláris reprezentációjának vezetőjével . Ez kapcsolatot ad az Artin-vezetők és a K / L kiterjesztésű Galois-csoport karakterei között , amelyet vezető-diszkrimináns képletnek [30] nevezünk .

Jegyzetek

↑ Cohen, Diaz y Diaz, Olivier, 2002 .
↑ 1 2 Manin, Panchishkin, 2007 , p. 130.
↑ Cohen, 1993 , p. Meghatározás 5.1.2.
↑ Washington, 1997 , p. 2.7. javaslat.
↑ Dedekind, 1878 , p. 30–31.
↑ Narkiewicz, 2004 , p. 64.
↑ Cohen, 1993 , p. 6.4.6. tétel.
↑ Koch, 1997 , p. tizenegy.
↑ Washington, 1997 , p. Lemma 2.2.
↑ Neukirch, 1999 , p. Következmény III.2.12.
↑ Neukirch, 1999 , p. I.2.7. gyakorlat.
↑ Neukirch, 1999 , p. Javaslat III.2.14.
↑ Neukirch, 1999 , p. Tétel III.2.17.
↑ Neukirch, 1999 , p. Tétel III.2.16.
↑ 1 2 Dedekind X. függeléke Dirichlet Vorlesungen über Zahlentheorie második kiadásában (németül: Lectures on Number Theory) ( Dedekind 1871 )
↑ Bourbaki, 1994 .
↑ Remete, 1857 .
↑ Brill, 1877 .
↑ Kronecker, 1882 .
↑ Minkowski, 1891a .
↑ Minkowski, 1891b .
↑ Stickelberger, 1897 .
↑ Ennek a bekezdésnek az összes ténye megtalálható Narkiewicz könyvében ( Narkiewicz 2004 , 59., 81. o.)
↑ 1 2 Neukirch, 1999 , p. §III.2.
↑ Neukirch, 1999 , p. Következmény III.2.10.
↑ Fröhlich és Taylor 1993 , p. Javaslat III.2.15.
↑ 12 Voight , 2008 .
↑ 1 2 3 Koch, 1997 , p. 181–182.
↑ Martinet, 1978 , p. 65–73.
↑ Serre, 1967 , p. 4.4.

Irodalom

Yu. I. Manin, A. A. Pancsiskin . Bevezetés a modern számelméletbe. — Másodszor. - 2007. - T. 49. - P. 130. - (Matematikai Tudományok Enciklopédia). — ISBN 978-3-540-20364-3 .
Jacques Martinet. Tours de corps de classes et estimations de discriminants (francia) // Inventiones Mathematicae . - 1978. - 1. évf. 44 . - doi : 10.1007/bf01389902 . — .
Alexander von Brill. Ueber die Discriminante // Mathematische Annalen. - 1877. - T. 12 , sz. 1 . – 87–89 . - doi : 10.1007/BF01442468 .
Richard Dedekind . Vorlesungen über Zahlentheorie von P.G. Lejeune Dirichlet . - 2. - Vieweg, 1871.
Richard Dedekind . Über den Zusammenhang zwischen der Theorie der Ideale und der Theorie der höheren Congruenzen // Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. - 1878. - T. 23 , sz. 1 .
Charles Hermite . Extrait d'une lettre de MC Hermite à M. Borchardt sur le nombre limité d'irrationalités auxquelles se réduisent les racines des équations à coefficients entiers complexes d'un degré et d'un discriminant donnés // Crelle's Journal . - 1857. - T. 53 . – S. 182–192 . - doi : 10.1515/crll.1857.53.182 .
Leopold Kronecker . Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grössen // Crelle folyóirata . - 1882. - T. 92 . – S. 1–122 .
Hermann Minkowski . Ueber die pozitívn quadratischen Formen und über kettenbruchähnliche Algorithmen // Crelle Journal. — 1891a. - T. 107 . – S. 278–297 .
Hermann Minkowski . Théorèmes d'arithmétiques // Comptes rendus de l'Académie des sciences . — 1891b. - T. 112 . — S. 209–212 .
Ludwig Stickelberger. Über eine neue Eigenschaft der Diskriminanten algebraischer Zahlkörper // Proceedings of the First International Congress of Mathematicians, Zürich. - 1897. - S. 182-193.
Nicholas Bourbaki. A matematika történetének elemei / Meldrum, John fordítása. - Berlin: Springer-Verlag, 1994. - ISBN 978-3-540-64767-6 .
- Bourbaki N. Esszék a matematika történetéről. - M . : Külföldi Irodalmi Kiadó, 1963.
Henri Cohen. Számítási algebrai számelmélet tanfolyam. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1993. - V. 138. - (Matematika diplomás szövegei). - ISBN 978-3-540-55640-4 .
Henri Cohen, Francisco Diaz és Diaz, Michel Olivier. Felmérés a diszkrimináns számlálásról // Algorithmic Number Theory, Proceedings, 5th International Syposium, ANTS-V, University of Sydney, 2002. július / Claus Fieker, David R. Kohel. - Berlin: Springer-Verlag, 2002. - T. 2369. - S. 80–94. — (Számítástechnikai előadásjegyzetek). — ISBN 978-3-540-43863-2 . - doi : 10.1007/3-540-45455-1_7 . (nem elérhető link)
Albrecht Fröhlich, Martin J. Taylor. Algebrai számelmélet. - Cambridge University Press , 1993. - V. 27. - (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). — ISBN 978-0-521-43834-6 .
Helmut Koch. Algebrai számelmélet. - Springer-Verlag , 1997. - T. 62. - (Encycl. Math. Sci.). — ISBN 3-540-63003-1 .
Władysław Narkiewicz. Az algebrai számok elemi és analitikus elmélete. - 3. - Berlin: Springer-Verlag, 2004. - (Springer-monográfiák a matematikában). - ISBN 978-3-540-21902-6 .
Jürgen Neukirch. Algebrai számelmélet. - Berlin: Springer-Verlag, 1999. - T. 322. - (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften). — ISBN 978-3-540-65399-8 .
Jean-Pierre Serre . Helyi osztálytérelmélet // Algebrai számelmélet, Proceedings of an instructional Conference at the University of Sussex, Brighton, 1965 / JWS Cassels, Albrecht Fröhlich. - London: Academic Press, 1967. - ISBN 0-12-163251-2 .
John Voight Voight. A korlátos gyökdiszkriminancia teljesen valós számmezőinek felsorolása // Algoritmikus számelmélet. Proceedings, 8th International Symposium, ANTS-VIII, Banff, Kanada, 2008. május / Alfred J. van der Poorten, Andreas Stein. - Berlin: Springer-Verlag, 2008. - T. 5011. - S. 268-281. — (Számítástechnikai előadásjegyzetek). — ISBN 978-3-540-79455-4 . - doi : 10.1007/978-3-540-79456-1_18 .
Lawrence Washington. Bevezetés a ciklotomikus mezőkbe. — 2. - Berlin, New York: Springer-Verlag, 1997. - V. 83. - (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-94762-4 .

Olvasás további olvasáshoz

James S. Milne. Algebrai számelmélet . – 1998.