Labda

A labda  egy geometrikus test ; a tér összes pontjának halmaza, amelyek a középponttól legfeljebb egy adott távolságra helyezkednek el. Ezt a távolságot a labda sugarának nevezzük . Egy labda úgy jön létre, hogy egy félkört a rögzített átmérője körül forgatunk . Ezt az átmérőt a labda tengelyének, a megadott átmérő  mindkét végét pedig a labda pólusának nevezzük . A labda felületét gömbnek nevezzük : a zárt golyó magában foglalja ezt a gömböt , a nyitott labda  pedig kizárja.

Kapcsolódó definíciók

Ha a vágósík átmegy a labda középpontján, akkor a labda metszetét nagykörnek nevezzük . A labda többi síkbeli szakaszát kis köröknek nevezzük . Ezen szakaszok területét a πR² képlettel számítjuk ki.

Alapvető geometriai képletek

A sugarú (és átmérőjű ) golyó felületét és térfogatát a következő képletek határozzák meg:

Bizonyíték

Vegyünk egy R sugarú negyedkört, amelynek középpontja a pont . Ennek a körnek a kerületének egyenlete: , honnan .

A függvény folyamatos, csökkenő, nem negatív. Amikor egy kör negyede forog az Ox tengelye körül, félgömb keletkezik, ezért:

Hol található Ch. t.

Bizonyíték

H. t. d.

A metrikus térben lévő golyó fogalma természetesen általánosítja a labda fogalmát az euklideszi geometriában .

Definíciók

Legyen adott egy metrikus tér . Akkor

Jegyzetek

A középpontos sugarú golyót egy pont szomszédságának is nevezik .

Tulajdonságok

kötet

Egy n -dimenziós R sugarú golyó térfogata n- dimenziós euklideszi térben: [1]

ahol Γ az Euler - gammafüggvény (ami a faktoriális kiterjesztése a valós és komplex számok mezőjére ). A gamma-függvény speciális ábrázolásait egész és fél egész számokhoz használva olyan képleteket kaphatunk egy n-dimenziós golyó térfogatára vonatkozóan, amelyekhez nincs szükség gamma-függvényre:

, .

Ismerős !! itt a kettős faktoriálist jelöljük .

Ezeket a képleteket egy általánosra is redukálhatjuk:

.

Inverz függvény a sugár térfogattól való függésének kifejezésére:

.

Ez a képlet ketté is osztható, páros és páratlan számú dimenziójú terekre, a gammafüggvény helyett a faktoriális és a dupla faktoriális használatával:

, . Rekurzió

A térfogatképlet rekurzív függvényként is kifejezhető . Ezek a képletek közvetlenül igazolhatók, vagy a fenti alapképletből származtathatók. Az n -dimenziós golyó térfogatát a legegyszerűbben egy dimenziós golyó térfogatával lehet kifejezni (feltételezve, hogy azonos sugarúak):

.

Létezik egy képlet egy n -dimenziós golyó térfogatára, amely egy azonos sugarú ( n -1)-dimenziós golyó térfogatától függ :

.

Ugyanez gamma függvény nélkül:

Kisebb méretű terek

Térfogatképletek egyes kisebb méretű terekhez:

Mérések száma R sugarú gömb térfogata A hangerőgömb sugara V
egy
2
3
négy
5
6
7
nyolc
9
tíz
Magasabb méretű terek

Mivel a dimenziók száma a végtelenbe hajlik, az egységnyi sugarú gömb térfogata nullára hajlik. Erre a térfogatképlet rekurzív ábrázolásából lehet következtetni.

Példák

 nyitott és zárt szegmensek .
  • if (tér - sík ), akkor
 nyitott és zárt lemezek .
  • ha , akkor
 egy nyitott és egy zárt sztereometrikus gömb .
  • Más metrikákban a golyó eltérő geometriai alakkal rendelkezhet. Például definiáljunk egy metrikát az euklideszi térben a következőképpen:
Akkor
  • ha , akkor  egy nyitott négyzet , amelynek középpontja egy pontban van , és a hosszúság oldalai átlósan helyezkednek el a koordinátatengelyekre.
  • ha , akkor  egy nyitott háromdimenziós oktaéder .

Lásd még

Jegyzetek

  1. 5.19.4 egyenlet, NIST Digital Library of Mathematical Functions. http://dlmf.nist.gov/ , 2013-05-06, 1.0.6.

Irodalom

Linkek online számológépekhez