Vegyes egyenlet

A vegyes egyenletek (vegyes típusú egyenletek) a másodrendű parciális differenciálegyenletek egy osztálya, amelyek a változótér egyik tartományában hiperbolikusak , a másikban pedig elliptikusak . Ezeket a területeket egy vonal (két független változó esetén) vagy egy felület (három vagy több független változó esetén) választja el egymástól, amelynek pontjain az egyenlet parabolikus vagy definiálatlan. Ezt a vonalat (felületet) típusváltozási vonalnak (felület) vagy degenerációs vonalnak (felület) nevezzük .

Két független változó esetén a degenerációs egyenes a karakterisztikus egyenlet diszkriminancia görbéje. Ezen egyenletek széles osztálya a következőképpen ábrázolható: [1]

A hiperbolikus, elliptikus és parabolikus típusú egyenletekhez képest a vegyes egyenletek elméletének viszonylag rövid története van. A két független változót tartalmazó vegyes egyenleteket először F. Tricomi és M. Cibrario olasz matematikusok vizsgálták szisztematikusan . A Szovjetunióban a vegyes típusú egyenleteket sok matematikus tanulmányozta, különösen M. A. Lavrentiev és A. V. Bitsadze iskoláiban kaptak nagy figyelmet . A vegyes típusú egyenletek számos alkalmazást találtak, például a transzonikus gázdinamikával kapcsolatos problémákban.

Tricomi egyenlete

A vegyes egyenlet legegyszerűbb példája a Tricomi-egyenlet (néha Euler-Tricomi egyenletnek is nevezik ):

,

a régióban a hiperbolikus típushoz, a régióban az elliptikus típushoz kapcsolódik A Tricomi-egyenlet típusának változási vonala egybeesik az y tengellyel , a karakterisztikák egyenlete pedig az úgynevezett Cibrario normálalakkal . A karakterisztikák félköbös parabolák családját alkotják , amelyek hiperbolikus régióban helyezkednek el, csúcspontokkal a típusváltási vonalon.

Lásd még

• Gaz Trikomi

Jegyzetek

1. ↑ Trikomi, 1947 , p. 6.

Irodalom

• Tricomi F. A vegyes típusú másodrendű lineáris parciális differenciálegyenletekről. - M. : OGIZ, 1947. - 191 p.
• Cibrario M. Sulla reduzione a forma canonica delle equazioni lineari alle derivative parzialy di secondo ordine di tipo misto, - Rend. Lombardo 65 (1932), pp. 889-906.
• Cinquini-Cibrario M. Una propriete degli integrali delle equazioni ellitico-paraboliche del secondo tipo misto, - Reale Accad. D'Italia, Rendiconti Classe di Scienze, Fisiche, Mat. e Nat., ser. 7, 3:9 (1952).
• Lavrentiev M. A., Bitsadze A. V. A vegyes típusú egyenletek problémájáról , Dokl . AN 70:3 (1950), 373–376.
• Bitsadze A. V. Vegyes típusú egyenletek, - Bármelyik kiadás.
• Smirnov M. M. Vegyes típusú egyenletek, - Bármelyik kiadás.
• Kuzmin A. G. Vegyes típusú nem klasszikus egyenletek és alkalmazásaik a gázdinamikában, Izd. Leningrádi Állami Egyetem, 1990.
• FG Tricomi. Correnti fluide transoniche ed equazioni a derivate parziali di tipo misto, Univ. Politec. Torino, Rend. Sem. Mat. 12, 37-52 (1953).
• C. Ferrari, FG Tricomi. Transsonic Aerodynamics, Academic Press, New York, 1968.
• Richard von Mises . Az összenyomható folyadékáramlás matematikai elmélete, Moszkva, 1961.
• Lipman Bers . A szubszonikus és transzonikus gázdinamika matematikai vonatkozásai, Felmérések az alkalmazott matematikában. 3. New York: John Wiley & Sons, Inc. XV, 278 p. (1958).