Mezőbővítés

A mezőkiterjesztés (a szupermező kifejezés ritkábban használatos ) olyan mező , amely az adott mezőt almezőként tartalmazza . A kiterjesztések tanulmányozása fontos feladat a térelméletben , mivel minden térhomomorfizmus kiterjesztést jelent. $K$ $E$ $K$

Alapdefiníciók

Ha egy mező , akkor annak részmezeje az összeadás és szorzás alatt zárt részhalmaza , amely az inverz és ellentétes elemeket veszi fel, és tartalmazza az egységet, amelyre ugyanazokat a műveleteket vezetjük be, mint a mezőben . Ebben a mezőkiterjesztésnek nevezett esetben általában az adott kiterjesztést jelöljük (a és a jelölést is használják ). Bármely mezőhomomorfizmus injektív , azaz beágyazás . Ebből az következik, hogy egy adott kiterjesztés megadása egyenértékű a homomorfizmus megadásával . $E$ $K$ $E$ $E$ $K$ $E\feldúlt K$ $E/K$ $K\alhalmaz E$ $E\feldúlt K$ $f:K\to E$

Adott egy kiterjesztés és egy részhalmaz a mezőnek , akkor a és a legkisebb részmezőt jelöljük , és a halmaz által a mező felett generált mezőnek nevezzük . Az egyetlen elem által generált kiterjesztéseket egyszerű kiterjesztéseknek , a véges halmazok által generált kiterjesztéseket pedig véges kiterjesztéseknek nevezzük . Az egyszerű kiterjesztést eredményező elemet primitív elemnek nevezzük . $E\feldúlt K$ $S$ $E$ $E$ $K$ $S$ $K(S)$ $S$ $K$

Bármely kiterjesztésre vektortér egy mező felett . Ebben a helyzetben az elemeket "vektoroknak", az elemeket pedig "skalároknak" lehet érteni, a vektor skalárral való szorzását a mezőben végrehajtott szorzási művelet adja meg . Ennek a vektortérnek a dimenzióját kiterjesztési foknak nevezzük, és jelöli . Az 1. fokú kiterjesztést triviálisnak , a 2. és 3. fokú kiterjesztést másodfokúnak és köbösnek nevezzük . A véges fokú kiterjesztést végesnek , egyébként végtelennek nevezzük. $E\feldúlt K$ $E$ $K$ $E$ $K$ $E$ $[E:K]$

Példák

A komplex számok mezője a valós számok mezőjének kiterjesztése . Ez a kiterjesztés véges: , mivel ez egy alap. A valós számok mezője viszont a racionális számok mezőjének kiterjesztése; ennek a tágulásnak a mértéke egyenlő a kontinuum hatványával , tehát ez a tágulás végtelen. $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $[\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2$ ${\megjelenítési stílus (1,i)}$

A készlet a mező kiterjesztése , ami nyilvánvalóan egyszerű. A véges kiterjesztéseket algebrai számmezőknek nevezzük , és az algebrai számelmélet fontos vizsgálati tárgyát képezik . $\{a+b{\sqrt {2}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$

A szokásos eljárás egy adott mező kiterjesztésének megalkotására, amely lehetővé teszi polinomgyök hozzáadását , az, hogy a polinomgyűrű faktorgyűrűjét az által generált főideálból veszik . Például ne tartalmazza a mező az egyenlet gyökerét . Ezért a polinom irreducibilis -ben , ezért az ideális maximális , és ezért a hányadosgyűrű egy mező. Ez a mező tartalmazza az egyenlet gyökerét, a polinom képét a faktorizációs leképezésben. Ezt az eljárást többször megismételve megkaphatjuk egy adott polinom dekompozíciós mezőjét , vagyis azt a mezőt, amelyben ez a polinom lineáris tényezőkre bontható. $f(x)$ $f(x)$ $K$ $x^{2}=-1$ $x^{2}+1$ $K$ $(x^{2}+1)$ $K[x]/(x^{2}+1)$ $x^{2}+1=0$ $x$

Algebraicitás és transzcendencia

Legyen a mező kiterjesztése . Egy elemet algebrai overnek nevezünk , ha egy nullától eltérő polinom gyöke , melynek együtthatói -ben . A nem algebrai elemeket transzcendentálisnak nevezzük . Például egy kiterjesztéshez a képzeletbeli egység egy algebrai szám, mivel ez teljesíti a . $E$ $K$ $E$ $K$ $K$ $\mathbb {C} \supset \mathbb {R}$ $x^{2}+1=0$

Különösen fontos a kiterjesztések speciális esete : az algebrai szám és a transzcendentális szám kifejezéseket (a fő mező megadása nélkül) pontosan egy adott kiterjesztésre használjuk. $\mathbb {C} \supset \mathbb {Q}$

Ha egy kiterjesztés minden eleme algebrai , azt algebrai kiterjesztésnek nevezzük . A nem algebrai kiterjesztéseket transzcendentálisnak nevezzük. $E\feldúlt K$ $K$ $E\feldúlt K$

Egy mező egy részhalmazát algebrailag függetlennek nevezzük , ha nincs nullától eltérő polinom (véges számú változóban), amelynek együtthatói olyanok, hogy a számok véges részhalmazának behelyettesítése nullát eredményez. Egy algebrailag független halmaz legnagyobb számosságát egy adott kiterjesztés transzcendencia fokának nevezzük. Bármely kiterjesztéshez találhatunk algebrailag független halmazt , amely algebrai kiterjesztést jelent. Az ezt a feltételt kielégítő halmazt az adott kiterjesztés transzcendenciabázisának nevezzük. A transzcendencia minden alapja azonos kardinalitású, megegyezik a kiterjedés transzcendenciájával. $S$ $E$ $K$ $K$ $S$ $S$ $E\supset K(S)$ $S$

Egy egyszerű kiterjesztés véges , ha algebrai elemmel generálja . Ellenkező esetben az egyedüli algebrai elemek maguk az elemek . $E\feldúlt K$ $K$ $K$

Galois kiterjesztések

Az algebrai kiterjesztést normálisnak nevezzük, ha minden olyan irreducibilis polinom , amelynek legalább egy gyöke van -ben , lineáris tényezőkre bomlik . $E\feldúlt K$ $f(x)$ $K$ $E$ $E$

Egy algebrai kiterjesztést szeparálhatónak mondunk , ha minden elem szeparálható, vagyis a minimális polinomjának nincs több gyöke. Konkrétan a primitív elem tétel kimondja, hogy minden véges elválasztható kiterjesztésnek van primitív eleme (azaz egyszerű kiterjesztés). A Galois kiterjesztés egy olyan kiterjesztés, amely elválasztható és normál is. $E\feldúlt K$ $E$

Bármely kiterjesztésnél figyelembe vehetjük a mező automorfizmusainak azon csoportját, amelyek a mezőn azonosan hatnak . Ha egy kiterjesztés Galois kiterjesztés, ezt a csoportot az adott kiterjesztés Galois csoportjának nevezzük . $E\feldúlt K$ $E$ $K$

A kiterjesztéshez gyakran hasznos közbülső mezőket (vagyis a -t tartalmazó almezőket ) leírni. A Galois-elmélet alaptétele kimondja, hogy a közbülső mezők halmaza és a Galois-csoport részcsoportjai között van egy bijekció, amely a befogadással megfordítja a sorrendet. $E\feldúlt K$ $E$ $K$

Irodalom

Van der Waerden B. L. Algebra. - M .: Nauka, 1975.
Zarissky O. , Samuel P. Kommutatív algebra. - 1. kötet - M . : IL, 1963.
Leng S. Algebra. - M .: Mir, 1967.
P. Aluffi. Algebra: 0. fejezet (Matematikai végzettség) – Amerikai Matematikai Társaság, 2009 – ISBN 0-8218-4781-3 .