Krull dimenzió

A Krull-dimenzió a kommutatív gyűrűk numerikus jellemzője , egy adott gyűrű beágyazott prímideáljainak láncának legnagyobb hossza . Még a Noether-gyűrűk esetében sem feltétlenül véges .

A Krull dimenzió lehetővé teszi, hogy egy algebrai változat dimenziójának tisztán algebrai definícióját fogalmazzuk meg : egy affin algebrai változatnak egy ideál által adott polinomiális gyűrű dimenziója a hányadosgyűrű Krull-dimenziója . $én$ $R$ $R/I$

Definíció

A forma elsődleges ideáljainak láncolatának hossza:

{\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}

-nak vesszük , vagyis a szigorú zárványok számát veszik figyelembe, és nem az ideálok számát. A gyűrű Krull dimenziója a maximális hossz az első ideálok összes láncán belül . $n$ $R$ $R$

Egy elsődleges ideál esetében meghatározható a kóddimenziója (más néven magasság vagy rang), amelyet a formájú elsődleges ideálok láncának maximális hosszaként jelölünk . $\mathfrak{p}$ $\operátornév{codim}(\mathfrak{p})$ $\mathfrak{p}_0\subsetneq \mathfrak{p}_1\subsetneq \ldots \subsetneq \mathfrak{p}_n\subseteq \mathfrak{p}$

Példák

Egy tetszőleges mező mérete egyenlő nullával, általánosabban a k [ x 1 , …, x n ] polinomok gyűrűjének dimenziója egyenlő n -nel . Továbbá, ha R egy Noether-gyűrű, amelynek mérete egyenlő n -nel , akkor az R [ x ] gyűrű mérete egyenlő n + 1-gyel. A Noether-hipotézis nélkül az R [ x ] dimenziója n +1 és 2 n +1 között mozoghat.
Bármely fő ideális gyűrű mérete 1.
Egy integrálgyűrű akkor és csak akkor mező, ha a mérete nulla. A nem mezőkből álló Dedekind gyűrűk mérete 1.
A Noether-gyűrű akkor és csak akkor artini , ha a mérete nulla.
Egy gyűrű egész számú kiterjesztésének mérete megegyezik az eredeti gyűrűvel.
Az R gyűrű Krull dimenziója megegyezik a spektrumának mint topológiai tér dimenziójával, vagyis az irreducibilis zárt részhalmazok láncának maximális hosszával.

Modul mérete

Ha R egy kommutatív gyűrű és M egy R - modul, akkor M Krull dimenzióját a hányadosgyűrű Krull dimenziójaként határozza meg a modul annihilátora:

\operátornév{dim}_R M := \operátornév{dim}( R/\operátornév{Ann}_R(M))

ahol Ann R ( M ) az R → End R (M) természetes leképezés magja (a gyűrű egy eleméhez társítva az ezzel az elemmel való szorzást).

Ideális magasság

Egy kommutatív gyűrű prímideáljának magassága a -ben foglalt prímideálok láncainak hosszának felső összege . Például egy olyan elsődleges ideál magassága, amely nem tartalmaz más elsődleges ideált, 0. A gyűrű Krull dimenziója definiálható az elsődleges ideálok halmaza feletti magasság felsőbbségeként. $\mathfrak p$ $R$ $\mathfrak p$ $R$

Noether -féle kommutatív gyűrű esetén Krull tétele szerint az n elemből generált ideál magassága nem haladja meg az n -t .

A magasság definíciója kiterjeszthető tetszőleges ideálokra, ha egy ideál magasságát az adott ideált tartalmazó elsődleges ideálok magasságainak minimumaként határozzuk meg.

Lásd még

Irodalom

Atiyah M., McDonald I. Bevezetés a kommutatív algebrába. - Factorial Press, 2003 - ISBN 5-88688-067-4 .
Irving Kaplansky , Commutative rings (átdolgozott kiadás), University of Chicago Press, 1974, ISBN 0-226-42454-5 . 32. oldal.
Eisenbud, David (1995), Kommutatív algebra az algebrai geometria irányába , vol. 150, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94268-1

A tér mérete
Terek méret szerint	Nulla dimenziós egydimenziós 2D 3D négydimenziós ötdimenziós Hatdimenziós Hétdimenziós nyolcas Kilencdimenziós n-dimenziós Negatív dimenzió
Politópok és figurák	Simplex hiperkocka tesserakt Hipertéglalap (ortotop) Félhiperkocka Keresztpolitóp hiperszféra
A terek típusai	véges dimenziós tér Euklideszi tér affin tér projektív tér Ingyenes modul Elosztó Egy algebrai változó mérete téridő
Egyéb dimenziós fogalmak	Krull dimenzió Lebesgue dimenzió Induktív dimenzió Törtdimenzió ( Minkowski - dimenzió , Hausdorff - dimenzió ) fraktál dimenzió A szabadság fokai
Matematika