Landau problémák

Az 1912 -es Nemzetközi Matematikus Kongresszuson Edmund Landau négy fő problémát sorolt ​​fel a prímszámelméletben . Ezeket a problémákat a „matematika jelenlegi állapotában bevehetetlen”-ként fejezte ki előadásában, és ma Landau-problémákként ismerik őket .

  1. Goldbach-sejtés : Felírható-e bármely 4-nél nagyobb páros egész két prímszám összegeként?
  2. Ikersejtés : Van-e végtelen számú p prímszám úgy, hogy p + 2 is prím?
  3. Legendre sejtés : Mindig van legalább egy prímszám két egymást követő tökéletes négyzet között ?
  4. Végtelen sok p prímszám , amelyre p − 1 tökéletes négyzet? Más szóval, van-e végtelen számú n 2 + 1 alakú prímszám ? ( A002496 sorozat az OEIS -ben ).

Mind a négy 2022-es szám nyitva marad.

Haladás a problémamegoldás felé

Goldbach sejtése

Vinogradov tétele bizonyítja a gyenge Goldbach-sejtést kellően nagy n -re . 2013 -ban Harald Helfgott bebizonyította a gyenge sejtést minden 5-nél nagyobb páratlan számra [1] . Goldbach problémájával ellentétben Goldbach gyenge sejtése azt állítja, hogy bármely 5-nél nagyobb páratlan szám kifejezhető három prím összegeként. Noha Goldbach erős sejtése nem bizonyított és nem is cáfolt, a gyenge sejtés bizonyítása a bizonyításából következne.

Chen tétele bizonyítja, hogy minden kellően nagy n esetén, ahol p prím és q prím vagy félegyszerű . Montgomery és Vaughan kimutatta, hogy azoknak a páros számoknak a sűrűsége, amelyeket nem lehet két prímszám összegeként ábrázolni, nulla [2] .

2015-ben Tomohiro Yamada bebizonyította Chen tételének [3] explicit változatát : bármely páros szám, amely nagyobb, mint egy prímszám és legfeljebb két prímszám szorzata.

Ikersejtés

Zhang Yitang [4] kimutatta, hogy végtelenül sok prímpár létezik, amelyek tartománya 70 millióra van korlátozva, és ez az eredmény 246 hosszúságúra javult a Polymath [5] projekttel kombinálva . Az általánosított Elliot-Halberstam hipotézis elfogadásával a pontszám 6-ra javul ( Meinard [6] , Goldston, Pinz és Yildirim [7] ).

Chen kimutatta, hogy végtelen sok p prím (később Chen prímszámnak nevezték ) úgy, hogy p +2 prím vagy félprím.

Legendre sejtése

Elegendő ellenőrizni, hogy a p -nél nagyobb prímek közötti hézag kisebb-e, mint . A prímek közötti maximális hézagok táblázata azt mutatja, hogy a hipotézis 4×10 18 -ig igaz [8] . Egy 10 18 körüli ellenpélda az átlagos hatótávolság ötvenmilliószorosa lenne. Matomaki kimutatta, hogy legfeljebb sejtést sértő példák vannak, amelyeket nál nagyobb rés követ . Különösen,

[9] .

Ingham eredménye azt mutatja , hogy minden kellően nagy n között van prím [10] .

Majdnem négyzetes prímszámok

A Friedlander-Ivanets tétel azt mutatja, hogy végtelen számú prímszám alakja [11] .

Ivanets megmutatta, hogy végtelen számú olyan szám létezik, amelynek legfeljebb két prímosztója van [12] [13] .

Ankeny bebizonyította, hogy ha az általánosított Riemann-hipotézis igaz az L-függvényekre Hecke karaktereken , akkor végtelenül sok c alakú prím létezik [14] .

Deshuilliers és Ivanets [15] , miután javították Hooley [16] és Todd [17] eredményét , megmutatták, hogy végtelenül sok olyan szám létezik, amelynek legalább nagyobb prímtényezője van . Ha a kitevőt 2-re cseréljük, megkapjuk a hipotézis állítását.

Ezzel szemben Brun szita azt mutatja, hogy vannak x - nél kisebb prímek .

Jegyzetek

  1. ↑
    • Helfgott, H.A. (2013), Goldbach-tétel főbb ívei, arΧiv : 1305.2897 [math.NT]. 
    • Helfgott, H.A. (2012), Minor arcs for Goldbach-probléma, arΧiv : 1205.5252 [math.NT]. 
    • Helfgott, H.A. (2013), A hármas Goldbach-sejtés igaz, arΧiv : 1312.7748 [math.NT]. 
  2. ↑ Montgomery, Vaughan, 1975 , p. 353–370.
  3. ↑ * Yamada, Tomohiro (2015-11-11), Explicit Chen-tétel, arΧiv : 1511.03409 [math.NT]. 
  4. ↑ Zhang, 2014 , p. 1121–1174.
  5. ↑ Polihisztor, 2014 , p. 12.
  6. ↑ Maynard .
  7. ↑ Goldston, Motohashi, Pintz, Yıldırım, 2006 , p. 61–65.
  8. ↑ Andersen .
  9. ↑ Matomäki, 2007 , p. 489–518.
  10. ↑ Ingham, 1937 , p. 255–266.
  11. ↑ Friedlander, Iwaniec, 1997 , p. 1054–1058.
  12. ↑ Iwaniec, 1978 , p. 178–188.
  13. ↑ Oliver, 2012 , p. 241–261.
  14. ↑ Ankeny, 1952 , p. 913–919.
  15. ↑ Deshouillers, Iwaniec, 1982 , p. 1–11.
  16. ↑ Hooley, 1967 , p. 281-299.
  17. ↑ Todd, 1949 , p. 517–528.

Irodalom

Linkek

 Hipotézisek prímszámokról _
Hipotézisek